Dinámica de un sistema de partículas

Conceptos y definiciones primarias

Sistema de partículas es un conjunto de partículas^8.1 cuyas propiedades globales queremos estudiar.

Fuerza exterior de un sistema de partículas es aquella que viene de fuera del sistema. Fuerza interior es la proveniente de las interacciones entre las propias partículas del sistema. Se pueden denotar como $\vec{F}^{ext}$ y $\vec{F}^{int}$ .

Centro de masas

El centro de masas para un sistema de partículas discreto es

$\begin{displaymath} \vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + ...}{m_1 + m_2 +...} = \frac{\sum^N_{i=1} m_i\vec{r}_i}{\sum^N_{i=1} m_i}. \end{displaymath}$

(8.1)

Cuando se tenga un sistema continuo el centro de masas vendrá definido como

$\begin{displaymath}\vec{r}_{cm} = \frac{\int \vec{r}\, dm}{\int \, dm}\end{displaymath}$

o, expresándolo mejor en función de la densidad del sistema

$\begin{displaymath}\vec{r}_{cm} = \frac{\int \rho\, dm}{m_T}\end{displaymath}$

siendo la masa total del cuerpo continuo.

Teorema de Pappus

$\circ$ Este teorema resulta muy útil para calcular el centro de masas de algunas figuras. El mecanismo de funcionamiento es como sigue: tomando un área cualquiera cerrada en un plano y generando un sólido rotándola en el espacio de manera tal que cada punto siempre se mueva perpendicular al plano del área, tendremos como resultado que el sólido así generado tendrá un volumen igual que el área de esta sección empleada por la distancia que se ha desplazado el centro de masas.

Dinámica del centro de masas

Velocidad

Hallar la magnitud $\vec{v}_{cm}$ es simplemente derivar la ecuación (8.1), con lo cual se llega a

$\begin{displaymath}\vec{v}_{cm} = \frac{1}{m_T} \sum^N_{i=1} \vec{p}_i\end{displaymath}$

o, también se tiene

$\begin{displaymath} m_T \vec{r}_{cm} = \sum^N_{i=1} \vec{p}_i. \end{displaymath}$

(8.2)

Aceleración

Derivando dos veces

$\begin{displaymath} \vec{F}^{ext} = m_t \vec{a}_{cm}. \end{displaymath}$

(8.3)

Para llegar a este resultado ha hecho falta darse cuenta de que cada $\vec{F}_i = m_i \vec{a}_i$ se puede descomponer en $\vec{F}_i = \vec{F}^{ext}_i + \vec{F}^{int}_i$ donde $\vec{F}^{int}_i = \sum^N_{j\neq i}\vec{F}_{ij}$ , siendo estas $\vec{F}_{ij}$ todas las fuerzas de interacción entre las partículas o, más concretamente, la fuerza que una partícula ejerce sobre la . Posteriormente cuando se suman todas estas fuerzas en la fórmula general se tiene que el sumatorio $\sum^N_i \sum^N_{j \neq i} \vec{F}_{ij}$ se anula ya que, por el principio de acción y reacción, $\vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}$ .

Momento lineal

Se define el momento lineal de un sistema de partículas como la suma de los momentos de cada una de las partículas que integran el sistema. Quiere decir esto que el momento lineal de un sistema será

$\begin{displaymath}\vec{p} \sum^N_{i=1} \vec{p}_i.\end{displaymath}$

Atendiendo a la fórmula (8.2) podemos ver claramente que

$\begin{displaymath}\vec{p} = m_t\vec{v}_{cm}.\end{displaymath}$

A su vez, si la fuerza exterior ejercida sobre el sistema de partículas es nula, haciendo uso de (8.3) se ve fácilmente que $\vec{p}$ permanece constante, de donde podemos enunciar la conservación del momento lineal total del sistema:

$\begin{displaymath}\vec{F}^{ext} = 0 \Rightarrow \vec{p} = cte.\end{displaymath}$

$\triangleright$ Si la fuerza neta externa que actúa sobre un sistema es nula, el momento lineal de éste se conserva.

Energía

Generalizando el teorema de las fuerzas vivas a todo un sistema de partículas se puede demostrar que

$\begin{displaymath}W_t^{A\rightarrow B} = E_c(B) - E_c(A)\end{displaymath}$

donde $E_c = \sum^N_{i=1} E_{c,i}$ . Cuando todas las fuerzas, tanto las internas como las externas, que aparecen en acción en el sistema son conservativas podemos enunciar un teorema general de conservación de la energía, que dirá

$\begin{displaymath}E_T = E_c + E_p = cte.\end{displaymath}$

Ahora bien, como ya hemos definido una total nos quedará ver cómo definir la magnitud . Intuitivamente se puede ver que deberá ser una suma de todas las energías potenciales puestas en juego en el sistema, es decir, un término donde se considere la energía potencial que pueda tener cada partícula por la aplicación de la fuerza externa, y otro donde se sumen todos los pares de interacción entre partículas del propio sistema, que también contribuirá. Estas ideas se traducen en

$\begin{displaymath}E_p = \sum^N_{i=1}E^{ext}_{p,i} + \frac{1}{2} \sum^N_{i=1} \sum^n_{j\neq i} E^{int}_{p,ij}.\end{displaymath}$

Energía mecánica interna

Relacionando la energía cinética de un sistema de partículas en un sistema de referencia inercial usual con la que tiene en el sistema de referencia centro de masas se llega a la ecuación

$\begin{displaymath}E_c = E'_c + \frac{1}{2} m_tv^2_{cm}\end{displaymath}$

donde vemos que, además de la energía cinética que tiene el sistema considerándole como un único cuerpo situado en su centro de masas, aparece otra energía, que se relaciona con cómo se mueven esas partículas respecto al centro de masas.

