Trayectoria, velocidad, aceleracion, espacio recorrido. Obtención por integración las ecuaciones de la posición y de la velocidad del movimiento. Cinemática del movimiento circular. Descripción vectorial del movimiento. Sistema de referencia intrínseco o móvil. Componentes intrínsecas de la aceleración.
Cinemática del movimiento relativo de traslación.
Cinemática
del punto: Conceptos generales
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Cinemática es la parte de la mecánica
que tiene como objetivo la descripción del movimiento
En los siguientes párrafos, a modo de repaso, se van a dar los
conceptos básicos ya aprendidos en cursos anteriores
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- Trayectoria, velocidad, aceleracion, espacio
recorrido
- Obtención por integración las ecuaciones de
la posición y de la velocidad del movimiento
- Cinemática del movimiento circular.
- Descripción vectorial del movimiento
- Sistema de referencia intrínseco o móvil.
Componentes intrínsecas de la aceleración.
- Cinemática del movimiento relativo de traslación
Trayectoria, velocidad,
aceleracion, espacio recorrido
Un
movimiento puede estar descrito mediante la trayectoria y la
posición del móvil sobre la misma (contada desde un punto tomado como
origen) para cualquier instante de tiempo s = s(t).
La velocidad instantánea
es
una magnitud física que nos indica la rapidez del movimiento en cada instante.
Se define como espacio recorrido (o el cambio de posición) en la unidad de
tiempo en cada instante. Su unidad en el SI de unidades es el m/s (ms-1)
La aceleración instantánea
es
una magnitud física que nos indica la rapidez de cambio de velocidad en cada
instante. Se define como el cambio de velocidad experimentado por el móvil en
la unidad de tiempo en cada instante. Su unidad en el sistema internacional de
unidades es el m/s2 (ms-2)
Ejemplo1: La
posición de un móvil frente al tiempo viene dada por la expresión s=2+5t+t2.
Dar la expresión de la velocidad frente al tiempo. Calcular la velocidad y la
aceleración en t= 0
Solución:
La velocidad en cualquier
instante viene dada por v =5+10t ( m/s) . La aceleración en
cualquier instante es a=10 (m/s2). En particular, en el
instante t=0 su posición es s0=2m su velocidad v=5 m/s y su
aceleración a=10 m/s2
Es necesario resaltar que el espacio recorrido sobre la trayectoria entre
dos instantes determinados no siempre viene dado por el cambio de posición
entre esos instantes.
Proponemos para aclarar esto
último el siguiente ejercicio:
Ejercicio 1.-
La expresión de la posición
frente al tiempo para un movimiento a lo largo del eje X viene dada por x=20+
10t –t2 (m). a) encontrar el instante de tiempo a partir del cual la
velocidad se hace negativa (se invierte el recorrido). b) Dar la posición del
móvil en los instantes t=0, t=5 y t=8 segundos. c) Calcular el espacio
recorrido entre los instantes t=0 y t=5 Idem entre los instantes t=0 y t=8.
Obtención por integración
las ecuaciones de la posición y de la velocidad del movimiento.-
A) Caso de velocidad y
aceleración constantes o dependientes del tiempo:
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Dada la velocidad en cualquier instante de tiempo y las
condiciones iniciales para la posición podemos calcular mediante
integración la posición para cualquier instante de tiempo.
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En efecto la relación entre el
espacio infinitesimal recorrido y el tiempo infinitesimal empleado y la
integración temporal de la misma:
nos permite calcularla
Ejemplo2- La
velocidad de un movil sobre una trayectoria determinada viene dada por v=2t+4
m/s. Calcular la posición sabiendo que en el instante inicial se encontraba
en la posición s0=5 m respecto al origen.
Igualmente
dadas la aceleración para cualquier instante de tiempo y las condiciones
iniciales para la velocidad podemos obtener la expresión de la velocidad par
cualquier instante de tiempo sin mas que tener en cuenta que
y proceder a la integración como
en el ejemplo anterior. Dejamos para el alumno la integración de esta expresión
y el resultado de la misma.
