Dinámica de la rotación

Introducción

Sólido rígido

Para simplificar mucho la explicación de la rotación en los cuerpos se toma siempre un modelo de cómo son estos cuerpos que se denomina sólido rígido. Este modelo consiste en considerar que los cuerpos, los sólidos tomados, son absolutamente indeformables, son rígidos. Matemáticamente se puede expresar de una manera más rigurosa diciendo que la distancia entre sus partículas no cambia. Dada una partícula y otra del sistema que consideremos siempre se tendrá que $\left\vert \vec{r}_i - \vec{r}_j \right\vert = K$ siendo una constante cualesquiera.

Para un cuerpo de este tipo, por tanto, conociendo dónde está en un momento determinado una partícula y el ángulo $\theta$ de rotación del cuerpo respecto a la posición original, conocemos el resto de las posiciones de los puntos.

Analogías

El estudio de la dinámica de la rotación se puede hacer sencillo teniendo presentes las siguientes analogías entre la dinámica normal y ésta.

traslación	Rotación
	$\theta$
	$\omega$
	$\alpha$
	$I=\sum_i m_i r_i^2$
$\vec{p}$	$\vec{L}=\vec{r} \wedge \vec{p}$
$\vec{F}$	$\vec{M}=\vec{r} \wedge \vec{F}$
	$M=I\alpha$
$F=\frac{dp}{dt}$	$M=\frac{dL}{dt}$
	$L=I\omega$
	$W=M\theta$
$E_c=\frac{1}{2}mv^2$	$E_c=\frac{1}{2}I\omega^2$

Momento de una fuerza

Cuando un cuerpo sufre una aceleración es porque tiene una causa que lo provoca. Newton descubrió que es la fuerza la causa de que esto suceda. ¿Cuál es la causa de una rotación?. Es el momento de una fuerza. Una deducción fácil, clara y divertida se puede encontrar en [1]. De momento aquí se expondrá su definición y propiedades. Como $\vec{M}=\vec{r} \wedge \vec{F}$ tomando será igual a $rF\sin\alpha$ siendo $\alpha$ el ángulo formado entre el vector $\vec{r}$ y $\vec{F}$ . Por tanto la componente perpendicular al vector posición es la que interviene realmente en la rotación.

$\triangleright$ La componente de la fuerza perpendicular al vector posición es la que realmente interviene en la rotación.

Momento angular

En dinámica de traslación la variación del momento lineal $\vec{p}$ respecto al tiempo es denominada fuerza. Parece lógico suponer que debiera existir alguna magnitud análoga en dinámica de rotación tal que su derivada temporal nos proporcione también la causa, es decir, el momento de las fuerzas $\vec{M}$ . Como $\vec{M}=\vec{r} \wedge \vec{F}$ probemos a tomar $\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}$ siendo

$\begin{displaymath} \vec{L}=\vec{r}\wedge\vec{p} \end{displaymath}$

(9.1)

y ver que sucede al ser derivado. Es sencillo llegar a la conclusión de que, efectivamente, esta magnitud es la análoga del momento lineal $\vec{p}$ en cuanto que al ser derivada se obtiene $\vec{M}$ .

$\circ$ Derivar esta magnitud no es complicado, razonando que un producto vectorial no es sino un producto combinado de las componentes de un vector no parece descabellado admitir que

$\begin{displaymath}\frac{d}{dt} \left(\vec{a}\wedge\vec{b}\right) = \frac{d\vec{a}}{dt}\wedge\vec{b} + \vec{a}\wedge\frac{d\vec{b}}{dt}\end{displaymath}$

Así tenemos que

$\begin{displaymath}\frac{d}{dt} \left(\vec{r}\wedge\vec{p}\right) = \frac{d\vec{r}}{dt}\wedge\vec{p} + \vec{r}\wedge\frac{d\vec{p}}{dt}\end{displaymath}$

en donde es sencillo darse cuenta de que $\vec{p}=m\vec{v}$ y que $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ . Tenemos entonces un primer sumando que será $\vec{v}\wedge m\vec{v} = 0$ por se el producto vectorial de dos vectores paralelos, y un segundo sumando que es, efectivamente, igual a $\vec{M}$ .