$\diamond$ Posteriormente veremos que esa se puede expresar mucho más fácilmente cuando tenemos un sistema de masas continuo que esta rotando

$\triangleright$ Cuando tanto las fuerzas externas como las internas que actúan sobre un sistema de partículas son conservativas, la energía total del sistema permanece constante.

Aplicaciones

Sistema de referencia del centro de masas

Consiste en situar el sistema de coordenadas justo con el origen en el centro de masas. Tiene como ventaja que, si la resultante de todas las fuerzas exteriores es nula, es decir si $\vec{F}^{ext} = \vec{0}$ , entonces en este nuevo sistema el centro de masas permanece constante e igual a 0 (ya que está situado en el origen de coordenadas) y además, se trata de un sistema inercial.

Para pasar de un sistema a otro basta usar las ecuaciones (5.3) en este caso particular y tendremos

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \vec{r}'_i & = & \vec{r}_i - \vec{r}_{cm} \\ \vec{v}'_i & = & \vec{v}_i - \vec{v}_{cm} \end{array}\end{displaymath}$

habiendo primado en este caso las coordenadas que se verían desde el sistema centro de masas.

Problemas de dos cuerpos

$\circ$ Cuando tenemos un problema de dos cuerpos podemos separar este problema en dos situaciones diferenciadas. Por ejemplo, si queremos ver que sucede con el sistema Tierra-Sol, podríamos plantearnos usar la ecuación (8.3) para tener una idea global de cómo se está moviendo el sistema.

No obstante esta ecuación no nos da la información concreta de cómo una partícula, o un planeta, se mueve respecto al otro, sino sólo como se desplaza su centro de masas. Es muy útil suponer que las fuerzas exteriores sobre el sistema sean nulas, es decir, que tengamos un sistema de dos cuerpos aislados, y ver que sucede. En ese caso $\vec{a}_{cm} = \vec{0}$ y, por tanto, el c.d.m. se desplazará con movimiento rectilíneo y uniforme (o se estará quieto). Pero ¿qué sucede con las partículas que componen nuestro sistema?.

Cuando las fuerzas externas son nulas se puede demostrar tras un poco de álgebra que

$\begin{displaymath}\vec{F}_{12} = \mu \vec{a}_{12}\end{displaymath}$

donde $\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ y $\vec{a}_{12}$ es la aceleración del cuerpo 2 vista desde el 1. Esta igualdad nos permitiría establecer como es el movimiento de los cuerpos como si de un único cuerpo de masa $\mu$ se tratase.

Colisiones

Cuando tenemos un sistema de partículas en el cual sus partículas componentes chocan entre sí, en ausencia de fuerzas externas, hemos de tener en cuenta que esto supone una conservación de la masa, evidentemente, más una conservación del momento lineal, como ya se ha escrito en 8.3.3. Por tanto tomando el sistema en un instante nicial y otro inal tendremos

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \sum_i m_i^i &=& \sum_i m_i^f \\ \sum_i p_i^i &=& \sum_i p_i^f \end{array}\end{displaymath}$

En general, para simplificar los problemas, el número de partículas en los instantes y suele ser 1 o 2.

Conservación de la energía

En las colisiones, en cambio, no se tiene por qué conservar la energía. Aquellas en las que si que se tiene que se denominan elásticas. Para medir el grado de elasticidad de una colisión, y también para aportar un dato extra en el caso en el cual la conservación del momento (y de la masa) no nos aporta información suficiente, se recurre al concepto de coeficiente de restitución. Éste se define en el caso unidimensional como

$\begin{displaymath} K = - \frac{v_1^f - v_2^f}{v_2^i - v_2^i} \end{displaymath}$

(8.4)

y cuyo valor varía entre 1 para un choque elástico y 0 para otro perfectamente inelástico.

$\circ$ La demostración de que para un choque elástico no es complicada, aunque hay que hacer un poco de álgebra. Pasa simplemente por plantear, para un choque de dos cuerpos donde no hay variación en la masa, las ecuaciones de conservación del momento lineal y, por ser elástico, también las de la energía cinética. Serán dos ecuaciones con dos incógnitas. Se despeja y sustituye y, al resolver la ecuación de segundo grado que se obtiene, sale una relación de y de la cual ya, introduciendo sus valores en (8.4) se obtiene el resultado deseado. Sería muy útil que el lector comprobara esto personalmente a modo de ejercicio práctico.