DESARROLLO MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELECTROSTATICO
Dado un sistema de N cargas puntuales q1
. q2 . qN , localizadas en un volumen V', el
potencial electrostático en un punto genérico P(r), situado a una
distancia r del origen de coordenadas, viene dado por:
siendo rk el módulo del vector de
posición de la carga k-ésima. Si suponemos que el punto P está muy
alejado del volumen de la distribución, podemos desarrollar la expresión
anterior en potencias de (rk/r). y así escribir :
siendo en cada caso :
- Q la carga total
de la distribución:
- 
el
denominado momento dipolar eléctrico de
la distribución de carga, y que viene dado por :
- Qij los elementos del tensor cuadrupolar dados por :
Se observa que el primer término (término
monopolar) de este desarrollo corresponde al potencial creado por una carga
puntual colocada en el origen de coordenadas y de valor igual a la carga total
de la distribución.
El segundo término se denomina término dipolar, y a
una cierta distribución de carga que creara un potencial igual al de este término
se le denomina dipolo eléctrico. Este
dipolo se caracteriza por su momento dipolar, y así decimos que el segundo
término de este desarrollo corresponde al potencial electrostático creado por
un dipolo colocado en el origen con momento dipolar p. Las unidades del
momento dipolar son [Cm].
De forma similar, el tercer término recibe el
nombre de cuadrupolar, y se denomina cuadrupolo
eléctrico a la correspondiente distribución de carga que creara un
potencial electrostático igual únicamente a este término. Un cuadrupolo está
caracterizado por el correspondiente tensor cuadrupolar Qij. Este
término corresponde entonces al potencial creado por un cuadrupolo colocado en
el origen de coordenadas. Las unidades de estos elementos son [Cm2].
Así podríamos seguir para términos superiores.
Para el caso de distribuciones continuas, las
expresiones para la carga total, el momento dipolar eléctrico y los elementos
cuadrupolares Qij , vienen dado por :
Estas magnitudes determinan los llamados momentos
monopolar, dipolar, cuadrupolar, etc., de la distribución continua de cargas.
Para el propósito que nos ocupa resulta de utilidad resaltar los siguientes
resultados :
Þ Variación con la distancia
: un aspecto muy importante radica en
el hecho de que la contribución de cada uno de estos términos varía con la
distancia r según 1/r, 1/r2, 1/r3 ...1/rn,
lo que supone que conforme aumentamos el orden de estos términos su
contribución es cada vez más pequeña.
Þ Efecto de la elección del
origen : Los momentos de la
distribución, tanto en el caso de cargas puntuales como en el de una densidad
continua de cargas, dependen en general de la elección del origen de
coordenadas. Únicamente el término monopolar Q es una función única de la
distribución que no depende del origen. Es fácil demostrar, sin embargo, que en
el caso de una distribución neutra de carga (Q = 0) el momento dipolar no
depende del origen elegido. La contribución dipolar al potencial es en este
caso la más importante del desarrollo multipolar (1). Dado los átomos y
moléculas son neutros, tendremos que su momento dipolar resulta ser una
magnitud intrínseca, independiente de un origen. Este resultado es
generalizable de forma que, en una distribución con Q = 0 y también p = 0, el
momento cuadrupolar (primer término del desarrollo para este caso) se hace
entonces independiente del origen.
Monografías