Proponemos para reforzar lo aprendido el siguiente ejercicio:
Ejercicio 2.-
Obtener las ecuaciones de la posición y de la velocidad en función del tiempo
para el movimiento uniforme y para el caso general de movimiento uniformemente
aceleradocon aceleración "a" a partir de las definiciones de
velocidad y de aceleración. Tomar para el instante incial t=0 v=v0 y s=s0
B) Casos en que la velocidad
depende de la posición o la aceleración depende bien de la posición o de la
velocidad
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En los ejemplos y ejercicios anteriores se podia
proceder directamente a la integración temporal de las expresiones de la
velocidad y de la aceleración. Pero hay casos en que esto no es posible.
Tales son cuando sólo conocemos la velocidad en función de la posición, o
bien la aceleración en función de la posición o de la velocidad. Los
siguientes ejemplos y ejercicios son para mostrar la forma de proceder en
estos casos
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Ejemplo3.-La velocidad de un
movil sobre una trayectoria determinada viene dada en función de la posición
sobre la misma por v=2s+5 . Sabiendo que en t=0 su posición respecto al origen
es s0=3 determinar la posición
en función del tiempo. (unidades en el S.I.)
Ejemplo 4.- La
aceleración de un movimiento viene dada en función de la velocidad de la forma
a= -4 v. Si se sabe que cuando t=0 v=10 y x=0 (Unidades en el SI) encontrar las
expresiones de la velocidad y de la posición en función del tiempo.
Dejamos como ejercicio el
obtener, a partir de la anterior, la ecuación de la posición en función del
tiempo.
Ejemplo 5.-La aceleración de un
movimiento a lo largo del eje X viene dada en función de la posición x respecto
al origen por a=-10x. . En t=0 la velocidad es nula y la posición x=A.
Encontrar la expresión de la velocidad en función de la posición, la posición
en función del tiempo, y la velocidad en función del tiempo.
Dejamos como ejercicio obtener
la ecuación x=x(t)
Cinemática del movimiento
circular.-
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En la descripción del movimiento circular, es
conveniente introducir magnitudes angulares. La posición del movil
viene determinada de esta forma por el angulo descrito a partir de la
posición inicial j (t) .
La unidad del S.I de ángulo plano es el radian. Un radián
es el valor del ángulo que abarca un radio. El numero de radianes se
encuentra dividiendo el espacio recorrido por el móvil sobre la trayectoria
circular y la longitud del radio j =s/r. EL radian es por lo
tanto una magnitud adimensional.
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Velocidad y aceleración angular
Se define como velocidad angular instantánea a la derivada del
ángulo descrito respecto del tiempo w =dj /dt. La unidad en el sistema
internacional de unidades (SI) es el radian por segundo rad/s; tambien se
emplea el s-1 ya que el rad es una magnitud adimensional.
Se define como aceleración angular instantánea a la derivada de
la velocidad angular respecto del tiempo a=dw /dt . Su unidad en SI es
el rad/s2 o simplemente s-2.
De acuerdo con la definición de radian, el espacio s recorrido
por el movil sobre la trayectoria viene dado por s=j r en donde r es el
radio de la circunverencia. Derivando la anterior y teniendo en cuenta que el
radio es constante obtenemos que v=w .r y a=a r.
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Relación entre las magnitudes
lineales (sobre la trayectoria) y angulares
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s=j r
v =w .r
a=a r
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Ejercicio 3.- Obtener
las ecuaciones de la posición sobre la trayectoria y de la velocidad
angular en función del tiempo para el movimiento circular uniforme y para el
movimiento circular uniformemente acelerado a partir de las definiciones de
velocidad angular y de aceleración angular. Tomar para el instante incial t=0 w
=w0 y j =j0
Aceleración tangencial y
aceleración centripeta o normal en un movimiento circular.
