Electromagnetismo

Introducción

Si bien algunos efectos magnéticos han sido conocidos desde la antigüedad, como por ejemplo el poder de atracción que sobre el hierro ejerce la magnetita, no fue sino hasta el siglo XIX cuando la relación entre la electricidad y el magnetismo quedó patente, pasando ambos campos de ser diferenciados a formar el cuerpo de lo que se conoce como electromagnetismo.

Con el advenimiento posterior de las ecuaciones de Maxwell, relación de ecuaciones en las que quedan expresadas todas las leyes del electromagnetismo, quedó cerrado el estudio clásico de este campo. Tan importantes y logradas fueron estas ecuaciones que Albert Einstein, eligiendo entre la veracidad de las ecuaciones de Maxwell o la Mecánica Newtoniana, que no son compatibles entre si, logró desbancar la teoría Newtoniana imponiendo la llamada Teoría de la Relatividad.

En este nivel veremos algunas de las relaciones más patentes entre la electricidad y el magnetismo, así como las fuerzas a las que la aparición de campos magnéticos da lugar.

Fuerza de Lorentz

Dado un campo magnético $\vec{B}$ y una partícula de carga que se desplaza por el interior de dicho campo con una velocidad $\vec{v}$ Lorentz descubrió que esta partícula sufre una fuerza magnética igual a

$\begin{displaymath} \vec{F}=q\vec{v}\wedge\vec{B}. \end{displaymath}$

(16.1)

Elementos a destacar de esta fórmula es que la fuerza magnética se deja notar, por tanto, sólo sobre partículas cargadas; para partículas neutras () se tendrá que $\vec{F}=0$ . Un hecho aún más reseñable es que sólo actúa sobre partículas en movimiento. Si una partícula está en reposo respecto a nuestro sistema de referencia la fuerza magnética ejercida sobre ella, aunque esté cargada y exista un campo magnético, es nula.

$\diamond$ Para caracterizar el sentido del campo se puede emplear la denominada regla de la mano izquierda, consistente en que, si consideramos los dedos pulgar, índice y corazón de la mano izquierda, de tal forma que el dedo corazón señale en la dirección y sentido de la velocidad y el índice en el del campo, obtendremos el pulgar ``apuntando'' en la dirección y sentido correctos de la fuerza magnética.

La unidad de campo magnético en el Sistema Internacional es el Tesla. De la ecuación se puede extraer que dimensionalmente un Tesla será $T=\frac{Ns}{mC}$ Newton segundo entre metro Culombio.

$\triangleright$ La fuerza magnética siempre es perpendicular a la trayectoria de la partícula y al campo magnético

$\circ$ Si, además de un campo magnético existiera un campo eléctrico $\vec{E}$ podemos incluir esta fuerza en la Ley de Lorentz y, como la fuerza eléctrica es simplemente $\vec{F}=q\vec{E}$ y podemos usar el principio de superposición

$\begin{displaymath}\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\wedge\vec{B}).\end{displaymath}$

Un ejemplo de cómo se puede aplicar esta fórmula para campos magnéticos constantes se puede ver en la sección .

Fuerza sobre una corriente eléctrica

Pero...¿Y si en vez de una sola partícula tenemos varias moviéndose?, esto es como preguntarse por la fuerza que experimentará, debido al magnetismo, una corriente eléctrica. Para ello vamos a suponer una corriente eléctrica y tomar un elemento diferencial de ella. Si diferenciamos tendremos que, como sólo la carga va a variar

$\begin{displaymath}d\vec{F}=dq(\vec{v}\wedge\vec{B}),\end{displaymath}$

pero habrá que calcular cuanto puede ser este . Partiendo de la definición de intensidad para una corriente eléctrica, $I=\frac{dq}{dt}$ y sustituyendo tendremos que

$\begin{displaymath}d\vec{F}=I\,dt\vec{v}\wedge\vec{B}.\end{displaymath}$

Veamos ahora que podemos hacer con esta expresión usando la conocida fórmula de la velocidad $\vec{v}=\frac{d\vec{l}}{dt}$ y sustituyendo por tanto $d\vec{l}=\vec{v}\,dt$ :

$\begin{displaymath}d\vec{F} = I\, d\vec{l}\wedge\vec{B}.\end{displaymath}$

Por último, recordando que en un circuito la intensidad, por la ley de Ohm, depende sólo de la diferencia de potencial y la resistencia de dicho circuito y podemos considerarla por tanto constante, tendremos que para un conductor finito:

$\begin{displaymath} \vec{F}=I\,\int d\vec{l}\wedge\vec{B}. \end{displaymath}$

(16.2)

