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Potencial electrostático.

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Ecuación de Poisson y ecuación de Laplace.

Agregado: 24 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 819 | Votar! | Sin Votos | Sin comentarios | Agregar Comentario
Categoría: Apuntes y Monografías > Física >
Material educativo de Alipso relacionado con Potencial electrostático
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    POTENCIAL ELECTROSTÁTICO


    Una de las propiedades de los campos electrostáticos se refiere al valor del rotacional del campo en cada punto del espacio . Se puede comprobar que, en el caso electrostático se cumple siempre:

     

    [1.28]

     

    Las consecuencias de este resultado son varias. En primer lugar, de acuerdo con la teoría del análisis vectorial, una vez conocidos la divergencia y el rotacional de una función vectorial, es posible conocer unívocamente la misma, con ayuda de las condiciones de contorno dadas por la geometría del sistema. De este modo, conociendo la distribución de cargas, se puede, con ayuda de la ley de Gauss puntual [1.27] y con [1.28] determinar el campo electrostático. La expresión [1.28] es la segunda de las cuatro ecuaciones fundamentales del electromagnetismo, aunque es una expresión incompleta y tal y como se ha mostrado en [1.28] es válida únicamente en el caso estático.

    Por otra parte, teniendo en cuenta [1.28] y las propiedades del operador vectorial Ñ , existe al menos una función escalar V que verifica:

    [1.29]

    En efecto, se cumple que

    [1.30]

      

    La función escalar V, de la cual deriva E mediante el cálculo del gradiente, se denomina función potencial eléctrico. De hecho, no existe una única función escalar, sino infinitas que verifican estas condiciones. Sin embargo, todas las funciones posibles difieren entre sí por una constante.

     

    [1.31]

     

    La indeterminación en la asignación de una función potencial unívoca se resuelve asignando un origen de potenciales, es decir, un punto o región con un valor del potencial establecido. En cualquier caso, y como se verá posteriormente, lo realmente importante son las diferencias de potencial, para las cuales no tiene ninguna influencia el valor de la constante c escogida. 

    Mediante sencillo cálculo diferencial y tomando como origen de potenciales el infinito se puede obtener la expresión del potencial electrostático para una carga puntual

    [1.32]

     

    Para una distribución discreta de cargas, aprovechando el principio de superposición, la expresión del potencial es:

    [1.33]

     

    Para una distribución continua de cargas caracterizada por una densidad volúmica:

     

    [1.34]

      

    En todas estas expresiones, el valor del potencial tiende a cero a medida que r aumenta su valor, con lo cual V(¥ ) = 0. Esto da lugar a la determinación de la constante c; de este modo, cuando las cargas estén confinadas en una región localizada del espacio - y por lo tanto no se extiende la distribución de cargas hasta el infinito - se puede considerar el infinito como origen de potenciales.

    La ventaja del empleo del potencial electrostático radica en primer lugar en que los cálculos que deben hacerse son escalares en vez de vectoriales; en segundo lugar, dado que la dependencia con la distancia es inversamente proporcional a r y no a la segunda potencia de r, el cálculo de integración de las fuentes es por lo general más sencillo de realizar. Además, el campo después se obtiene por derivación, también generalmente un proceso más sencillo que una integración vectorial. Sin embargo, esto no es siempre cierto.

    La unidad del potencial eléctrico en el sistema MKSA es el voltio (V). Esta unidad sirve a menudo para referir la del campo eléctrico, en V/m, en vez de N/C.

     

    Ecuación de Poisson y ecuación de Laplace

    Además de las ecuaciones integrales vistas anteriormente para conocer el potencial eléctrico en función de las fuentes, es posible también obtener ecuaciones en forma diferencial a partir de la ley de Gauss [1.27]:

    [1.35]

    Esta última igualdad se conoce como ecuación de Poisson. A partir de esta ecuación, conociendo la forma de la distribución de carga r (x, y, z), se puede obtener el potencial eléctrico resolviendo la ecuación diferencial en derivadas parciales con las condiciones de contorno dadas por la geometría del problema concreto considerado.

    Frecuentemente, las distribuciones de carga están concentradas en una pequeña región del espacio y el interés por calcular el potencial eléctrico reside en zonas donde no hay cargas, y por lo tanto r =0. En estos casos, la ecuación de Poisson se reduce a:

    [1.36]

    que se denomina ecuación de Laplace. Además de presentar la ventaja de tratarse de una ecuación diferencial homogénea, con una resolución más sencilla, se trata de una ecuación que responde a multitud de problemas físicos (propagación del calor, vibración en cuerdas, dinámica de fluidos,..) por lo cual ha sido ampliamente estudiada.

     


    Ejercicios:

     

    Ejercicio 1: Calcular el potencial creado por una carga de valor q = 1 m C colocada en el origen de coordenadas. Comprobar que disminuye como el inverso de la distancia a la carga (q1_1.q).

    Ejercicio 2: dadas dos cargas puntuales iguales q = 1 m C situadas en los puntos (-2,0) y (2,0) determinar los puntos donde el potencial es nulo. (q2_1.q). (Solución: puntos del plano x = 0)

    Ejercicio3: dada la configuración del ejercicio anterior, calcular la diferencia de potencial entre los puntos (3,3) y (-3,-3)


     
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