También se puede expresar en función del momento de inercia como

$\begin{displaymath}L=I\omega.\end{displaymath}$

$\circ$ La igualdad $L=I\omega$ se puede conseguir tomando un sólido rígido y calculando cuanto será su momento angular. Para una determinada partícula tendremos que . De aquí sólo resulta interesante conocer cuanto será la proyección de este valor sobre el eje que vamos a tomar en este caso como el eje de rotación. Esta proyección se logra multiplicando por el $\sin\theta_i$ , siendo $\theta_i$ el ángulo formado por $\vec{r}_i$ con el eje de giro. Así tenemos que

$\begin{displaymath}L_z=\sum_i L_{z_i} = \sum_i m_ir_iv_i \sin\theta_i = \sum_i m_iR_i^2\omega\end{displaymath}$

siendo la distancia de la partícula al eje. Todo esto se puede expresar ahora fácilmente como

$\begin{displaymath}L_z=\omega \sum_i m_iR_i^2= Iw\end{displaymath}$

puesto que se define $I=\sum_i m_iR_i^2$ . Existen algunos ejes en un cuerpo, generalmente ejes de simetría, tales que si el cuerpo rota alrededor de estos ejes, el momento angular total es paralelo al eje de rotación, y por tanto para ellos . En estos casos se puede escribir que

$\begin{displaymath}\vec{L} = I\vec{\omega}.\end{displaymath}$

$\diamond$ El momento angular total como vector $\vec{L}$ no tiene por qué estar en la dirección del eje de rotación si este eje no coincide con alguno de simetría del cuerpo.

Momento de inercia

Se ha visto ya en apartados anteriores la importancia relativa del momento de inercia como el análogo de la masa para las rotaciones.

$\triangleright$ El momento de inercia es el análogo de la masa para una rotación.

Para sistemas discretos este momento de inercia se expresa como

$\begin{displaymath}I=\sum_i m_i r_i^2\end{displaymath}$

donde representa la distancia de la partícula al eje de rotación. Pero normalmente se tiene cuerpos reales, formados por tal cantidad de átomos, de pequeñas partículas que se les supone continuos. Para ellos la fórmula de cálculo del momento de inercia es

$\begin{displaymath}I = \int r^2dm = \int r^2 \rho dV.\end{displaymath}$

No obstante, a la hora de determinar el momento de inercia de un determinado cuerpo es interesante conocer que

La simetría del cuerpo permite a veces realizar sólo parte del cálculo.
Como el momento de inercia es aditivo^9.1 el cálculo de un momento de inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia de sus partes. También si tenemos un cuerpo formado por uno más sencillo al que ``le falta un cacho'' podemos calcular su momento como la suma del cuerpo sencillo menos el cacho que le falta.
Muchas veces dado el momento de inercia de un cuerpo respecto a un cierto eje podemos sacar su momento en otro eje sin necesidad de recalcularlo usando el teorema de Steiner o el de las figuras planas.

Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

El teorema de Steiner relaciona el momento de inercia de un eje que pase por el centro de masas de un cuerpo con el momento de inercia que tendría el mismo cuerpo tomando cualquier otro eje paralelo al primero. Esta relación es

$\begin{displaymath}I = I_{cm} + md^2\end{displaymath}$

donde es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje paralelo al original, $I_{cm}$ es el momento de inercia del eje que pasa por el centro de masas, es la masa total del cuerpo y es la distancia entre estos ejes paralelos.

$\triangleright$ El teorema de Steiner relaciona el momento de inercia respecto a un eje que pase por el centro de masas de un sólido con cualquier otro eje paralelo a él.