Campo magnético debido a una carga en movimiento

La relación entre la electricidad y el magnetismo es tan íntima que cualquier carga moviéndose genera a su alrededor un campo magnético. Deducir cual es dicho campo a partir de principios iniciales no es fácil, y por eso se detalla aquí simplemente cual es el campo que genera una carga en movimiento:

$\begin{displaymath} \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}q\frac{\vec{v}\wedge\widehat{r}}{r^2} \end{displaymath}$

(16.3)

donde $\mu_0$ es la constante correspondiente al campo magnético, y se denomina permeabilidad magnética del vacío, es la carga de la partícula $\vec{v}$ es la velocidad a la que se mueve y $\vec{r}$ es el vector que indica el lugar dónde queremos calcular el campo pero visto desde un sistema de referencia centrado en la partícula. También se la conoce como ley de Biot y Savart.

Esta fórmula nos indica cómo el magnetismo está creado por corrientes y no por monopolos, es decir por ``cargas magnéticas'' del estilo de las cargas eléctricas.

$\diamond$ Como ejemplo para ver la naturaleza un poco distinta del campo magnético basta considerar el intento de separar el polo de un imán. Aunque rompamos un imán por la mitad este ``reproduce'' sus dos polos. Si ahora partimos estos cachos otra vez en dos, nuevamente tendremos cada cachito con dos polos norte y sur diferenciados. En magnetismo no existen los ``monopolos''

$\circ$ Una explicación detallada aunque con bastante nivel que deduzca más rigurosamente estas expresiones y de razones para ellas puede buscarse en cualquier libro que trate sobre electromagnetismo, ecuaciones de Maxwell o incluso teoría de la Relatividad.

Campo magnético producido por una corriente eléctrica

Si intentamos generalizar la fórmula a una corriente eléctrica deberemos pasar primero a una forma diferencial para intentar integrar después, igual que hicimos con la fuerza de Lorentz. Para ello partimos de

$\begin{displaymath}d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}dq\frac{\vec{v}\wedge\widehat{r}}{r^2}\end{displaymath}$

en donde, haciendo también el cambio en función de la intensidad y teniendo en cuenta que $\vec{r}$ es el punto donde queremos calcular el campo pero visto desde la carga, si llamamos a ese punto $\vec{r}$ desde un sistema de coordenadas, y $\vec{r}'$ a cada punto del conductor que vamos a recorrer en la integración, tendremos que

$\begin{displaymath}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}I\int \frac{d\vec{l}\wedge\widehat{r-r'}}{\left( \vec{r}-\vec{r}'\right)^2.}\end{displaymath}$

Ley de Ampère

El hecho de la no existencia de un ``monopolo'' magnético va a hacer que en cualquier situación ``entren y salgan'' líneas de campo magnético en cualquier volumen que queramos imaginar y que, por tanto, el flujo del campo magnético sea nulo siempre, con lo cual no hay ningún teorema similar al de Gauss para el campo magnético en cuanto a flujo se refiere. Pero no obstante la circulación del campo magnético, es decir $\int \vec{B}\cdot d\vec{l}$ si que va a ser una magnitud interesante debido a que, se puede demostrar, que la circulación del campo magnético a través de una trayectoria cerrada cualquiera va a ser igual a $\mu_0$ por la intensidad de corriente que atraviesa el plano encerrado por dicha superficie. Esta relación, expresada matemáticamente se convierte en

$\begin{displaymath} \oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I \end{displaymath}$

(16.4)

donde el símbolo $\oint$ se utiliza para expresar integrales sobre trayectorias cerradas.

$\diamond$ El hecho de que la circulación del campo magnético no sea nula para cualquier trayectoria indica que este campo no es conservativo, y por tanto no vamos a lograr encontrar un potencial para él. No obstante esto se refiere únicamente al campo magnético, no a la fuerza magnética y no implica, por tanto, la no conservación de la energía. Es más, como la fuerza magnética siempre es perpendicular a la trayectoria esto supondrá que el trabajo magnético siempre es cero, es decir, no se produce trabajo magnético.

