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Introducción al cálculo vectorial


Magnitudes escalares y vectoriales

Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede expresarse simplemente con un único número. Por ejemplo, el peso o la altura de una persona es una magnitud escalar.

Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual necesitamos dar ``algo más que un sólo número''. Por ejemplo, para saber la velocidad del viento además de su intensidad, es decir, tantos kilómetros por hora, se requiere conocer su dirección y sentido, y así saber si viene del norte hacia el sur, etc...Este tipo de magnitudes se denominan vectores.

Representación matemática

Matemáticamente un escalar se representa con un único número4.1 y un vector con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que se representa.

Así un vector $\vec{v}$se representa como

\begin{displaymath}\vec{v}=(v_x,v_y,v_z) = v_x\hat{\imath}
+ v_y\hat{\jmath}+ v_z\hat{k},\end{displaymath}


siendo $v_x$, $v_y$y $v_z$las componentes del vector, es decir, sus proyecciones sobre los ejes x,y y z. A su vez $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$y $\hat{k}$son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes x,y y z respectivamente.

Operaciones vectoriales unarias

Se llama módulo de un vector a lo que éste ``mide''. Se calcula como

\begin{displaymath}
\vert\vec{v}\vert = v = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
\end{displaymath}

(4.1)


Proyección de un vector sobre un eje es ``la sombra'' de dicho vector sobre el eje si la ``luz que proyecta dicha sombra'' cayera justo perpendicularmente. Así las proyecciones de un vector $\vec{v}$sobre los ejes x,y y z serán $v_x$, $v_y$y $v_z$respectivamente. El inverso de un vector es dicho vector con sus proyecciones cambiadas de signo. La suma de un vector y su inverso da siempre el vector nulo.

\begin{displaymath}-\vec{v}=(-v_x,-v_y,-v_z).\end{displaymath}


Vector nulo es aquel vector cuyo módulo es cero. Este vector es especial, pues carece de dirección y sentido.

\begin{displaymath}\vec{0}=(0,0,0).\end{displaymath}


Vector unitario de otro dado $\vec{v}$es aquél que, teniendo la misma dirección y sentido que el que se da, presenta un módulo igual a 1, se representa como $\hat{v}$. Así

\begin{displaymath}\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\vert\vec{v}\vert}.\end{displaymath}



Operaciones unarias diferenciales

Para derivar un vector $\vec{v}$respecto a un parámetro $t$se deriva componente a componente.

\begin{displaymath}\frac{d}{dt}\vec{v}=(\frac{d}{dt}v_x, \frac{d}{dt}v_y, \frac{d}{dt}v_z).\end{displaymath}


Para integrar un vector $\vec{v}$respecto a un parámetro $t$se integra componente a componente.

\begin{displaymath}\int \vec{v}\,dt = (\int v_x\,dt, \int v_y\,dt,
\int v_z\, dt).\end{displaymath}


Operaciones vectoriales binarias

Las operaciones binarias necesitan dos vectores para poder operar sobre ellos. Las más conocidas son:


Equivalencia

Dos vectores son iguales si sus coordenadas son iguales. Es decir

\begin{displaymath}\vec{a}=\vec{b} \Rightarrow a_x=b_x,\ a_y=b_y,\ a_z=b_z.\end{displaymath}



Suma y resta

La suma de varios vectores también se denomina resultante de dichos vectores. Para sumar un vector $\vec{a}$a otro $\vec{b}$se suma componente a componente, es decir

\begin{displaymath}\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z).\end{displaymath}


Para restar un vector $\vec{a}$de otro $\vec{b}$se suma el inverso del vector $\vec{b}$, es decir:

\begin{displaymath}\vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z).\end{displaymath}


La resta de dos vectores iguales son es el vector cero.

\begin{displaymath}\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}.\end{displaymath}



Producto escalar

El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, como indica su nombre. Para multiplicar así escalarmente un vector $\vec{a}$por otro $\vec{b}$se opera

\begin{displaymath}
\vec{a}\cdot \vec{b}=
\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos(\theta).
\end{displaymath}

(4.2)


Siendo $\theta$el ángulo que forman los vectores $\vec{a}$y $\vec{b}$entre ellos.

El producto escalar de dos vectores, dadas sus componentes, se puede realizar también sabiendo que

\begin{displaymath}
\vec{a}\cdot \vec{b}= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z.
\end{displaymath}

(4.3)


Observando las relaciones que marcan (4.2) y (4.3) y teniendo presenta además la relación del módulo de un vector expuesta en (4.1) se pueden deducir las siguientes propiedades del producto escalar:

\begin{displaymath}proy_{\vec{b}}(\vec{a}) =
\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert}.\end{displaymath}


\begin{displaymath}\cos(\theta) =
\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\v...
...
a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2 + b_y^2 +
b_z^2}}.\end{displaymath}



Producto vectorial

Introducción

El producto vectorial, representado como $\vec{a} \times \vec{b}$o bien como $\vec {a} \wedge \vec {b}$, tiene las siguientes propiedades:

Cálculo de las componentes de $\vec {a} \wedge \vec {b}$

Demostraremos en 4.3.4, quizás no muy rigurosamente, pero si ganando a cambio mucho en simplicidad, como se puede llegar a este resultado. En cualquier caso, para hallar cuales son las componentes del vector producto vectorial basta con saber que si $\vec{a} = a_x \hat{\imath} +
a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}$y $\vec{b} = b_x \hat{\imath} + b_y \hat{\jmath} + b_z
\hat{k}$, entonces:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccl}
\vec{a} \wedge \vec{b} =
\left\vert\begin...
...t{\jmath} + \\
& & (a_x b_y - a_y b_x) \hat{k} \\
\end{array}\end{displaymath}

