Dinámica

Introducción

Así como la cinemática se encarga de la descripción del movimiento de los cuerpos, aunque sin entrar en detalles de la causa que hace mover a éstos, la dinámica estudia precisamente por qué se mueven los cuerpos, es decir, cuáles son las causas que crean la variación de su estado de movimiento.

Leyes de Newton

Ley de la inercia

La ley de la inercia se podría enunciar como

$\triangleright$ Todo cuerpo permanece en su estado actual de movimiento con velocidad uniforme o de reposo a menos que sobre él actúe una fuerza externa neta o no equilibrada.

donde la fuerza neta de la que hablamos antes sería la suma vectorial de todas las fuerzas que puedan actuar separadamente sobre el cuerpo.

$\diamond$ Ésta es la razón por la cual es tan peligroso para los astronautas en el espacio separarse de la nave sin un cordón que los una a ella, ya que si chocan con algo y salen impulsados, como no actúa ninguna fuerza sobre ellos, seguirán desplazándose uniformemente y separándose de la nave sin posibilidad de volver a ella (a no ser que tengan un pequeño impulsor).

Segunda ley de Newton

Esta ley es la más importante en cuanto nos permite establecer una relación numérica entre las magnitudes ``fuerza'' y ``aceleración''. Se podría enunciar como

$\triangleright$ La aceleración que toma un cuerpo es proporcional a la fuerza neta externa que se le aplica.

La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, con lo que numéricamente esta expresión se denota como

$\begin{displaymath} \vec{F} = m\vec{a} \end{displaymath}$

(6.1)

o, en componentes

$\begin{displaymath} F_i = m a_i, \;i=1,2,3 \end{displaymath}$

(6.2)

donde $\vec{F}$ representa la resultante de todas las fuerzas externas al cuerpo, es decir, la suma de dichas fuerzas. $\vec{F} = \sum \vec{F}_j, \; j=1,...$

Esta expresión nos relaciona $\vec{F}$ , y $\vec{a}$ de una forma unívoca. Básicamente nos dice que el resultado que producen una serie de fuerzas sobre un cuerpo es que dicho cuerpo se acelere en la misma dirección y sentido que la suma de las fuerzas que le son aplicadas y con una intensidad o módulo que será la misma que la resultante de las fuerzas dividida entre la masa del cuerpo.

$\diamond$ Así pues un cuerpo experimenta una aceleración mientras está siendo sometido a una fuerza resultante no nula. Si dicha fuerza cesa el cuerpo adquiriría un movimiento rectilíneo uniforme o se quedaría quieto, según el caso.

Tercera ley de Newton

La tercera ley de Newton expresa una interesante propiedad de las fuerzas: éstas siempre se van a presentar en parejas. Se puede enunciar como

$\triangleright$ Si un cuerpo A ejerce, por la causa que sea, una fuerza F sobre otro B, este otro cuerpo B ejercerá sobre A una fuerza igual en módulo y dirección, pero de sentido contrario.

Gracias a esta ley^6.1 se pueden entender fenómenos como que, para saltar hacia arriba ¡empujamos la Tierra con todas nuestras fuerzas hacia abajo!. Al hacer esto la Tierra también ejerce esta misma fuerza con nosotros, pero con sentido contrario (es decir, hacia arriba) y como la masa de la Tierra es enorme en comparación con la nuestra, el resultado es que nosotros salimos despedidos hacia arriba pero la Tierra no se mueve apreciablemente. Así también si empujamos una superficie puntiaguda con mucha fuerza, podemos clavárnosla, porque dicha superficie también estará empujando nuestro dedo con la misma fuerza que nosotros a ella, y como la superficie de la aguja es muchísimo menor la presión que esta hace sobre nuestro dedo es muy grande.

$\diamond$ Entonces, si a toda fuerza que se ejerce se opone otra de sentido contrario ¿no deberían anularse las fuerzas y nada se podría mover?. No, porque las fuerzas se ejercen en cuerpos diferentes. Así en el ejemplo del salto, nosotros empujamos a la Tierra y la Tierra a nosotros, pero estas fuerzas no se anulan porque, como es evidente, nosotros y la Tierra somos cuerpos distintos.

Fuerzas especiales que aparecen en problemas

Normal

Por normal se entiende la fuerza con la que una superficie se opone a un cuerpo que se le sitúa encima. Si no existiera esta fuerza el cuerpo se ``hundiría'' en la superficie. Ésta es, por tanto, la fuerza de reacción que, obediente al tercer principio de Newton, la superficie opone al empuje que el cuerpo, por encontrarse encima, hace sobre ella.

