Estudio de un péndulo.

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Material experimental. Introducción teórica. Realización práctica.

Agregado: 22 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 428 | Votar | Sin Votos | Sin comentarios | Agregar Comentario
Categoría: Apuntes y Monografías > Física >
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Estudio de un péndulo.

Material experimental

Para llevar a cabo esta práctica se necesitará:

Hilo con soporte.
Peso. (Para colgar del hilo).
Cronómetro.
Metro.

Introducción teórica

Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no. Esto se puede observar en la figura 13.1. Un estudio análogo, quizás algo más completo al que se va a hacer aquí, esta expresado en el punto 13.4.

Vemos pues que, considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que se está recorriendo, podemos poner

$\begin{displaymath} ml \frac{d^2\alpha}{dt^2} + mg \sin(\alpha) = 0 \end{displaymath}$

(32.1)

donde no hemos hecho sino aplicar la segunda ley de Newton. Esto se puede ver considerando que el arco es $l \alpha$ y, como es la longitud del hilo y es constante^32.1, la aceleración será $l \frac{d^2\alpha}{dt^2}$ . Por otra parte, aplicando $\sum \vec{F} = m \vec{a}$ , en este caso la fuerza es sólo la de la gravedad, que se descompone en una componente, que se contrarrestra con la tensión, más otra, que es la que hace que exista movimiento en la trayectoria marcada por el arco.

Esta ecuación diferencial no es nada fácil de resolver^32.2 y por ello recurrimos a la aproximación siguiente: suponiendo que el ángulo que desplazamos es pequeño, tomamos que $\sin( \alpha) \simeq \alpha$ y así tenemos que

$\begin{displaymath} \frac{d^2\alpha}{dt^2} + \frac{g}{l} \alpha = 0 \end{displaymath}$

(32.2)

que a veces también se expresa como $\ddot{\alpha} + \frac{g}{l} \alpha=0$ .

Esta ecuación se puede demostrar que tiene por solución

$\begin{displaymath} \alpha = A \cos(\omega t) \end{displaymath}$

(32.3)

donde $w^2 = \frac{g}{l}$ y es el arco máximo que se aleja el péndulo.

También es muy común, puesto que hemos supuesto arcos muy pequeños para hacer la aproximación, suponer que la trayectoria que sigue el péndulo es recta, y no curvada, ya que, para^32.3 $\alpha \ll 1$ el arco se confunde con la cuerda, y por tanto, tratar este movimiento como un oscilador armónico simple cualesquiera.

Realización práctica

Hacer esta práctica es muy sencillo. Para ello basta medir la longitud de la cuerda hasta el centro de gravedad del peso, y después indagar cual será el período del movimiento.

Para hallar el período del movimiento separamos ligeramente el péndulo y con el cronómetro contamos hasta 20 o 30 oscilaciones. Después dividimos el tiempo que tardó en oscilar estas veces por el número de oscilaciones que hemos contado y obtendremos el período, es decir, el tiempo que se tarda en dar una única oscilación. Basta ahora relacionar con $\omega$ mediante la sencilla fórmula

$\begin{displaymath} \omega = \frac{2\pi}{T} \end{displaymath}$

y, sabiendo que

$\begin{displaymath}\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\end{displaymath}$

se despeja y se halla, dado que tenemos también el resto de parámetros.