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Electromagnetismo

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Introduccin. Fuerza de Lorentz. Fuerza sobre una corriente elctrica. Campo magntico debido a una carga en movimiento. Campo magntico producido por una corriente elctrica. Ley de Ampre. Resolucin de problemas tpicos. Partcula sometida a un campo magntico constante y uniforme. Fuerza magntica experimentada por un conductor recto y perpendicular al campo magntico. Campo magntico creado por un conductor recto e infinito. Campo producido por una espira en su eje. Campo magntico en el interior de un solenoide infinito. Fuerzas entre corrientes paralelas.

Agregado: 22 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 2402 | Votar! | Sin Votos | Sin comentarios | Agregar Comentario
Categoría: Apuntes y Monografas > Fsica >
Material educativo de Alipso relacionado con Electromagnetismo
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    Electromagnetismo

    Introduccin

    Si bien algunos efectos magnticos han sido conocidos desde la antigedad, como por ejemplo el poder de atraccin que sobre el hierro ejerce la magnetita, no fue sino hasta el siglo XIX cuando la relacin entre la electricidad y el magnetismo qued patente, pasando ambos campos de ser diferenciados a formar el cuerpo de lo que se conoce como electromagnetismo.

    Con el advenimiento posterior de las ecuaciones de Maxwell, relacin de ecuaciones en las que quedan expresadas todas las leyes del electromagnetismo, qued cerrado el estudio clsico de este campo. Tan importantes y logradas fueron estas ecuaciones que Albert Einstein, eligiendo entre la veracidad de las ecuaciones de Maxwell o la Mecnica Newtoniana, que no son compatibles entre si, logr desbancar la teora Newtoniana imponiendo la llamada Teora de la Relatividad.

    En este nivel veremos algunas de las relaciones ms patentes entre la electricidad y el magnetismo, as como las fuerzas a las que la aparicin de campos magnticos da lugar.


    Fuerza de Lorentz

    Dado un campo magntico $\vec{B}$y una partcula de carga $q$que se desplaza por el interior de dicho campo con una velocidad $\vec{v}$Lorentz descubri que esta partcula sufre una fuerza magntica igual a

    \begin{displaymath}
\vec{F}=q\vec{v}\wedge\vec{B}.
\end{displaymath}

    (16.1)


    Elementos a destacar de esta frmula es que la fuerza magntica se deja notar, por tanto, slo sobre partculas cargadas; para partculas neutras ($q=0$) se tendr que $\vec{F}=0$. Un hecho an ms reseable es que slo acta sobre partculas en movimiento. Si una partcula est en reposo respecto a nuestro sistema de referencia la fuerza magntica ejercida sobre ella, aunque est cargada y exista un campo magntico, es nula.

    $\diamond$Para caracterizar el sentido del campo se puede emplear la denominada regla de la mano izquierda, consistente en que, si consideramos los dedos pulgar, ndice y corazn de la mano izquierda, de tal forma que el dedo corazn seale en la direccin y sentido de la velocidad y el ndice en el del campo, obtendremos el pulgar ``apuntando'' en la direccin y sentido correctos de la fuerza magntica.

    La unidad de campo magntico en el Sistema Internacional es el Tesla. De la ecuacin se puede extraer que dimensionalmente un Tesla ser $T=\frac{Ns}{mC}$Newton segundo entre metro Culombio.

    $\triangleright$La fuerza magntica siempre es perpendicular a la trayectoria de la partcula y al campo magntico

    $\circ$Si, adems de un campo magntico existiera un campo elctrico $\vec{E}$podemos incluir esta fuerza en la Ley de Lorentz y, como la fuerza elctrica es simplemente $\vec{F}=q\vec{E}$y podemos usar el principio de superposicin

    \begin{displaymath}\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\wedge\vec{B}).\end{displaymath}


    Un ejemplo de cmo se puede aplicar esta frmula para campos magnticos constantes se puede ver en la seccin .