Esta fuerza es siempre normal a la superficie, es decir, perpendicular a ésta. Para calcular su valor hay que ser bastante cuidadoso y hacer un balance de las fuerzas en los ejes que tomemos, utilizando la normal para compensar las otras fuerzas de la forma en que sea necesario.

$\mathcal{P}$ Calcule la normal que una mesa ejerce sobre un cuerpo de si el cuerpo está en reposo. $\mathcal{R}$ Si el cuerpo está en reposo significa que su aceleración total es nula. Entonces aplicando la segunda ley de Newton a un eje vertical tendremos que

$\begin{displaymath}0=N-P\end{displaymath}$

donde hemos supuesto que la mesa está perfectamente horizontal y por tanto la normal tendrá sólo una componente en el eje . Así tendremos que y por tanto en este caso .

El cálculo de la normal en un caso donde haya un cuerpo deslizándose por una rampa puede encontrarse en la sección 6.6.

Rozamiento

Entre dos superficies

El rozamiento entre superficies se expresa como

$\begin{displaymath}F_r = \mu N,\end{displaymath}$

siendo siempre de sentido opuesto al del movimiento. Este resultado no se puede ``demostrar'' porque se trata de un resultado empírico, es decir, fruto de la experimentación.

El coeficiente de rozamiento $\mu$ es adimensional y expresa así la relación entre la normal que el cuerpo ejerce, es decir, la fuerza con la que el cuerpo empuja la superficie debajo de la cual se encuentra, y el rozamiento que va a sufrir por causa de este empuje. Puede haber dos tipos de coeficiente de rozamiento. Un $\mu$ estático, que se aplica cuando el cuerpo está quieto y que así, utilizado en $F_r=\mu N$ nos va a ofrecer la fuerza máxima con la que el rozamiento se va a resistir a que se mueva un cuerpo que está quieto, y un $\mu$ dinámico que, aplicado en la fórmula de rozamiento, nos dice la fuerza que el rozamiento está realizando contra un movimiento.

$\mathcal{P}$ Un cuerpo de está deslizando por una superficie lisa con coeficiente de rozamiento (dinámico) $\mu=0.25$ . Si sobre este cuerpo no actúan más fuerzas que el peso y dicha fuerza de rozamiento ¿con qué aceleración se mueve el cuerpo?. $\mathcal{R}$ Aplicando la ecuación de Newton al eje del movimiento obtenemos que, en este eje, las fuerzas que aparecen son el peso y la normal y, por tanto,

$\begin{displaymath}N-P=ma_y.\end{displaymath}$

Como (un cuerpo sobre una superficie no va ``botando'' sobre ella, su altura, medida sobre la superficie, es siempre 0.) tendremos que . Aplicando ahora tenemos que la única fuerza en el eje es la de rozamiento, y por tanto

$\begin{displaymath}F_x=-F_r=-\mu N = ma_x \Rightarrow a_x = -\mu g\end{displaymath}$

de donde $a_x = -2.45\frac{m}{s^2}$ . El signo `-' se debe a que, como estamos suponiendo implícitamente que el cuerpo avanza hacia el signo positivo de las , el rozamiento se opondrá al avance y tendrá, por tanto, signo negativo.

Con un fluido

$\circ$ Rozamiento con un fluido^6.2 se expresa con

$\begin{displaymath}\vec{F}_r = -K \vec{v}\end{displaymath}$

o bien

$\begin{displaymath}F_r = -Kv^2\end{displaymath}$

u otras potencias de . Una aplicación algo compleja sobre la forma de utilizar esta fuerza de rozamiento puede verse en el apéndice B. No es sencillo demostrar por qué esta contribución nos aporta el rozamiento contra un fluido y, en algunos casos, es por medio de la experimentación como se encuentra una fórmula empírica más precisa.

Tensión

En problemas que intervienen cuerdas o poleas tensión es la fuerza que liga unos cuerpos y otros a través de la cuerda. La tensión en cada extremo de una misma cuerda es siempre igual pero de sentido contrario. Si esta tensión supera un cierto valor crítico la cuerda se rompería.

El momento lineal

La ley de Newton, expresada como $\vec{F}=m\vec{a}$ puede ser utilizada también para demostrar otras relaciones interesantes, siempre que se manipule adecuadamente.