Resolución de problemas típicos

Partícula sometida a un campo magnético constante y uniforme

Supongamos que tenemos una carga que entra en un campo magnético con una cierta velocidad y de tal forma que el campo magnético sea perpendicular a dicha velocidad. ¿Cómo se moverá en el seno de este campo?. Se puede entender de forma intuitiva que al se ejercerá una fuerza sobre la carga que, debido a debe ser perpendicular a la velocidad con la que se desplaza la carga, y por tanto tendrá una componente exclusivamente normal a la trayectoria. Como en todo momento la fuerza es perpendicular a la trayectoria, porque así lo exige la ley de Lorentz, tendremos que la carga describirá una circunferencia, ya que estará sometida a una fuerza que creará una aceleración normal constante y una aceleración tangencial nula. Podemos por tanto igualar la fuerza centrípeta de este movimiento con la fuerza magnética y tener así que, si tomamos los módulos,

$\begin{displaymath}qvB=m\frac{v^2}{R}\end{displaymath}$

de donde se puede deducir que el radio de la trayectoria será

$\begin{displaymath}R=\frac{mv}{qB}.\end{displaymath}$

Fuerza magnética experimentada por un conductor recto y perpendicular al campo magnético

Podemos tomar un conductor recto y de longitud que está situado sobre el eje . Un campo perpendicular a el puede ser $\vec{B}=B\hat{\jmath}$ . Entonces utilizando la expresión en donde $d\vec{l} = \hat{\imath}dx$ tenemos que

$\begin{displaymath}\vec{F}= I\int^L_0 dx \hat{\imath}\wedge B\hat{\jmath}= ILB\hat{k}\end{displaymath}$

donde se ha supuesto que $\vec{B}$ es constante.

Campo magnético creado por un conductor recto e infinito

Este problema es fácilmente resoluble utilizando la ley de Ampère. Debido a la simetría que va a presentar el problema podemos afirmar que el campo magnético será en cualquier punto perpendicular al hilo conductor (ya que éste es recto y en el cálculo del campo $\vec{B}$ aparece un producto vectorial) y, lo que resulta de gran utilidad, su módulo sólo puede depender de la distancia al hilo.

Aprovechando estas condiciones vamos a tomar como trayectoria una circunferencia centrada en el hilo conductor y perpendicular a él. La circulación del campo magnético a través de este camino será

$\begin{displaymath}\mu_0 I = \oint \vec{B}\cdot d\vec{l},\end{displaymath}$

para hacer esta integral debemos darnos cuenta de que, en cualquier punto de la trayectoria, $\vec{B}$ va a resultar paralelo a $d\vec{l}$ y por tanto tendremos

$\begin{displaymath}\mu_0 I = \oint B\vec{dl}\end{displaymath}$

y cómo además $\vert\vec{B}\vert$ va a resultar constante

$\begin{displaymath}\mu_0 I = B\oint dl = B2\pi r,\end{displaymath}$

siendo el radio de la circunferencia, que coincide con la distancia mínima de un punto cualquiera de nuestra trayectoria hasta al cable conductor. De esta última expresión podemos despejar que es lo único que no conocemos (la dirección y sentido de $\vec{B}$ se conocen, y se pueden obtener usando la ``regla de la mano derecha'' y así

$\begin{displaymath}B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.\end{displaymath}$

Queda únicamente darse cuenta de que es, tal y como pide el teorema de Ampère, la intensidad que cruza la superficie limitada por nuestra trayectoria.

Campo producido por una espira en su eje

Se va a calcular el campo que produce una espira circular en un punto del eje que diste una distancia del centro de la espira, si circulara por dicha espira una intensidad . No es un cálculo sencillo y tendremos que utilizar la ley de Biot-Savart expresada en Vamos a proceder también usando la simetría, para facilitar el cálculo de la expresión. El producto de $d\vec{l}\cdot\vec{r}$ podrá descomponerse en dos componentes, una paralela al eje y otra perpendicular a él. Las componentes perpendiculares se anulan unas con otras y por tanto nos bastará con conocer cual va a ser la componente paralela, ya que la otra será nula. Todo esto puede verse en la figura.

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \psfig{file=figuras/espira.ps}} \end{center}\end{figure}$

Figura: Geometría para calcular el campo magnético en el eje de una espira.

Debemos calcular por tanto únicamente las componentes paralelas al eje. Esto será

$\begin{displaymath}dB_x=dB\sin\theta = dB\left(\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\end{displaymath}$

que, utilizando Biot y Savart será

$\begin{displaymath}dB_x = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I dl}{x^2+R^2}\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}}.\end{displaymath}$

Para determinar ahora el campo debido a la espira completa bastará integrar la expresión anterior alrededor de la espira:

$\begin{displaymath}B_x=\oint dB_x = \oint \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IR}{\left(x^2+r^2\right)^{\frac{3}{2}}}dl\end{displaymath}$

y, como y no van a variar la expresión anterior puede tomarse como

$\begin{displaymath}B_x=\frac{\mu_0 IR}{4\pi\left(x^2+r^2\right)^{\frac{3}{2}}}\oint dl\end{displaymath}$

donde la integral de alrededor de la espira es $2\pi r$ . Por tanto

$\begin{displaymath}B_x = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2\pi R^2I}{ \left(x^2+R^2\right)^{\frac{3}{2}}}\end{displaymath}$

$\diamond$ La ecuación para el campo en el centro de la espira se deduce de la anterior muy sencillamente y es

$\begin{displaymath}B=\frac{\mu_0 I}{2R},\end{displaymath}$

cosa que el lector interesado puede entretenerse en demostrar.