Consideremos ahora en cada punto de la trayectoria un vector tangente a la
misma cuyo modulo sea el valor de la velocidad. A dicho vector lo denominamos
vector velocidad
donde 
es
un vector unitario tangente a la circunferencia en cada punto. La rapidez de
cambio del módulo de la velocidad viene dado por a=dv/dt=a r siendo a la
aceleración angular y r el radio de la circunferencia. Esta aceleración
recibe el nombre de aceleración lineal o, mas bien, aceleración tangencial.
Consideremos ahora el caso de movimiento circular uniforme, es decir que el
módulo de la velocidad permanece constante. La dirección de la velocidad cambia
al hacerlo el vector unitario tangente a la trayectoria. Este cambio
instantáneo en la velocidad respecto al tiempo debido al cambio de dirección
viene dado por un vector con dirección radial y hacia el centro de la
circunferencia cuyo módulo es v2/r (
Dejamos al lector la demostración de esto último)
Este valor recibe el nombre de aceleración normal o radial del
movimiento.
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En resumen en un movimiento circular en general
podemos encontrar dos tipos de aceleración: aceleración tangencial,
relacionada con el cambio de la velocidad en módulo y aceleración normal
relacionada con el cambio de dirección de la velocidad.
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at=dv/dt=a r
an=v2/r
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Ejercicio 4.- Consideremos un
movimiento circular en el plano XY de radio 3 m. centrado en el orígen de
coordenadas El movil parte del reposo en un punto (3,0) en t=0 s. Acelera
uniformemente con aceleración de 0.2 m/s2 . Calcular la aceleración
angular y la velocidad angular en el punto (0,3). Calcular la aceleración
tangencial y normal al pasar por primera vez por dicho punto. ¿Cuantas vueltas
ha dado el móvil despues de transcurrido un minuto?.
Periodo y frecuencia de un
movimiento circular uniforme
El movimiento circular uniforme (MCU) en el que la velocidad angular permanece
constante (no depende del tiempo) es un movimiento periódico, es decir, en este
movimiento la posición del móvil se repite cada cierto intervalo de tiempo T
llamado periodo. La relación entre el periodo y la velocidad angular es
w =2p /T
¿Por qué?
Se denomina frecuencia n de un
MCU al número de vueltas que realiza el móvil en un segundo. Su relación con el
periodo es
n =1/T
¿Por qué?
Descripción vectorial del
movimiento
.
Si conocemos la expresión del vector de posición de la partícula en función del
tiempo queda descrito completamente el movimiento de la misma (incluso la
trayectoria)
Ejemplo1. El
vector de posición de un móvil viene dado por la expresión
=2t2
+t
+
5
a) Dar la posición inicial y la posición en t=1 s. b)Dar
el vector desplazamiento entre esos instantes. ¿Coincide el módulo de este con
el espacio recorrido por el móvil?. c) Dar la expresión cartesiana de la
trayectoria.
Solución
a) en t=0 la partícula está en la posición A(0,0,5)
en t=1 la partícula está en la
posición B(2,1,5)
b) El vector desplazamiento es el vector de origen A y
extremo B.
D
su
módulo es Ö 5 m
El vector desplazamiento va en la línea recta que une A y B, por lo tanto su
módulo no es en general igual al espacio recorrido sobre la trayectoria. Eso
tan solo ocurre si el movimiento es rectilíneo, que no es precisamente el caso
que nos ocupa como veremos a continuación.
c) Al no depender del tiempo la coordenada z, el movimiento está en un plano
paralelo al plano XY, y a una altura z=5.
En ese plano las ecuaciones paramétricas del movimiento son (
x= 2t2 y= t )
eliminando t tenemos la ecuación
de una parábola (en coordenadas cartesianas)
y2=x/2
Vector velocidad y vector
aceleración.-
Se define como vector velocidad
o simplemente como velocidad a la derivada del vector de posición respecto del
tiempo.
su módulo coincide con la
verdadera velocidad o rapidez es decir
y su dirección es tangente a la
trayectoria en cada punto de la misma. Si denominamos por 
al
vector unitario tangente a la trayectoria en un punto, la velocidad en ese
punto viene dada por
Se define como vector
aceleración o simplemente aceleración a la derivada del vector velocidad
respecto del tiempo.