    Fuerza sobre una corriente elctrica

    Pero...Y si en vez de una sola partcula tenemos varias movindose?, esto es como preguntarse por la fuerza que experimentar, debido al magnetismo, una corriente elctrica. Para ello vamos a suponer una corriente elctrica y tomar un elemento diferencial de ella. Si diferenciamos tendremos que, como slo la carga $q$va a variar

    \begin{displaymath}d\vec{F}=dq(\vec{v}\wedge\vec{B}),\end{displaymath}


    pero habr que calcular cuanto puede ser este $dq$. Partiendo de la definicin de intensidad para una corriente elctrica, $I=\frac{dq}{dt}$y sustituyendo $dq$tendremos que

    \begin{displaymath}d\vec{F}=I\,dt\vec{v}\wedge\vec{B}.\end{displaymath}


    Veamos ahora que podemos hacer con esta expresin usando la conocida frmula de la velocidad $\vec{v}=\frac{d\vec{l}}{dt}$y sustituyendo por tanto $d\vec{l}=\vec{v}\,dt$:

    \begin{displaymath}d\vec{F} = I\, d\vec{l}\wedge\vec{B}.\end{displaymath}


    Por ltimo, recordando que en un circuito la intensidad, por la ley de Ohm, depende slo de la diferencia de potencial y la resistencia de dicho circuito y podemos considerarla por tanto constante, tendremos que para un conductor finito:

    \begin{displaymath}
\vec{F}=I\,\int d\vec{l}\wedge\vec{B}.
\end{displaymath}

    (16.2)



    Campo magntico debido a una carga en movimiento

    La relacin entre la electricidad y el magnetismo es tan ntima que cualquier carga movindose genera a su alrededor un campo magntico. Deducir cual es dicho campo a partir de principios iniciales no es fcil, y por eso se detalla aqu simplemente cual es el campo que genera una carga en movimiento:

    \begin{displaymath}
\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}q\frac{\vec{v}\wedge\widehat{r}}{r^2}
\end{displaymath}

    (16.3)


    donde $\mu_0$es la constante correspondiente al campo magntico, y se denomina permeabilidad magntica del vaco, $q$es la carga de la partcula $\vec{v}$es la velocidad a la que se mueve y $\vec{r}$es el vector que indica el lugar dnde queremos calcular el campo pero visto desde un sistema de referencia centrado en la partcula. Tambin se la conoce como ley de Biot y Savart.

    Esta frmula nos indica cmo el magnetismo est creado por corrientes y no por monopolos, es decir por ``cargas magnticas'' del estilo de las cargas elctricas.

    $\diamond$Como ejemplo para ver la naturaleza un poco distinta del campo magntico basta considerar el intento de separar el polo de un imn. Aunque rompamos un imn por la mitad este ``reproduce'' sus dos polos. Si ahora partimos estos cachos otra vez en dos, nuevamente tendremos cada cachito con dos polos norte y sur diferenciados. En magnetismo no existen los ``monopolos''

    $\circ$Una explicacin detallada aunque con bastante nivel que deduzca ms rigurosamente estas expresiones y de razones para ellas puede buscarse en cualquier libro que trate sobre electromagnetismo, ecuaciones de Maxwell o incluso teora de la Relatividad.


    Campo magntico producido por una corriente elctrica

    Si intentamos generalizar la frmula a una corriente elctrica deberemos pasar primero a una forma diferencial para intentar integrar despus, igual que hicimos con la fuerza de Lorentz. Para ello partimos de

    \begin{displaymath}d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}dq\frac{\vec{v}\wedge\widehat{r}}{r^2}\end{displaymath}


    en donde, haciendo tambin el cambio en funcin de la intensidad y teniendo en cuenta que $\vec{r}$es el punto donde queremos calcular el campo pero visto desde la carga, si llamamos a ese punto $\vec{r}$desde un sistema de coordenadas, y $\vec{r}'$a cada punto del conductor que vamos a recorrer en la integracin, tendremos que

    \begin{displaymath}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}I\int \frac{d\vec{l}\wedge\widehat{r-r'}}{\left(
\vec{r}-\vec{r}'\right)^2.}\end{displaymath}