Teorema de las figuras planas o de los ejes perpendiculares.

El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la figura es igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estén contenidos en el plano de la figura, corten al eje perpendicular y sean todos perpendiculares entre si.

Dibujo de una figura plana. $\psfig{file=figuras/figura_plana.ps}$

Es decir, dado el dibujo de la figura 9.1 tendremos que . Este teorema nos sirve, por ejemplo, para calcular fácilmente el momento de inercia de un anillo. Respecto al eje que pasa por el centro del anillo, como toda la masa está situada a la misma distancia tenemos que su momento de inercia será de (es trivial, como dicen los matemáticos). Además como el anillo tiene mucha simetría el momento de inercia de un eje que esté contenido en el plano del anillo será igual al de otro eje también contenido en el plano pero perpendicular al eje anterior, ya que el anillo ``se ve igual''. Si llamamos a este otro momento poniendo de plano, tendremos que $mR^2 = I_p+I_p \Rightarrow I_p = \frac{1}{2}mR^2$ .

$\triangleright$ El teorema de los ejes perpendiculares sólo se aplica a las figuras planas y permite relacionar el momento perpendicular al plano de la figura con los momentos de otros dos ejes contenidos en el plano de la figura.

Relación del momento de inercia respecto a un punto con los tres ejes

Si llamamos al momento de inercia de un cuerpo respecto a un punto, y no un eje, tendremos que

$\begin{displaymath}2I_0 = I_x + I_y + I_z.\end{displaymath}$

Como demostración basta darse cuenta que el momento será

$\begin{displaymath}\int (x^2 + y^2 + z^2)\ dm\end{displaymath}$

frente a los momentos

$\begin{displaymath}\left.\begin{array}{ccc} I_x & = & \int (y^2+z^2)\ dm \\ I_y... ...+z^2)\ dm \\ I_z & = & \int (x^2+y^2)\ dm \end{array}\right\}.\end{displaymath}$

Ecuación de la dinámica de rotación

Sabemos ya que $\frac{dL}{dt}=M$ y que cuando la rotación es alrededor de un eje de simetría^9.2 $L=I\omega$ . Introduciendo esta en la fórmula anterior tenemos sencillamente que

$\begin{displaymath} M=I\alpha \end{displaymath}$

(9.2)

donde $\alpha$ es la derivada de $\omega$ respecto al tiempo, es decir, será la aceleración angular.

De esta manera la ecuación (9.2) nos proporciona una relación entre los momentos aplicados a un cuerpo y la aceleración angular que logra alcanzar ese cuerpo. En muchos casos, como se puede ver en 9.7.1 y 9.7.2 se puede establecer una relación entre $\alpha$ y $\vec{a}$ .

Conservación del momento angular

A partir de la fórmula (9.2) y, de manera análoga a como lo planteamos con la dinámica de traslación, se puede establecer que cuando no actúa ningún momento externo sobre un sistema de partículas o un cuerpo rígido, su momento angular se mantiene constante, teniéndose entonces que

$\begin{displaymath}L_i = L_f.\end{displaymath}$

Ésta es una igualdad muy útil para resolver situaciones en las que el cuerpo varía su forma, y por tanto su momento de inercia , pero sin que existan momentos externos. Una explicación más detallada se encuentra en 9.7.6.

$\triangleright$ Cuando no actúan momentos externos sobre un sistema de partículas su momento angular permanece constante.