Campo magnético en el interior de un solenoide infinito

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \psfig{file=figuras/solenoide.ps,width=6cm}} \end{center}\end{figure}$

Figura 16.2: Trayectoria para un solenoide infinito.

Se llama solenoide a un conjunto de espiras arrolladas consecutivamente. Para calcular el campo magnético de un solenoide habría que proceder más rigurosamente de lo que se va a hacer en este apartado pero, en aras a conseguir cierta claridad, vamos a hacer ciertas aproximaciones ``fuertes'' y algunas ``tropelías matemáticas''. Concretamente vamos a tomar un solenoide infinito enrollado de tal forma que haya un total de vueltas por unidad de longitud. Tomemos entonces el recorrido insinuado en la figura que es un tanto peculiar. Dicho recorrido pasa por el centro de la espira infinita para luego salir y alejarse hasta el infinito, donde se cierra el circuito. Reconocemos que este recorrido no deja de ser peculiar, pero nos va a llevar correctamente a la expresión deseada si nos abstenemos de hacer preguntas sobre la rigurosidad de esta demostración. Evidentemente en el infinito el campo $\vec{B}$ será nulo, porque la perturbación de la espira no llega hasta tan lejos, con lo cual la integral $\int \vec{B}\cdot\vec{l}$ va a ser nula en esta parte del recorrido. A su vez en los bordes de este solenoide (en el casi en el cual un solenoide infinito tuviera bordes) el campo va a ser perpendicular al recorrido. ¿Por qué?, por simetría es lógico suponer que el campo $\vec{B}$ va a ser paralelo al solenoide en su interior y, si existiere en el exterior, también debería ser paralelo. Por tanto únicamente quedará hallar la integral en el recorrido que discurre por el interior del solenoide. Esta integral será

$\begin{displaymath}\oint \vec{B}d\vec{l} = BL\end{displaymath}$

donde es la longitud del solenoide (si, pese a todo sabemos que $L=\infty$ , pero es útil ponerlo así). ¿Y cuánto será , la intensidad total que atraviesa el plano?. Como tenemos espiras por unidad de longitud de solenoide, la corriente total que atraviesa el plano limitado por esta singular trayectoria será $I_{total}=LnI$ . Así pues tendremos que

$\begin{displaymath}\mu_0LnI=BL\end{displaymath}$

con lo cual

$\begin{displaymath}B=\mu_0nI.\end{displaymath}$

Esta es la expresión del campo en el interior de un solenoide infinito. Su interés radica en que es también una buena expresión para el campo magnético que existe en el interior de un solenoide finito, siempre que nos encontremos lejos de los bordes.

Fuerzas entre corrientes paralelas

¿Cómo podemos calcular la fuerza con que se atraen (o repelen) dos corrientes paralelas?. Para ello combinaremos las expresiones usadas en los apartados y. Tomando el primer hilo, con una corriente eléctrica , creará en un hilo conductor, situado paralelamente a una 1distancia de él, un campo que, usando será

$\begin{displaymath}B=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d},\end{displaymath}$

y claro está, este hilo segundo por el cual circula una corriente experimentará una fuerza por estar sometido a este campo. Esta fuerza la tomamos de y es

$\begin{displaymath}F=I_2 L B.\end{displaymath}$

Ahora bien, como la longitud de ambos hilos es infinita, la fuerza total que sienten estos hilos también es infinita, aunque eso sí, repartida por su longitud sin límite. Una magnitud útil es ver cuanta fuerza se siente por unidad de longitud , lo que equivale a decir que

$\begin{displaymath}\frac{F}{l} = I_2 B = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_1 I_2}{d}.\end{displaymath}$

Respecto al sentido de la fuerza, se puede ver que ésta es atractiva cuando las corrientes son en sentidos contrarios y repulsiva si el sentido es el mismo. Una forma de verlo es considerando el sentido del campo en cada hilo y aplicando entonces que $\vec{F}=I\vec{l}\wedge\vec{B}$ , o bien la llamada regla de la mano izquierda.

$\diamond$ Es frecuente utilizar estas relaciones para definir el Amperio. 1 Amperio sería así la intensidad de corriente necesaria para que dos hilos rectos situados a 1 metro el uno respecto al otro sientan una fuerza por unidad de longitud equivalente a $2\cdot 10^-7 \frac{N}{m}$ .