    Ley de Ampre

    El hecho de la no existencia de un ``monopolo'' magntico va a hacer que en cualquier situacin ``entren y salgan'' lneas de campo magntico en cualquier volumen que queramos imaginar y que, por tanto, el flujo del campo magntico sea nulo siempre, con lo cual no hay ningn teorema similar al de Gauss para el campo magntico en cuanto a flujo se refiere. Pero no obstante la circulacin del campo magntico, es decir $\int
\vec{B}\cdot d\vec{l}$si que va a ser una magnitud interesante debido a que, se puede demostrar, que la circulacin del campo magntico a travs de una trayectoria cerrada cualquiera va a ser igual a $\mu_0$por la intensidad de corriente que atraviesa el plano encerrado por dicha superficie. Esta relacin, expresada matemticamente se convierte en

    \begin{displaymath}
\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I
\end{displaymath}

    (16.4)


    donde el smbolo $\oint$se utiliza para expresar integrales sobre trayectorias cerradas.

    $\diamond$El hecho de que la circulacin del campo magntico no sea nula para cualquier trayectoria indica que este campo no es conservativo, y por tanto no vamos a lograr encontrar un potencial para l. No obstante esto se refiere nicamente al campo magntico, no a la fuerza magntica y no implica, por tanto, la no conservacin de la energa. Es ms, como la fuerza magntica siempre es perpendicular a la trayectoria esto supondr que el trabajo magntico siempre es cero, es decir, no se produce trabajo magntico.

    Resolucin de problemas tpicos


    Partcula sometida a un campo magntico constante y uniforme

    Supongamos que tenemos una carga que entra en un campo magntico con una cierta velocidad y de tal forma que el campo magntico sea perpendicular a dicha velocidad. Cmo se mover en el seno de este campo?. Se puede entender de forma intuitiva que al se ejercer una fuerza sobre la carga que, debido a debe ser perpendicular a la velocidad con la que se desplaza la carga, y por tanto tendr una componente exclusivamente normal a la trayectoria. Como en todo momento la fuerza es perpendicular a la trayectoria, porque as lo exige la ley de Lorentz, tendremos que la carga describir una circunferencia, ya que estar sometida a una fuerza que crear una aceleracin normal constante y una aceleracin tangencial nula. Podemos por tanto igualar la fuerza centrpeta de este movimiento con la fuerza magntica y tener as que, si tomamos los mdulos,

    \begin{displaymath}qvB=m\frac{v^2}{R}\end{displaymath}


    de donde se puede deducir que el radio de la trayectoria ser

    \begin{displaymath}R=\frac{mv}{qB}.\end{displaymath}



    Fuerza magntica experimentada por un conductor recto y perpendicular al campo magntico

    Podemos tomar un conductor recto y de longitud $L$que est situado sobre el eje $OX$. Un campo perpendicular a el puede ser $\vec{B}=B\hat{\jmath}$. Entonces utilizando la expresin en donde $d\vec{l} =
\hat{\imath}dx$tenemos que

    \begin{displaymath}\vec{F}= I\int^L_0 dx \hat{\imath}\wedge B\hat{\jmath}= ILB\hat{k}\end{displaymath}


    donde se ha supuesto que $\vec{B}$es constante.


    Campo magntico creado por un conductor recto e infinito

    Este problema es fcilmente resoluble utilizando la ley de Ampre. Debido a la simetra que va a presentar el problema podemos afirmar que el campo magntico ser en cualquier punto perpendicular al hilo conductor (ya que ste es recto y en el clculo del campo $\vec{B}$aparece un producto vectorial) y, lo que resulta de gran utilidad, su mdulo slo puede depender de la distancia al hilo.