El módulo de este vector, como
veremos, no coincide con el valor de la aceleración vista en el tratamiento
escalar de la cinemática.
Ejemplo2.-
El vector de posición de un movil viene dado por=2t2+t+
5(SI)
Encontrar las expresiones para la velocidad y aceleración.
Solución
m/s 
m/s2
Sistema de referencia intrínseco
o móvil. Componentes intrínsecas de la aceleración.
En cada punto de una curva dada por ,
el movimiento se puede aproximar localmente por una circunferencia de radio
máximo tangente a la curva en dicho punto.
El centro de dicha circunferencia recibe el nombre de centro de curvatura
y el radio de dicha circunferencia el de radio de curvatura r.
El sistema de referencia de vectores ut y un
recibe el nombre de sistema de referencia móvil o intrínseco.
Como hemos visto, la velocidad es un vector tangente a la trayectoria en cada
punto es decir que su dirección viene dada por ut
Componentes intrínsecas de la
aceleración.-
De acuerdo con lo visto al estudiar el movimiento circular. La aceleración
tiene dos componentes. La aceleración tangencial at=dv/dt lleva la
dirección de ut . La aceleración normal, de valor v2/r
lleva la dirección de un.
Proponemos para reforzar estos
conceptos la realización de los siguientes ejercicios
Ejercicio 5.- El
vector de posición de una partícula viene dada por
=2t2+t+
5
Dar para t= 1s. a)Un vector unitario tangente a la
trayectoria b) Los vectores aceleración tangencial y aceleración normal c) El
radio de curvatura.
Cuestiónes-
1) Un movimiento con
radio de curvatura constante es un movimiento circular. Para este movimiento
deducir en que caso la aceleración normal es constante.
2) ¿Que se puede decir de
la aceleración normal y del radio de curvatura de un movimiento rectilíneo?
Cinemática del movimiento
relativo de traslación
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Como se ha dicho el estudio de un movimiento implica, en
primer lugar, el fijar un sistema de referencia. En este apartado vamos a estudiar
la relación que hay entre las velocidades y las aceleraciones medidas por
dos observadores fijados a sistemas de referencias que se mueven entre sí con
movimiento rectilíneo y con velocidad constante.
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Para simplificar consideremos el sistema XYZ fijo y el X' Y' Z' que se mueve a
una velocidad Varrastre constante en la dirección del eje Y.
Se cumple que
Derivando de nuevo respecto del
tiempo encontramos
En el caso de movimiento relativo de tralación uniforme (aarrastre=0)
tenemos que los dos observadores miden la misma aceleración a = a*
Las aceleraciones que miden dos observadores que se trasladan entre si
con movimiento de traslación uniforme son iguales
Ejercicio.-Un tren se deplaza en
línea recta con velocidad de 72 Km/h en el sentido del eje de la X positivo
respecto del suelo. Calcular la velocidad del viajero respecto del suelo en los
siguientes casos a) El viajero avanza a 10 m/s en el sentido del tren. b) El
viajero marcha hacia el vagón de cola a 10 m/s
Ejercicio.- La
velocidad de las gotas de lluvia respecto al suelo es de 10 m/s. Las gotas caen
en vertical. ¿Cual es la velocidad de las gotas respecto a un automóvil que
avanza a 72 km/h por la horizontal?. ¿Con qué ángulo, respecto a la vertical,
ve caer las gotas el conductor?.
Monografías
referido
a un sistema de referencia prefijado. Por comodidad tomamos un sistema de
referencia basado en un sistema de coordenadas ortonormales (cartesiano), con
vectores unitarios que denominamos