(4.4)



Expresión analítica del producto vectorial

$\circ$Tomando $\vec{a} \wedge \vec{b} = \vec{c}$henos exigido que tanto $\vec{a} \bot \vec{c}$como que $\vec{b} \bot \vec{c}$. Es decir

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z & = & 0 \\
b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z & = & 0 \\
\end{array}.
\end{displaymath}

(4.5)


Además parece lógico suponer que este nuevo vector deberá ser ``independiente'' del sistema de coordenadas que elijamos, con lo cual vamos a tomar uno en el que el vector $\vec{a}$coincida con el eje $y$y el $\vec{b}$se encuentre contenido en el plano $xy$, formando entre ellos un ángulo $\theta$.

Despejando $c_x$en una de las ecuaciones (4.5) tenemos que

\begin{displaymath}
c_x = \frac{-a_yc_y - a_zc_z}{a_x}
\end{displaymath}

(4.6)


y, sustituyendo en la otra se consigue que

\begin{displaymath}
c_y = \frac{ -b_zc_za_x + b_xa_yc_y + b_xa_zc_z}{b_ya_x}.
\end{displaymath}

(4.7)


Operando un poco en la expresión (4.7) de tal forma que podamos expresar $c_z$en función de $c_y$tendremos que

\begin{displaymath}
c_z = \frac{c_y\left( b_ya_x - b_xa_y \right)}{b_xa_z - b_za_x}
\end{displaymath}

(4.8)


y ahora no queda más que ver el significado de esta expresión para lograr el resultado final.

De las relaciones (4.5) tenemos que $\vec{c}$debe ser perpendicular tanto a $\vec{a}$como a $\vec{b}$y, por tanto, en el caso concreto que hemos elegido, $\vec{c}$debe estar en el eje $z$, es decir, $\vec{c} = \lambda\hat{k}$. Ahora bien, precisamente por esta misma razón $c_y=0$y, según la relación (4.8) $c_z$debería ser también cero, cosa que no tiene sentido. Una posible solución sería hacer ver que la relación no es válida porque estamos dividiendo por cero, y, ya que $c_y$también es cero, igualar ambos términos. Así tendríamos $c_y = b_xa_z - b_z
a_x$y podríamos simplificar $c_y$con el denominador4.2. Una vez extraído $c_y$se tendría también que $c_z =
b_ya_x - b_x a_y$, y sólo quedaría hallar $c_x$usando nuevamente las ecuaciones (4.5). Quedaría, no en sí demostrado, pero si razonado, el por qué de expresar el producto vectorial de la manera reseñada en (4.4).


Cálculo de áreas con el producto vectorial

Antes de nada: ¿cómo es posible qué el producto vectorial, que da como resultado un vector, sea reutilizable para calcular un área?. Responder a esta pregunta es sencillo si, para ello, tenemos en cuenta el módulo del producto vectorial, que será un escalar.

Sabemos ya que $\vert\vec{a}\wedge\vec{b}\vert=ab\sin\phi$donde $\phi$representa el ángulo formado por ambos vectores. Esto puede verse en la figura 4.1. También nos damos cuenta que $b\sin\phi$puede interpretarse como la ``altura'' del triángulo formado por $\vec{a}$, $\vec{b}$y la unión de sus dos extremos. Con lo que resulta que $\vert\vec{a}\wedge\vec{b}\vert$resulta ser la base $a$por la altura $b\sin\phi$, y por tanto

\begin{displaymath}\frac{\vert\vec{a}\wedge\vec{b}\vert}{2}
= A_{tria}\end{displaymath}


donde $A_{tria}$es el área del triángulo anteriormente dicho.

\begin{figure}\begin{center}
\mbox{
\psfig{file=figuras/producto_vectorial.eps}}
\end{center}\end{figure}

Figura: El ángulo entre dos vectores y sus proyecciones.

Producto mixto

A veces se define el producto mixto entre tres vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$y $\vec{c}$como

\begin{displaymath}
\vec{a}\cdot(\vec{b}\wedge\vec{c}).
\end{displaymath}

(4.9)


Este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser un escalar, se puede calcular también como el determinante de la matriz $3*3$que se forma con las componentes de los vectores, es decir

\begin{displaymath}\left\vert
\begin{array}{ccc}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y &...
..._y b_z + a_z b_x c_y - a_z b_y c_x - a_y b_x c_z
- a_x b_z c_y.\end{displaymath}


Una de las utilidades del producto mixto es que da el volumen de un paralelepípedo formado con las aristas de los vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$y $\vec{c}$, ya que si manejamos un poco (4.9) tenemos que:

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}
\vec{a}\cdot(\vec{b}\wedge\vec{c}) & = & \...
...{c}\vert\cos\phi \\
& = & abc\sin\psi\cos\phi.\\
\end{array}\end{displaymath}


donde $bc\sin\psi$no es sino el área de la base del paralelogramo (ver sección 4.3.4) y $a\cos\phi$resulta ser la altura de dicho paralelepípedo. El área de la base por la altura nos da el volumen de este tipo de cuerpos geométricos.

$\circ$Sería un buen ejercicio para el lector intentar demostrar más rigurosamente estas últimas afirmaciones


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