Energía de rotación

Al igual que un cuerpo con una cierta velocidad presenta una energía cinética igual a $\frac{1}{2}mv^2$ , los cuerpos que rotan tienen una energía asociada a esta rotación que, por analogía, resulta ser

$\begin{displaymath}E_c=\frac{1}{2}I\omega^2.\end{displaymath}$

$\circ$ También se puede razonar tomando $E_c = \sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2$ y, como $v_i = r_i\omega$ tendremos $E=\sum_i\frac{1}{2}m_ir_i^2\omega^2$ que, extrayendo factor común resultará ser

$\begin{displaymath}E_c=\frac{1}{2}\left( \sum_i m_i r_i^2 \right) \omega^2 = \frac{1}{2} I\omega^2.\end{displaymath}$

Cuando, además, el cuerpo está girando con respecto a un eje que pase por su centro de masas la energía cinética total es igual a la de traslación del centro de masas más la de rotación, es decir

$\begin{displaymath}E_c = \frac{1}{2}mv^2_{cm} + \frac{1}{2}I_{cm}\omega^2\end{displaymath}$

siendo la masa total del cuerpo y $v_{cm}$ e $I_{cm}$ la velocidad del centro de masas y el momento de inercia del cuerpo cuando rota por un eje que pase por el centro de masas, respectivamente.

Algunos problemas típicos de rotación

Se detallan a continuación algunas situaciones fácilmente resolubles y características en las cuales se aplican las fórmulas anteriores de dinámica de rotación.

Cuerpos rodantes

Cuando un cuerpo rueda sin deslizarse se establece una ligadura, hablando en lenguaje físico, entre el ángulo que rota el cuerpo y la distancia que avanza. Para un cuerpo redondo, que es el caso común, $s=R\theta$ , siendo el radio de la figura. Esto es muy lógico porque si el camino que va recorriendo el móvil fuera mayor que la longitud de cuerpo que toca el suelo necesariamente debería haber algún tipo de deslizamiento.

Teniendo esta igualdad es muy fácil establecer que

$\begin{displaymath}\left.\begin{array}{ccc} v_{cm} & = & R\omega\\ a_{cm} & = & R\alpha \end{array}\right\}.\end{displaymath}$

Poleas

En problemas en los que aparezcan poleas, como éstas giran alrededor de su centro de masas y su momento de inercia será el de un círculo (o un cilindro, si es tridimensional), tendremos ya toda la situación conocida.

El momento de las fuerzas será simplemente el producto de la fuerza, o la tensión de la cuerda, por el radio de la polea al que se aplica.
El momento de inercia de un círculo es $\frac{1}{2}MR^2$ .
Tendremos así que, si la cuerda pasa por la parte exterior de la polea, como es habitual (hay que tener más cuidado si la polea tiene más gargantas o éstas no están sobre la superficie externa del disco) para cada tensión aplicada en la polea $TR=\frac{1}{2}MR^2\alpha$ .
Como la cuerda gira sin deslizar existe la condición $a=R\alpha$ que se aplica a la ecuación anterior.

Estática y equilibrios

En aquellos problemas en los cuales, no existiendo movimiento de ningún tipo, se nos pida calcular la geometría de alguna estructura o bien las fuerzas de acción o de reacción que hay que tener para mantener la estructura en equilibrio basta con aplicar dos fórmulas.

Al no haber movimiento del centro de masas tendremos que la resultante de todas las fuerzas deberá ser nula. Así

$\begin{displaymath}\sum \vec{F} = 0.\end{displaymath}$

Esta ecuación se descompondrá en tantas como dimensiones tenga el problema.

Cuando hay una situación estática o un equilibrio el cuerpo tampoco gira respecto a ningún punto. Por ello podremos aplicar también que los momentos resultantes deben ser nulos

$\begin{displaymath}\sum \vec{M} = 0.\end{displaymath}$

Con estas ecuaciones aplicadas con cierta intuición a algunos puntos concretos del sistema se pueden resolver este tipo de problemas.

Cálculo de la aceleración angular de un cuerpo

Para ello hay que aplicar la ecuación general de la dinámica de rotación.

Se consigue el momento de inercia de la figura respecto al eje en que se produce la rotación.
Se calculan los momentos de fuerzas tomando como punto uno del eje de rotación. Si el problema es bidimensional este eje será perpendicular al