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Carga y descarga de un condensador

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Material experimental. Introduccin terica. Realizacin de la prctica. Apndice: Resolucin de la ecuacin diferencial.

Agregado: 22 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 959 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografas > Fsica >
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    Carga y descarga de un condensador.

    Material experimental

    Para llevar a cabo esta prctica se necesitar:

    • Placa de circuitos.
    • Generador de ondas.
    • Resistencias.
    • Condensador.
    • Cables y clavijas.
    • Osciloscopio.

    Introduccin terica

    Estudiemos tericamente el circuito con condensador representado en la figura 21.1. En el hemos unido un condensador, a travs de una resistencia, cuya misin es servir como ``descarga'' del circuito, es decir, gastar parte de la energa elctrica para que no se queme ningn aparato, con un generador de onda el cual, mediante el empleo de una onda cuadrada (ver tambin en 21.1) va a ir cargando y descargando el condensador.

    \begin{figure}\begin{center}
\mbox{
\psfig{file=figuras/condensador.ps,width=7cm}}
\end{center}\end{figure}

    Figura 21.1: Circuito con condensador.

    En cualquier caso, si tenemos este ciruito alimentado durante cierto instante con corriente contnua, y que parte de la desconexin21.1 veamos que sucede cuando se le somete a un potencial $V$.

    Aplicando la ley de Kirchoff a la nica malla del curcuito, o lo que es lo mismo, considerando que $V = \Delta V_1 + \Delta V_2$, analicemos por separado cada trmino:

    $V$Ser el que proporcione el generador.

    $\Delta V_1$es la cada de potencial en la resistencia que, segn la ley de Ohm, ser simplemente $\Delta V_1 = IR$.

    $Delta V_2$es la cada de tensin en el condensador. Como $q=C\Delta V$, siendo $C$la capacidad del mismo, tenemos que $\Delta V_2 = \frac{q}{C}$.

    As pues tenemos la ecuacin

    \begin{displaymath}IR + \frac{q}{C} = V\end{displaymath}


    .

    Ahora bien, $I=\frac{dq}{dt}$, de donde el resultado final es que, para hallar como se cargar el condensador, habremos de resolver la ecuacin diferencial

    \begin{displaymath}
\frac{dq}{dt} + \frac{q}{c} = V
\end{displaymath}

    (21.1)


    La resolucin de esta ecuacin est a un nivel superior al planteamiento de este curso, pero en cualquier caso, la persona interesada puede encontrar su solucin en el apndice 21.4.

    El resultado que se consigue es que

    \begin{displaymath}
V = V_0 \left( 1 - e^{-\frac{t}{C}} \right),
\end{displaymath}

    (21.2)


    sabiendo que $V$es la tensin que cae entre los bornes del condensador y $V_0$es la que proporciona el generador. Una grfica de cmo es esta funcin se puede tener en la figura 21.2. sta ser la grfica que hemos de lograr ver en el osciloscopio.

    \begin{figure}\begin{center}
\mbox{
\psfig{file=figuras/exponencial.ps,width=7cm}}
\end{center}\end{figure}

    Figura 21.2: Carga de un condensador.

    Realizacin de la prctica

    Antes de nada pide al profesor de las prcticas que te explique como funcionan el osciloscopio y el generador de ondas. Son aparatos complicados y sensibles que hay que tratar con cuidado. Una vez sepas ya como se usan prueba a visualizar los distintos tipos de ondas en el osciloscopio (cuadrada, sinusoidal y triangular) as como a variar su frecuencia y amplitud para comprobar que significa cada parmetro. Al cambiar su frecuencia y amplitud tendrs que cambiar tambin las escalas de tiempos y voltajes en el osciloscopio si no quieres que se salga la onda de la pantalla o quede tan pequea que no se vea.

    Escribe en tu cuaderno de prcticas lo que has ido haciendo y como infuye en lo que se visualiza. Haz un dibujo de cada tipo de onda.