    Aprovechando estas condiciones vamos a tomar como trayectoria una circunferencia centrada en el hilo conductor y perpendicular a l. La circulacin del campo magntico a travs de este camino ser

    \begin{displaymath}\mu_0 I = \oint
\vec{B}\cdot d\vec{l},\end{displaymath}


    para hacer esta integral debemos darnos cuenta de que, en cualquier punto de la trayectoria, $\vec{B}$va a resultar paralelo a $d\vec{l}$y por tanto tendremos

    \begin{displaymath}\mu_0 I = \oint B\vec{dl}\end{displaymath}


    y cmo adems $\vert\vec{B}\vert$va a resultar constante

    \begin{displaymath}\mu_0 I = B\oint dl = B2\pi
r,\end{displaymath}


    siendo $r$el radio de la circunferencia, que coincide con la distancia mnima de un punto cualquiera de nuestra trayectoria hasta al cable conductor. De esta ltima expresin podemos despejar $B$que es lo nico que no conocemos (la direccin y sentido de $\vec{B}$se conocen, y se pueden obtener usando la ``regla de la mano derecha'' y as

    \begin{displaymath}B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.\end{displaymath}


    Queda nicamente darse cuenta de que $I$es, tal y como pide el teorema de Ampre, la intensidad que cruza la superficie limitada por nuestra trayectoria.


    Campo producido por una espira en su eje

    Se va a calcular el campo que produce una espira circular en un punto del eje que diste una distancia $R$del centro de la espira, si circulara por dicha espira una intensidad $I$. No es un clculo sencillo y tendremos que utilizar la ley de Biot-Savart expresada en Vamos a proceder tambin usando la simetra, para facilitar el clculo de la expresin. El producto de $d\vec{l}\cdot\vec{r}$podr descomponerse en dos componentes, una paralela al eje y otra perpendicular a l. Las componentes perpendiculares se anulan unas con otras y por tanto nos bastar con conocer cual va a ser la componente paralela, ya que la otra ser nula. Todo esto puede verse en la figura.

    \begin{figure}\begin{center}
\mbox{
\psfig{file=figuras/espira.ps}}
\end{center}\end{figure}

    Figura: Geometra para calcular el campo magntico en el eje de una espira.

    Debemos calcular por tanto nicamente las componentes $dB_x$paralelas al eje. Esto ser

    \begin{displaymath}dB_x=dB\sin\theta =
dB\left(\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\end{displaymath}


    que, utilizando Biot y Savart ser

    \begin{displaymath}dB_x = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I dl}{x^2+R^2}\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}}.\end{displaymath}


    Para determinar ahora el campo debido a la espira completa bastar integrar la expresin anterior alrededor de la espira:

    \begin{displaymath}B_x=\oint dB_x = \oint
\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IR}{\left(x^2+r^2\right)^{\frac{3}{2}}}dl\end{displaymath}


    y, como $x$y $R$no van a variar la expresin anterior puede tomarse como

    \begin{displaymath}B_x=\frac{\mu_0 IR}{4\pi\left(x^2+r^2\right)^{\frac{3}{2}}}\oint dl\end{displaymath}


    donde la integral de $dl$alrededor de la espira es $2\pi r$. Por tanto

    \begin{displaymath}B_x = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2\pi R^2I}{
\left(x^2+R^2\right)^{\frac{3}{2}}}\end{displaymath}


    $\diamond$La ecuacin para el campo en el centro de la espira se deduce de la anterior muy sencillamente y es

    \begin{displaymath}B=\frac{\mu_0 I}{2R},\end{displaymath}


    cosa que el lector interesado puede entretenerse en demostrar.


    Campo magntico en el interior de un solenoide infinito

    \begin{figure}\begin{center}
\mbox{
\psfig{file=figuras/solenoide.ps,width=6cm}}
\end{center}\end{figure}

    Figura 16.2: Trayectoria para un solenoide infinito.