Por ejemplo, si definimos una cantidad $\vec{p}$ a la que llamaremos cantidad de movimiento, podemos decir que una fuerza es la encargada de variar la cantidad de movimiento sobre un cuerpo. De esta forma definamos $\vec{p}$ tal que

$\begin{displaymath}\vec{F}=\frac{d}{dt}\vec{p}.\end{displaymath}$

La pregunta será ahora ¿tendrá $\vec{p}$ alguna expresión conocida?. Supongamos que un cuerpo con masa constante va a cierta velocidad $\vec{v}$ . Una fuerza sobre él deberá producirle una aceleración y, por tanto variar su velocidad y su momento lineal. Así pues velocidad y momento lineal deben de ir relacionados de alguna forma. Efectivamente tomando $\vec{p}=m\vec{v}$ nos damos cuenta de que $\frac{d}{dt}m\vec{v}$ cuando es constate es $m\frac{d}{dt}\vec{v}=m\vec{a}=\vec{F}$ .

Por tanto hemos descubierto una nueva magnitud $\vec{p}$ que nos será de gran utilidad para desarrollos sucesivos.

$\diamond$ Una forma intuitiva de comprender el momento lineal es como una forma de medir la dificultad de llevar una partícula hasta el reposo. Así es claro que, cuanto más masivo sea un cuerpo y más velocidad tenga, tanto más nos costará ``parar'' el movimiento de dicho cuerpo.

Conservación del momento lineal

Cuando la resultante de las fuerzas externas sobre un sistema es nula, ¿qué sucede con $\vec{p}$ ?. Como la fuerza es la derivada del momento lineal respecto al tiempo, obtenemos que, cuando la fuerza total es cero, esta cantidad que se deriva debe ser constante y, por tanto, si $\vec{F}=\vec{0}$ esto supone $\vec{p}=cte$ . Hemos obtenido así que esta magnitud tan interesante, el momento lineal, se conserva, es decir, no varía, cuando no aparecen fuerzas externas sobre un objeto. Por tanto podemos decir que

$\begin{displaymath}\vec{p}_i = \vec{p}_f.\end{displaymath}$

La importancia de esta igualdad se podrá ver mejor cuando hablemos de los sistemas de partículas, concretamente en la sección 8.3.3.

Conservación de la energía

Cuando en un problema intervienen sobre el sistema únicamente fuerzas conservativas^6.3se pude aplicar el teorema de conservación de la energía. Esto supone que

$\begin{displaymath}E_i = E_f,\end{displaymath}$

siendo y las sumas de las energías potenciales más la energía cinética en los momentos y ^6.4.

La explicación de esta igualdad tan interesante no se expresa aquí porque se verá más concretamente en el capítulo 7.4.

Resolución de problemas

Planos inclinados

Es común en los problemas la presencia de planos inclinados. En estos casos habrá que tener en cuenta que, así como la gravedad siempre se presenta vertical, la normal será perpendicular al plano inclinado, por lo que ningún sistema de coordenadas ortogonal tendrá exactamente comprendidas las fuerzas en acción en sus ejes. Esta pequeña dificultad se soslaya de una manera simple, se proyectan las fuerzas sobre los ejes que estemos utilizando.

Una buena elección suele ser tomar el eje en la normal al plano inclinado, y el eje acorde con su superficie de deslizamiento. De esta forma la normal estará totalmente comprendida en el eje , y sólo habrá que considerar las proyecciones de usuales; $g \cos \alpha$ para la normal y $g \sin \alpha$ la componente de la gravedad que hace desplazarse el vehículo hacia abajo en el plano inclinado. Todo esto se puede ver en la figura 6.1.

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \epsfig{file=figuras/rampa.eps}} \end{center}\end{figure}$

Figura: Descomposición de las fuerzas en un plano inclinado.

$\mathcal{P}$ Un cuerpo desliza por una rampa inclinada y con un coeficiente de rozamiento $\mu=0.2$ . Calcular la aceleración con la que desciende suponiendo que $g=9.8\frac{m}{s^2}$ . $\mathcal{R}$ Tomemos para enfocar este problema el gráfico representado en la figura 6.1. Habremos de aplicar la ecuación de Newton

$\begin{displaymath} \vec{F} = m\vec{a} \end{displaymath}$

para un sistema adecuado de ejes. Se van a tomar como ejes unos tales que el eje presente la misma inclinación que la rampa. De esta forma planteando la ecuación primero para el eje :

$\begin{displaymath}F_y=ma_y\end{displaymath}$

y como las fuerzas en el eje son la normal (componente positiva) y la proyección sobre este eje del peso (componente negativa) tendremos que

$\begin{displaymath}N-mg\cos 30 = ma.\end{displaymath}$

Ahora hay que darse cuenta que, en el eje el cuerpo no se acelera porque, como en ningún momento se despega de la superficie, siempre su y, por tanto, . Así que tenemos que $N-mg\cos 30 = 0 \Rightarrow N = mg\cos 30$ .