    Monta ahora el circuito de la figura 21.1 en la mesa de circuitos. Para ello ten en cuenta que los puntos horizontales que no estn separados por ninguna banda de plstico estarn conectados entre si. Utilizando esta informacin termina de montar el circuito.

    Sita los bornes del osciloscopio donde te indica el dibujo, en la entrada y salida del condensador, para poder observar como cae la tensin en su interior. Si haces circular ahora por el circuito un onda vuadrada, debers ver como el condensador se carga y descarga, Se cargar cuando la tensin suba bruscamente (la parte lisa alta de la onda cuadrada) y se descargar en la parte lisa baja de la onda. Si tienes bien ``sintonizado'' el osciloscopio deberas ver un dibujo parecido al de la figura 21.2.

    En el caso de que veas la cada de potencial muy similar a la de la onda cuadrada, significa que ests dando demasiado tiempo al condensador para que se cargue. Prueba a aumentar la frecuencia en el generador de onda. Si sucede al revs, que lo que se visualiza es demasiado curvo, prueba a disminuir la frecuancia, pues ello significa que no ests dando tiempo suficiente al condensador para que se cargue.

    Una vez que tengas bien visible y clara la grfica de carga del condensador comparala con la terica. Coinciden?. En el caso de que haya alguna desavenencia intenta adivinar a qu se debe.

    Si tienes un condensador variable modifica su capacidad poco a poco y mira lo que sucede. Cmo lo puedes explicar?.

    A partir de los cuadraditos del osciloscopio y de la frnula de carga del condensador puedes probar a intentar conseguir la capacidad del condensador. Para ello toma algunos puntos significativos y luego prueba a ajustarles una funcin de subida exponencial como la (21.2). Cul es la capacidad?. En el caso de que ponga en el condensador la capacidad. Coincide con la calculada?. Piensa que, en cualquier caso, siempre hay una pequea diferencia (a vecs no tan pequea) atribuible a errores de medicin de los aparatos, impedancias internas, etc ...

    En el caso de que no sepas hacer esta ltima parte pregntale a tu profesor. El te lo explicar.


    Apndice: Resolucin de la ecuacin diferencial

    Los textos de clculo dicen que, una ecuacin del tipo de la ecuacin (21.1) se resuelve tomando primero la ecuacin homognea y despus una solucin particular.

    La ecuacin homognea es

    \begin{displaymath}\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0\end{displaymath}


    donde despejando

    \begin{displaymath}\frac{dq}{q} = -\frac{dt}{C}\end{displaymath}


    e, integrando ambos miembros

    \begin{displaymath}\int \frac{dq}{q} = \int -\frac{dt}{C}\end{displaymath}


    tenemos que

    \begin{displaymath}\ln q = -\frac{t}{C}+ K_1\end{displaymath}


    y exponenciando

    \begin{displaymath}q = K_2 e^{-\frac{t}{C}}.\end{displaymath}


    La solucin particular se puede extraer ``a ojo''. Tomemos $q=K_3$como solucin particular, y operando en (21.1) tendremos

    \begin{displaymath}\frac{q}{C}=V\end{displaymath}


    o, lo que es lo mismo

    \begin{displaymath}K_3 = CV.\end{displaymath}


    Ahora slo queda unir la solucin homognea y la particular y obligar a que, para $t=0 \ \Rightarrow \ q=0$.

    Teniendo todo esto en cuenta se llega, tras algunas sustituciones a

    \begin{displaymath}q= CV\left( 1 - e^{-\frac{t}{C}} \right),\end{displaymath}


    y considerando que $V=\frac{q}{C}$tedremos pues la ecuacin (21.2) o, lo que es lo mismo, que

    \begin{displaymath}V = V_0 \left( 1 - e^{-\frac{t}{C}} \right).\end{displaymath}


    Donde $V$es el voltaje que cae en el condensador cada $t$y $V_0$es la tensin que suministramos al circuito.


     
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