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Carga y descarga de un condensador.

Material experimental

Para llevar a cabo esta práctica se necesitará:

Introducción teórica

Estudiemos teóricamente el circuito con condensador representado en la figura 21.1. En el hemos unido un condensador, a través de una resistencia, cuya misión es servir como ``descarga'' del circuito, es decir, gastar parte de la energía eléctrica para que no se queme ningún aparato, con un generador de onda el cual, mediante el empleo de una onda cuadrada (ver también en 21.1) va a ir cargando y descargando el condensador.

\begin{figure}\begin{center}
\mbox{
\psfig{file=figuras/condensador.ps,width=7cm}}
\end{center}\end{figure}

Figura 21.1: Circuito con condensador.

En cualquier caso, si tenemos este ciruito alimentado durante cierto instante con corriente contínua, y que parte de la desconexión21.1 veamos que sucede cuando se le somete a un potencial $V$.

Aplicando la ley de Kirchoff a la única malla del curcuito, o lo que es lo mismo, considerando que $V = \Delta V_1 + \Delta V_2$, analicemos por separado cada término:

$V$Será el que proporcione el generador.

$\Delta V_1$es la caída de potencial en la resistencia que, según la ley de Ohm, será simplemente $\Delta V_1 = IR$.

$Delta V_2$es la caída de tensión en el condensador. Como $q=C\Delta V$, siendo $C$la capacidad del mismo, tenemos que $\Delta V_2 = \frac{q}{C}$.

Así pues tenemos la ecuación

\begin{displaymath}IR + \frac{q}{C} = V\end{displaymath}


.

Ahora bien, $I=\frac{dq}{dt}$, de donde el resultado final es que, para hallar como se cargará el condensador, habremos de resolver la ecuación diferencial

\begin{displaymath}
\frac{dq}{dt} + \frac{q}{c} = V
\end{displaymath}

(21.1)


La resolución de esta ecuación está a un nivel superior al planteamiento de este curso, pero en cualquier caso, la persona interesada puede encontrar su solución en el apéndice 21.4.

El resultado que se consigue es que

\begin{displaymath}
V = V_0 \left( 1 - e^{-\frac{t}{C}} \right),
\end{displaymath}

(21.2)


sabiendo que $V$es la tensión que cae entre los bornes del condensador y $V_0$es la que proporciona el generador. Una gráfica de cómo es esta función se puede tener en la figura 21.2. Ésta será la gráfica que hemos de lograr ver en el osciloscopio.

\begin{figure}\begin{center}
\mbox{
\psfig{file=figuras/exponencial.ps,width=7cm}}
\end{center}\end{figure}

Figura 21.2: Carga de un condensador.

Realización de la práctica

Antes de nada pide al profesor de las prácticas que te explique como funcionan el osciloscopio y el generador de ondas. Son aparatos complicados y sensibles que hay que tratar con cuidado. Una vez sepas ya como se usan prueba a visualizar los distintos tipos de ondas en el osciloscopio (cuadrada, sinusoidal y triangular) así como a variar su frecuencia y amplitud para comprobar que significa cada parámetro. Al cambiar su frecuencia y amplitud tendrás que cambiar también las escalas de tiempos y voltajes en el osciloscopio si no quieres que se salga la onda de la pantalla o quede tan pequeña que no se vea.

Escribe en tu cuaderno de prácticas lo que has ido haciendo y como infuye en lo que se visualiza. Haz un dibujo de cada tipo de onda.

Monta ahora el circuito de la figura 21.1 en la mesa de circuitos. Para ello ten en cuenta que los puntos horizontales que no estén separados por ninguna banda de plástico estarán conectados entre si. Utilizando esta información termina de montar el circuito.

Sitúa los bornes del osciloscopio donde te indica el dibujo, en la entrada y salida del condensador, para poder observar como cae la tensión en su interior. Si haces circular ahora por el circuito un onda vuadrada, deberás ver como el condensador se carga y descarga, Se cargará cuando la tensión suba bruscamente (la parte lisa alta de la onda cuadrada) y se descargará en la parte lisa baja de la onda. Si tienes bien ``sintonizado'' el osciloscopio deberías ver un dibujo parecido al de la figura 21.2.

En el caso de que veas la caída de potencial muy similar a la de la onda cuadrada, significa que estás dando demasiado tiempo al condensador para que se cargue. Prueba a aumentar la frecuencia en el generador de onda. Si sucede al revés, que lo que se visualiza es demasiado curvo, prueba a disminuir la frecuancia, pues ello significa que no estás dando tiempo suficiente al condensador para que se cargue.

Una vez que tengas bien visible y clara la gráfica de carga del condensador comparala con la teórica. ¿Coinciden?. En el caso de que haya alguna desavenencia intenta adivinar a qué se debe.

Si tienes un condensador variable modifica su capacidad poco a poco y mira lo que sucede. ¿Cómo lo puedes explicar?.

A partir de los cuadraditos del osciloscopio y de la fórnula de carga del condensador puedes probar a intentar conseguir la capacidad del condensador. Para ello toma algunos puntos significativos y luego prueba a ajustarles una función de subida exponencial como la (21.2). ¿Cuál es la capacidad?. En el caso de que ponga en el condensador la capacidad. ¿Coincide con la calculada?. Piensa que, en cualquier caso, siempre hay una pequeña diferencia (a vecs no tan pequeña) atribuible a errores de medición de los aparatos, impedancias internas, etc ...

En el caso de que no sepas hacer esta última parte pregúntale a tu profesor. El te lo explicará.


Apéndice: Resolución de la ecuación diferencial

Los textos de cálculo dicen que, una ecuación del tipo de la ecuación (21.1) se resuelve tomando primero la ecuación homogénea y después una solución particular.

La ecuación homogénea es

\begin{displaymath}\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0\end{displaymath}


donde despejando

\begin{displaymath}\frac{dq}{q} = -\frac{dt}{C}\end{displaymath}


e, integrando ambos miembros

\begin{displaymath}\int \frac{dq}{q} = \int -\frac{dt}{C}\end{displaymath}


tenemos que

\begin{displaymath}\ln q = -\frac{t}{C}+ K_1\end{displaymath}


y exponenciando

\begin{displaymath}q = K_2 e^{-\frac{t}{C}}.\end{displaymath}


La solución particular se puede extraer ``a ojo''. Tomemos $q=K_3$como solución particular, y operando en (21.1) tendremos

\begin{displaymath}\frac{q}{C}=V\end{displaymath}


o, lo que es lo mismo

\begin{displaymath}K_3 = CV.\end{displaymath}


Ahora sólo queda unir la solución homogénea y la particular y obligar a que, para $t=0 \ \Rightarrow \ q=0$.

Teniendo todo esto en cuenta se llega, tras algunas sustituciones a

\begin{displaymath}q= CV\left( 1 - e^{-\frac{t}{C}} \right),\end{displaymath}


y considerando que $V=\frac{q}{C}$tedremos pues la ecuación (21.2) o, lo que es lo mismo, que

\begin{displaymath}V = V_0 \left( 1 - e^{-\frac{t}{C}} \right).\end{displaymath}


Donde $V$es el voltaje que cae en el condensador cada $t$y $V_0$es la tensión que suministramos al circuito.


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