Para el eje tenemos dos fuerzas, la proyección sobre nuestro eje del peso y la fuerza de rozamiento. Así pues

$\begin{displaymath}F_x=ma_x \Rightarrow mg\sin 30 - \mu N = ma_x\end{displaymath}$

y haciendo las oportunas sustituciones podemos despejar , que es la aceleración del sistema.

$\begin{displaymath}a_x = g\sin 30 - \mu g\cos 30 \approx 3.2\frac{m}{s^2}.\end{displaymath}$

Cuando aparecen varios cuerpos unidos por cuerdas hay que hacer este mismo análisis para cada cuerpo, incorporando como fuerza la tensión que ejercen las cuerdas y dándose cuenta de que será la misma para todos los cuerpos, puesto que si se encuentran unidos por cuerdas su movimiento será solidario.

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \epsfig{file=figuras/problema_rampas.eps}} \end{center}\end{figure}$

Figura: ¿Cuál será la aceleración de este sistema?

$\mathcal{P}$ Encontrar la aceleración del sistema dibujado en la figura 6.2. $\mathcal{R}$ Tomemos primero el cuerpo 1 y analicemos las fuerzas que aparecen sobre él. Podemos, aprovechando el análisis del problema anterior, darnos cuenta de que un estudio de las fuerzas perpendiculares a la superficie va a darnos sólo como resultado que $N_1=m_1g\cos\alpha$ . Así que las fuerzas horizontales serán, tomando como sentido positivo hacia la derecha:

La tensión, positiva.
La componente del peso, de valor $-m_1g\sin\alpha$ .
El rozamiento, que será $-\mu_1N_1=-\mu_1m_1g\cos\alpha$ .

Para el cuerpo 2 se tendrán las fuerzas:

Tensión, negativa para este cuerpo.
Componente del peso: $m_2g\sin\beta$ .
Rozamiento, $-\mu_2N_2 = -\mu_2m_2g\cos\beta$ .

Queda ahora plantear el sistema de ecuaciones que resolverá este problema. Antes hay que darse cuenta que la componente de la aceleración debe ser la misma para ambos cuerpos, ya que van solidarios gracias a la cuerda. Llamaremos a esta componente de la aceleración simplemente .

$\begin{displaymath}\left.\begin{array}{ccc} T-m_1g\sin\alpha-\mu_1m_1g\cos\alpha... ...T+m_2g\sin\beta-\mu_2m_2g\cos\beta&=&m_2 a \end{array}\right\}.\end{displaymath}$

Resolviendo este sistema (por ejemplo sumando las ecuaciones miembro a miembro) se obtiene fácilmente que

$\begin{displaymath}a = \frac{ m_2\sin\beta-\mu_2m_2\cos\beta-m_1\sin\alpha-\mu_1m_1\cos\alpha}{m_1+m_2}g.\end{displaymath}$

Curvas

Cuando aparecen problemas de estabilidad en las curvas pueden ser de los tipos explicados a continuación y cuya representación se ha pretendido en la figura 6.3.

Curvas sin peraltar

En estos casos la fuerza de rozamiento es la que nos proporciona toda la componente normal que servirá para tomar la curva. Siempre que tengamos que ésta es mayor que la aceleración normal el automóvil será capaz de tomar la curva, es decir, el caso límite se alcanza cuando

$\begin{displaymath}F_r = ma_n=m\frac{v^2}{R}\end{displaymath}$

Curvas peraltadas sin rozamiento

En estos casos se toma la proyección de la normal sobre la horizontal como causante de la fuerza centrípeta. Este caso se puede ver en la figura 6.3b y se tiene, simplemente, que:

$\begin{displaymath}\tan \alpha = \frac{m\frac{v^2}{R}}{mg}=\frac{v^2}{Rg}.\end{displaymath}$

Curvas peraltadas con rozamiento

Este es un caso bastante más complejo de analizar. Podría ser un buen ejercicio para el lector intentar demostrar que, en este caso, la velocidad límite para tomar la curva siendo la aceleración de la gravedad, $\mu$ el coeficiente de rozamiento, $\alpha$ el ángulo de inclinación de la curva y el radio de la misma, es

$\begin{displaymath}v = \sqrt{Rg\frac{\mu+\tan\alpha}{1-\mu\tan\alpha}}.\end{displaymath}$

Vuelcos

En otras situaciones se pide que analicemos si vuelca o no un automóvil. Se considera que vuelca cuando la fuerza sobre el centro de masas supera el ángulo que forma el centro de masas con alguno de los extremos donde se apoya el vehículo. Un dibujo puede verse en la figura 6.3. (Este apartado necesita actualización).

