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Movimiento de un cuerpo en el campo gravitatorio bajo el rozamiento con el aire

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Introduccin Planteamiento de la ley de Newton. Interpretacin de la ecuacin de Newton.

Agregado: 22 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 461 | Votar! | Sin Votos | Sin comentarios | Agregar Comentario
Categoría: Apuntes y Monografas > Fsica >
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    Movimiento de un cuerpo en el campo gravitatorio bajo el rozamiento con el aire

    Introduccin

    Vamos a analizar que sucede cuando dejamos un cuerpo en cada libre bajo la accin de la gravedad, pero considerando tambin que existe un rozamiento con la atmsfera, con el aire, de valor $F_r = -Kv$.

    Planteamiento de la ley de Newton

    Aplicando la ley de Newton tenemos que $\sum \vec{F} = m \vec{a}$. En este caso tomaremos el sistema de referencia habitual, y al tratarse el problema de una cada libre, haremos nicamente un tratamiento unidimensional para el eje y.

    Las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo que cae son nicamente la fuerza de la gravedad $-mg$y la de rozamiento $-Kv$B.1. La constante $K$la dejaremos indicada, su valor se mide experimentalmente.

    As pues la ley de Newton se expresar como

    \begin{displaymath}
-mg -Kv = m a.
\end{displaymath}

    (B.1)


    Interpretacin de la ecuacin de Newton

    Vemos que tenemos una ecuacin que relaciona $a$con $v$. Ahora bien, la aceleracin y la velocidad no son magnitudes independientes, ya que una es la derivada de la otra. Por tanto no podemos despejar tranquilamente $a$o $V$, ya que, al estar relacionadas entre s, esto no sera una solucin de la ecuacin (B.1). Hemos de plantear como resolver

    \begin{displaymath}-mg -Kv = m \frac{dv}{dt},\end{displaymath}


    que recibe el nombre de ecuacin diferencial. Aunque el tema de las ecuaciones diferenciales supera con mucho el nivel y los planteamientos de la fsica general de este curso, este caso concreto representa, no slo un caso sencillo e inteligible, sino adems un ejemplo potente y didctico de lo que representan las ecuaciones de Newton para el mundo fsico, razn por la que trataremos este sistema como una excepcin al nivel del curso, pero una excepcin muy interesante.

    Para resolver esta ecuacin pasemos todos los trminos con $v$a un lado y los que tienen $t$al otro. As tendremos

    \begin{displaymath}-\frac{mdv}{mg+Kv} = dt\end{displaymath}


    lo cual es una forma de acumular todos los trminos en $v$a un lado y con $t$bien separados para nuestra prxima accin. Integremos ahora ambos miembros entre el instante $t=0$, en el cual suponemos que $v=0$y un instante genrico $t$.

    \begin{displaymath}-\int^t_0 \frac{m}{mg+Kv}dv = \int^t_0 dt\end{displaymath}


    .

    Esta integral es inmediata dndose cuenta de que

    \begin{displaymath}\frac{d}{dt} \left( mg+Kv \right) = \frac{K}{mg+Kv}\end{displaymath}


    , y por tanto tendremos

    \begin{displaymath}\left. t \right]^t_0 = \left. -\frac{m}{K} \ln\left( Kv+mg\right)
\right]^t_0,\end{displaymath}


    que sabiendo que en $t=0$tenamos $v=0$nos dir que

    \begin{displaymath}t = -\frac{m}{K} \ln \left( \frac{Kv+mg}{mg} \right).\end{displaymath}


    Bueno, ahora basta hacer alguna acrobacia matemtica y despejar la velocidad, que es la magnitud que nos interesa, esto se logra exponenciando

    \begin{displaymath}e^{-\frac{Kt}{m}} = \frac{ Kv+mg}{mg}\end{displaymath}


    y despejando

    \begin{displaymath}
v = -\frac{mg}{K} \left( 1 - e^{-\frac{Kt}{m}} \right)
\end{displaymath}

    (B.2)


    Conclusin

    Interpretar el resultado de la frmula (B.2) es una delicia fsica que nos dir mucho ms que todo el desarrollo matemtico, ms o menos complejo, anterior. Dejemos de momento pensar al lector que nos est diciendo esta relacin en general y, mucho ms concretamente que sucede para tiempos muy pequeos y muy grandes, es decir, estudiar que significan los casos en los que $t \ll 1$y $t \rightarrow \infty$.


     
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