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Movimiento de un cuerpo en el campo gravitatorio bajo el rozamiento con el aire

Introducción

Vamos a analizar que sucede cuando dejamos un cuerpo en caída libre bajo la acción de la gravedad, pero considerando también que existe un rozamiento con la atmósfera, con el aire, de valor $F_r = -Kv$.

Planteamiento de la ley de Newton

Aplicando la ley de Newton tenemos que $\sum \vec{F} = m \vec{a}$. En este caso tomaremos el sistema de referencia habitual, y al tratarse el problema de una caída libre, haremos únicamente un tratamiento unidimensional para el eje y.

Las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo que cae son únicamente la fuerza de la gravedad $-mg$y la de rozamiento $-Kv$B.1. La constante $K$la dejaremos indicada, su valor se mide experimentalmente.

Así pues la ley de Newton se expresará como

\begin{displaymath}
-mg -Kv = m a.
\end{displaymath}

(B.1)


Interpretación de la ecuación de Newton

Vemos que tenemos una ecuación que relaciona $a$con $v$. Ahora bien, la aceleración y la velocidad no son magnitudes independientes, ya que una es la derivada de la otra. Por tanto no podemos despejar tranquilamente $a$o $V$, ya que, al estar relacionadas entre sí, esto no sería una solución de la ecuación (B.1). Hemos de plantear como resolver

\begin{displaymath}-mg -Kv = m \frac{dv}{dt},\end{displaymath}


que recibe el nombre de ecuación diferencial. Aunque el tema de las ecuaciones diferenciales supera con mucho el nivel y los planteamientos de la física general de este curso, este caso concreto representa, no sólo un caso sencillo e inteligible, sino además un ejemplo potente y didáctico de lo que representan las ecuaciones de Newton para el mundo físico, razón por la que trataremos este sistema como una excepción al nivel del curso, pero una excepción muy interesante.

Para resolver esta ecuación pasemos todos los términos con $v$a un lado y los que tienen $t$al otro. Así tendremos

\begin{displaymath}-\frac{mdv}{mg+Kv} = dt\end{displaymath}


lo cual es una forma de acumular todos los términos en $v$a un lado y con $t$bien separados para nuestra próxima acción. Integremos ahora ambos miembros entre el instante $t=0$, en el cual suponemos que $v=0$y un instante genérico $t$.

\begin{displaymath}-\int^t_0 \frac{m}{mg+Kv}dv = \int^t_0 dt\end{displaymath}


.

Esta integral es inmediata dándose cuenta de que

\begin{displaymath}\frac{d}{dt} \left( mg+Kv \right) = \frac{K}{mg+Kv}\end{displaymath}


, y por tanto tendremos

\begin{displaymath}\left. t \right]^t_0 = \left. -\frac{m}{K} \ln\left( Kv+mg\right)
\right]^t_0,\end{displaymath}


que sabiendo que en $t=0$teníamos $v=0$nos dirá que

\begin{displaymath}t = -\frac{m}{K} \ln \left( \frac{Kv+mg}{mg} \right).\end{displaymath}


Bueno, ahora basta hacer alguna acrobacia matemática y despejar la velocidad, que es la magnitud que nos interesa, esto se logra exponenciando

\begin{displaymath}e^{-\frac{Kt}{m}} = \frac{ Kv+mg}{mg}\end{displaymath}


y despejando

\begin{displaymath}
v = -\frac{mg}{K} \left( 1 - e^{-\frac{Kt}{m}} \right)
\end{displaymath}

(B.2)


Conclusión

Interpretar el resultado de la fórmula (B.2) es una delicia física que nos dirá mucho más que todo el desarrollo matemático, más o menos complejo, anterior. Dejemos de momento pensar al lector que nos está diciendo esta relación en general y, mucho más concretamente que sucede para tiempos muy pequeños y muy grandes, es decir, estudiar que significan los casos en los que $t \ll 1$y $t \rightarrow \infty$.


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