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \epsfig{file=figuras/curvas.eps,width=12.5cm}} \end{center}\end{figure}$

Figura 6.3: Distintas situaciones ante una curva.

Casos límite

Es común la existencia de problemas en los que se nos pregunta por un caso límite, relacionado con cuando un móvil se saldrá de un determinado recorrido, o podrá dar una vuelta completa en un bucle, o similar. En estos casos hay que tener en cuenta, simplemente, que un cuerpo permanecerá adherido a una superficie mientras exista una cierta reacción de la superficie al cuerpo, es decir, mientras la normal no sea nula. Cuando la normal es nula estamos ante el caso límite.

También es muy conveniente recordar que, en la mayoría de estos casos, los cuerpos siguen una trayectoria circular. Pues bien, habrá que recordar que este recorrido circular sólo es posible si existe una aceleración centrípeta del módulo adecuado a la velocidad y radio de la trayectoria, (ver (5.1) y (5.2)) con lo que habrá que realizar la descomposición oportuna de fuerzas para ver qué parte es la que suministra esta componente y, cuando las fuerzas exteriores no sean capaces de suministrar esta aceleración normal, nos hallaremos con el caso límite y el cuerpo se saldría de su trayectoria circular o, en definitiva, dejaría de hacerla.

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \epsfig{file=figuras/looping.eps}} \end{center}\end{figure}$

Figura: ¿Desde qué altura podrá una masa realizar un bucle?.

$\mathcal{P}$ Calcular la altura mínima desde la que hay que dejar caer un objeto para que logre dar la vuelta a un bucle entero, como el dibujado en la figura 6.4. Se desprecian todos los rozamientos que pudiere haber. $\mathcal{R}$ Analizando las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo cuando éste se encuentre en el punto de la trayectoria, tenemos que, tomando como sentido positivo hacia arriba, el peso será , la normal en este caso es hacia abajo porque la fuerza que realiza la superficie sobre el cuerpo es siempre evitando que este ``atraviese'' la superficie, y en este caso ``atravesar'' la superficie supondría empujarla en exceso hacia arriba, con lo cual, tomando como el módulo de la normal, la normal será . Por último el efecto de estas dos fuerzas será producir una aceleración pero, como en este caso el objeto está rotando, no será una aceleración cualquiera sino una aceleración puramente normal y, por tanto, de módulo

$\begin{displaymath}a=\frac{v^2}{R}\end{displaymath}$

y sentido también hacia abajo (hacia el centro de la curva). De esta manera tendremos que el análisis de fuerzas en la parte más alta del bucle (punto ) es

$\begin{displaymath}-mg -N = -m\frac{v^2}{R}.\end{displaymath}$

¿Qué significa esta fórmula?. Lo que significa es que son el peso y la normal, los que ``empujan'' al cuerpo hacia abajo obligándole a girar y realizar una trayectoria circular. Ahora bien, si ``mentalmente'' vamos disminuyendo en la fórmula, nos damos cuenta de que el término de la aceleración normal va siendo más pequeño, y por tanto la fuerza centrípeta también. ¿Cómo se logra esto?. Como el peso es constante sólo se puede lograr disminuyendo la fuerza que ejerce la normal. Cuando la fuerza centrípeta sea igual que el peso del cuerpo tendremos que en este instante la normal es cero. ¿Y si es menor la fuerza centrípeta que el peso?. Entonces deberíamos tener una normal positiva, es decir, que ``empujara'' hacia arriba. Pero esto es imposible, porque claramente se ve que las superficies no ``absorben'' los cuerpos, que es lo que supondría que la normal tuviera signo contrario. Por lo tanto si $m\frac{v^2}{R}<mg$ el cuerpo no puede rotar correctamente y caería saliéndose del bucle. Intuitivamente sucede que, como la fuerza centrípeta no necesita tanto peso, ``sobra componente vertical'' y, por tanto, el cuerpo cae.

Así pues deducimos que la velocidad límite con la que debe llegar el cuerpo arriba es tal que $m\frac{v^2}{R}=mg \Rightarrow v=\sqrt{gR}$ .

Por último, para relacionar esta velocidad con la altura utilizamos el teorema de conservación de la energía, ya que no hay rozamientos. Así

$\begin{displaymath}\left.\begin{array}{ccc} E_c^A + E_p^A &=& 0+mgh\\ E_c^B + E... ...ht\}\Rightarrow mgh = \frac{1}{2}m\left(\sqrt{gR}\right)^2+2mgR\end{displaymath}$

y con un simple cálculo se obtiene que

$\begin{displaymath}h=\frac{5}{2}R.\end{displaymath}$