PROPIEDADES DEL CAMPO MAGNÉTICO

Para determinar completamente una función vectorial necesitamos calcular tanto su rotacional como su divergencia, además de las condiciones de contorno. Por ello las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) se expresan en términos de la divergencia y el rotacional de los campos eléctrico y magnético.

 Empezaremos calculando la divergencia del campo magnético a través de la ley de Biot -Savart :

 

[2.14]

 

El integrando de esta ecuación puede descomponerse según las reglas del cálculo vectorial en la forma :

 

[2.15]

 

donde los dos términos dan un resultado nulo. Por lo tanto se obtiene :

 

[2.16]

 

que constituye una de las leyes generales del Electromagnetismo que establece que

 el campo de inducción magnética es solenoidal, es decir tiene divergencia nula en todos los puntos.

 Esto significa dicho campo no tiene ni fuentes ni sumideros y por tanto, como resaltaremos posteriormente, las líneas de fuerza del campo magnético siempre son cerradas. Los polos magnéticos, equivalentes en este caso a las cargas eléctricas, no existen independientemente; siempre que hay un polo Norte ha de aparecer un polo Sur.

 Este resultado puede también expresarse en forma integral. A partir de la ecuación [2.16] tendremos:

 

[2.17]

 

donde la equivalencia se establece a través del teorema de Gauss para cualquier función de tipo vectorial. La anterior ecuación establece que

 el flujo del campo B a través de cualquier superficie cerrada es cero.

Para cualquier superficie no cerrada A, se define el flujo magnético como :

 

[2.18]

 

y su unidad en el Sistema Internacional es el Weber (Wb). Puede demostrarse que dado un determinado contorno, el flujo magnético sobre cualquier superficie que se apoye en dicho contorno es constante, es decir, el flujo a través de una determinada superficie sólo depende del contorno sobre el que se apoya.

 Otra de las implicaciones del carácter solenoidal del campo de inducción es la de que existe una función vectorial de la que deriva :

 

[2.19] puesto que

 

para cualquier vector A. Este vector así definido recibe el nombre de potencial vector, y su unidad en el S.I. es el Wb/m. Al igual de lo que ocurre en el caso del potencial electrostático V, el potencial vector no está unívocamente determinado puesto que si le añade cualquier magnitud vectorial de rotacional nulo se llega al mismo campo magnético B.

La expresión de este potencial vector puede obtenerse operando a partir de la ley de Biot-Savart, obteniéndose :

 

[2.20]

 

En el caso particular de un problema con corrientes filiformes, la anterior expresión resulta ser :

 

[2.21]

 

Es importante señalar que el potencial vector A no suele tener la utilidad del potencial escalar, resultando ser tan difícil de calcular, si no más, que el campo B en muchas ocasiones. Además no es fácil darle la interpretación energética que tenía el potencial escalar V en el caso de la electrostática. Sin embargo, si es posible calcular el flujo del campo a través de este potencial :

 

[2.22]

 

donde la segunda igualdad se establece en virtud del teorema de Stokes. A través de la anterior expresión puede comprobarse que el flujo magnético sólo depende del valor del potencial vector A a lo largo del contorno donde se apoya la superficie.

Finalmente, y para acabar de determinar las propiedades del campo B debemos calcular su rotacional. Aplicando dicho operador a la expresión de B dada por la ley de Biot-Savart, se obtiene :

 

[2.23]

 

que se denomina forma diferencial del teorema de Ampère .

 A partir de la forma diferencial del teorema de Ampère podemos obtener una forma integral que resulta de gran utilidad para el cálculo de B en problemas de gran simetría. Para ello, partimos de la expresión del flujo del rotacional de B, que, aplicando el teorema de Stokes resulta ser :

 

[2.24]

 

Si aplicamos la forma diferencial dada por [2.23] obtendremos :

 

[2.25]

 

Ahora bien, teniendo en cuenta la definición de la densidad de corriente dada por [2.6], la anterior ecuación toma la siguiente forma final :

 

[2.26]

 

que es el teorema de Ampère en forma integral y establece

que la circulación de B a lo largo de una línea cerrada es igual a m ₀ veces la corriente total que encierra dicha línea.

Por lo tanto, si una corriente atraviesa varias veces esa línea hay que contar tantas veces como la atraviese. En aquellos casos con claras simetrías, eligiendo un camino para la integral en el que B sea constante en módulo y dirección, y paralelo en todo punto al vector dl, se puede determinar con gran facilidad el valor del campo magnético. Esta ley es la análoga al teorema de Gauss en electrostática, aunque en principio ésta es válida en todo caso, mientras que el teorema de Ampère sólo lo es para campos estáticos.