    Se llama solenoide a un conjunto de espiras arrolladas consecutivamente. Para calcular el campo magntico de un solenoide habra que proceder ms rigurosamente de lo que se va a hacer en este apartado pero, en aras a conseguir cierta claridad, vamos a hacer ciertas aproximaciones ``fuertes'' y algunas ``tropelas matemticas''. Concretamente vamos a tomar un solenoide infinito enrollado de tal forma que haya un total de $n$vueltas por unidad de longitud. Tomemos entonces el recorrido insinuado en la figura que es un tanto peculiar. Dicho recorrido pasa por el centro de la espira infinita para luego salir y alejarse hasta el infinito, donde se cierra el circuito. Reconocemos que este recorrido no deja de ser peculiar, pero nos va a llevar correctamente a la expresin deseada si nos abstenemos de hacer preguntas sobre la rigurosidad de esta demostracin. Evidentemente en el infinito el campo $\vec{B}$ser nulo, porque la perturbacin de la espira no llega hasta tan lejos, con lo cual la integral $\int \vec{B}\cdot\vec{l}$va a ser nula en esta parte del recorrido. A su vez en los bordes de este solenoide (en el casi en el cual un solenoide infinito tuviera bordes) el campo va a ser perpendicular al recorrido. Por qu?, por simetra es lgico suponer que el campo $\vec{B}$va a ser paralelo al solenoide en su interior y, si existiere en el exterior, tambin debera ser paralelo. Por tanto nicamente quedar hallar la integral en el recorrido que discurre por el interior del solenoide. Esta integral ser

    \begin{displaymath}\oint \vec{B}d\vec{l} = BL\end{displaymath}


    donde $L$es la longitud del solenoide (si, pese a todo sabemos que $L=\infty$, pero es til ponerlo as). Y cunto ser $I$, la intensidad total que atraviesa el plano?. Como tenemos $n$espiras por unidad de longitud de solenoide, la corriente total que atraviesa el plano limitado por esta singular trayectoria ser $I_{total}=LnI$. As pues tendremos que

    \begin{displaymath}\mu_0LnI=BL\end{displaymath}


    con lo cual

    \begin{displaymath}B=\mu_0nI.\end{displaymath}


    Esta es la expresin del campo en el interior de un solenoide infinito. Su inters radica en que es tambin una buena expresin para el campo magntico que existe en el interior de un solenoide finito, siempre que nos encontremos lejos de los bordes.


    Fuerzas entre corrientes paralelas

    Cmo podemos calcular la fuerza con que se atraen (o repelen) dos corrientes paralelas?. Para ello combinaremos las expresiones usadas en los apartados y. Tomando el primer hilo, con una corriente elctrica $I_1$, crear en un hilo conductor, situado paralelamente a una 1distancia $d$de l, un campo que, usando ser

    \begin{displaymath}B=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d},\end{displaymath}


    y claro est, este hilo segundo por el cual circula una corriente $I_2$experimentar una fuerza por estar sometido a este campo. Esta fuerza la tomamos de y es

    \begin{displaymath}F=I_2 L B.\end{displaymath}


    Ahora bien, como la longitud de ambos hilos es infinita, la fuerza total que sienten estos hilos tambin es infinita, aunque eso s, repartida por su longitud sin lmite. Una magnitud til es ver cuanta fuerza se siente por unidad de longitud $L$, lo que equivale a decir que

    \begin{displaymath}\frac{F}{l} = I_2 B =
\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_1 I_2}{d}.\end{displaymath}


    Respecto al sentido de la fuerza, se puede ver que sta es atractiva cuando las corrientes son en sentidos contrarios y repulsiva si el sentido es el mismo. Una forma de verlo es considerando el sentido del campo en cada hilo y aplicando entonces que $\vec{F}=I\vec{l}\wedge\vec{B}$, o bien la llamada regla de la mano izquierda.

    $\diamond$Es frecuente utilizar estas relaciones para definir el Amperio. 1 Amperio sera as la intensidad de corriente necesaria para que dos hilos rectos situados a 1 metro el uno respecto al otro sientan una fuerza por unidad de longitud equivalente a $2\cdot 10^-7 \frac{N}{m}$.


     
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