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Tablas y fórmulas útiles

Introducción

Este apéndice está pensado como un complemento o un recordatorio matemático de algunos conceptos de esta índole imprescindibles para abordar con éxito el estudio de la física. No obstante, si el lector descubre que desconoce una gran parte del contenido de este apéndice, o bien que no comprende la procedencia de las fórmulas, debería por su cuenta estudiar estas bases hasta su total comprensión.

Cálculo complejo

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}
i^2 & = & -1 \\
\sqrt{-1} & = & i \\
(a+...
... & \frac{ac+bd}{c^2 + d^2} + \frac{cb-ad}{c^2+d^2}i
\end{array}\end{displaymath}


Cálculo vectorial

Módulo

$\left\vert\vec{a}\right\vert = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$.

Producto escalar

$\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cos \theta$.

Producto vectorial

Ver 4.3.4.

Funciones elementales

Trigonométricas

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}
\sin^2 t + \cos^2 t &=& 1,\ \forall t \\
...
...cos (a\pm b) & = & \cos a \cos b \mp \sin a \sin b
\end{array}\end{displaymath}


Logarítmicas y exponenciales

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}
\ln 1 & = & 0 \\
\ln 0 & \rightarrow & -\...
... t\\
e^{a+b} & = & e^ae^b \\
{e^a}^b & = & e^{ab}
\end{array}\end{displaymath}


Derivación

Propiedades generales

Constante

$\frac{d}{dt}K = 0$.

Suma

$\frac{d}{dt}(f+g) = \frac{d}{dt}f + \frac{d}{dt}g$.

Producto por constante

$\frac{d}{dt}(Kf) = K\frac{d}{dt}f$.

Producto

$\frac{d}{dt}(f\cdot g) = \left( \frac{d}{dt}f \right) g + f \left( \frac{d}{dt}g
\right)$.

División

$\frac{d}{dt}\frac{f}{g} = \frac{\left( \frac{d}{dt}f \right) g - f \left(
\frac{d}{dt}g \right)}{g^2}$.

Regla de la cadena

$\frac{d}{dt}f(g(t)) = (\frac{d}{dt}f )(g(t)) \cdot \frac{d}{dt}g(t)$.

Ejemplo de la regla de la cadena

$\frac{d}{dt}\sin(t^2) = \cos(t^2)2t$.

Tabla de derivadas

\begin{displaymath}\begin{array}{cc\vert cc} \hline
f(t) & \frac{d}{dt}f(t) & f(...
...{t^2-1}} & \arg \tanh t & \frac{1}{1-t^2}\\
\hline
\end{array}\end{displaymath}


Integración

Definición y propiedades

Se define $\int f(t) dt = F(t) + C$si se cumple que $\frac{d}{dt}F(t) =
f(t)$. Algunas propiedades son:

Nula

$\int 0 dt = C$donde $C$es una constante cualesquiera.

Constante

$\int K f(t) dt = K \int f(t) dt$,

Suma

$\int\left( f(t) + g(t)\right) dt = \int f(t) dt + \int
g(t)dt$.

La integral de un producto de dos funciones es

\begin{displaymath}\int u(t)dv(t) = u(t) v(t) - \int v(t) du(t). \end{displaymath}


Tabla de integrales

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}
\int t^n dt & = & \frac{t^{n+1}}{n+1} + C,...
...) + C \\
\int \frac{dt}{1+t^2} & = & \arctan t + C
\end{array}\end{displaymath}


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