Cinemática del punto: Conceptos generales

•  Trayectoria, velocidad, aceleracion, espacio recorrido

• Obtención por integración  las ecuaciones de la posición y de la velocidad del  movimiento

• Cinemática del movimiento circular.

• Descripción vectorial del movimiento

• Sistema de referencia intrínseco o móvil. Componentes intrínsecas de la aceleración.

• Cinemática del movimiento relativo de traslación

Trayectoria, velocidad, aceleracion, espacio recorrido
            Un movimiento puede estar descrito mediante  la trayectoria y la posición del móvil sobre la misma (contada desde un punto tomado como origen) para cualquier instante de tiempo s = s(t).

            La velocidad instantáneaes una magnitud física que nos indica la rapidez del movimiento en cada instante. Se define como espacio recorrido (o el cambio de posición) en la unidad de tiempo en cada instante. Su unidad en el SI de unidades es el m/s (ms^-1)

            La aceleración instantáneaes una magnitud física que nos indica la rapidez de cambio de velocidad en cada instante. Se define como el cambio de velocidad experimentado por el móvil en la unidad de tiempo en cada instante. Su unidad en el sistema internacional de unidades es el m/s² (ms^-2)

Ejemplo1: La posición de un móvil frente al tiempo viene dada por la expresión s=2+5t+t². Dar la expresión de la velocidad frente al tiempo. Calcular la velocidad y la aceleración en t= 0

Solución:

La velocidad en cualquier instante viene dada por v =5+10t ( m/s) . La aceleración en cualquier instante es a=10 (m/s²).  En particular, en el instante t=0 su posición es s₀=2m su velocidad v=5 m/s y su aceleración a=10 m/s²

       Es necesario resaltar que  el espacio recorrido sobre la trayectoria entre dos instantes determinados no siempre viene dado por el cambio de posición entre esos instantes.

Proponemos para aclarar esto último el siguiente ejercicio:

Ejercicio 1.-

La expresión de la posición frente al tiempo para un movimiento a lo largo del eje X viene dada por x=20+ 10t -t² (m). a) encontrar el instante de tiempo a partir del cual la velocidad se hace negativa (se invierte el recorrido). b) Dar la posición del móvil en los instantes t=0, t=5 y t=8 segundos. c) Calcular el espacio recorrido entre los instantes t=0 y t=5 Idem entre los instantes t=0 y t=8.

Obtención por integración  las ecuaciones de la posición y de la velocidad del movimiento.-
 

A) Caso de velocidad y aceleración constantes o dependientes del tiempo:

En efecto la relación entre el espacio infinitesimal recorrido y el tiempo infinitesimal empleado y la integración temporal de la misma:

nos permite calcularla

Ejemplo2- La velocidad de un movil sobre una trayectoria determinada viene dada por v=2t+4 m/s. Calcular la posición sabiendo que en el instante inicial se encontraba en la posición s₀=5 m respecto al origen.
 

    Igualmente dadas la aceleración para cualquier instante de tiempo y las condiciones iniciales para la velocidad podemos obtener la expresión de la velocidad par cualquier instante de tiempo sin mas que tener en cuenta que

y proceder a la integración como en el ejemplo anterior. Dejamos para el alumno la integración de esta expresión y el resultado de la misma.

            Proponemos para reforzar lo aprendido  el siguiente ejercicio:

Ejercicio 2.- Obtener las ecuaciones de la posición y de la velocidad en función del tiempo para el movimiento uniforme y para el caso general de movimiento uniformemente aceleradocon aceleración "a"  a partir de las definiciones de velocidad y de aceleración. Tomar para el instante incial t=0 v=v₀ y s=s₀
 

B) Casos en que la velocidad depende de la posición o la aceleración depende bien de la posición o de la velocidad

Ejemplo3.-La velocidad de un movil sobre una trayectoria determinada viene dada en función de la posición sobre la misma por v=2s+5 . Sabiendo que en t=0 su posición respecto al origen es s₀=3 determinar la posición en función del tiempo. (unidades en el S.I.)
 

 Ejemplo 4.- La aceleración de un movimiento viene dada en función de la velocidad de la forma a= -4 v. Si se sabe que cuando t=0 v=10 y x=0 (Unidades en el SI) encontrar las expresiones de la velocidad y de la posición en función del tiempo.

Dejamos como ejercicio el obtener, a partir de la anterior, la ecuación de la posición en función del tiempo.

Ejemplo 5.-La aceleración de un movimiento a lo largo del eje X viene dada en función de la posición x respecto al origen por a=-10x. . En t=0 la velocidad es nula y la posición x=A. Encontrar la expresión de la velocidad en función de la posición, la posición en función del tiempo, y la velocidad en función del tiempo.

Dejamos como ejercicio obtener la ecuación x=x(t)
 

Cinemática del movimiento circular.-
 
 

Velocidad y aceleración angular

        Se define como velocidad angular instantánea a la derivada del ángulo descrito respecto del tiempo w =dj /dt. La unidad en el sistema internacional de unidades (SI) es el radian por segundo rad/s; tambien se emplea el s^-1 ya que el rad es una magnitud adimensional.

        Se define como aceleración angular instantánea a la derivada de la velocidad angular respecto del tiempo a=dw /dt . Su unidad en SI es el rad/s² o simplemente s^-2.

        De acuerdo con la definición de radian, el espacio s recorrido por el movil sobre la trayectoria viene dado por s=j r en donde r es el radio de la circunverencia. Derivando la anterior y teniendo en cuenta que el radio es constante obtenemos que v=w .r y a=a r.
 
 
 

Ejercicio 3.- Obtener las ecuaciones de la posición sobre la trayectoria  y de la velocidad angular en función del tiempo para el movimiento circular uniforme y para el movimiento circular uniformemente acelerado a partir de las definiciones de velocidad angular y de aceleración angular. Tomar para el instante incial t=0 w =w₀    y j =j₀
 
 
 

Aceleración tangencial y aceleración centripeta o normal en un movimiento circular.

        Consideremos ahora en cada punto de la trayectoria un vector tangente a la misma cuyo modulo sea el valor de la velocidad. A dicho vector lo denominamos vector velocidad

donde es un vector unitario tangente a la circunferencia en cada punto. La rapidez de cambio del módulo de la velocidad viene dado por a=dv/dt=a r siendo a la aceleración angular y r el radio de la circunferencia. Esta aceleración recibe el nombre de aceleración lineal o, mas bien, aceleración tangencial.

        Consideremos ahora el caso de movimiento circular uniforme, es decir que el módulo de la velocidad permanece constante. La dirección de la velocidad cambia al hacerlo el vector unitario tangente a la trayectoria. Este cambio instantáneo en la velocidad respecto al tiempo debido al cambio de dirección viene dado por un vector con dirección radial y hacia el centro de la circunferencia cuyo módulo es v²/r ( Dejamos al lector la demostración de esto último)

        Este valor recibe el nombre de aceleración normal o radial del movimiento.
 
 
 

Ejercicio 4.- Consideremos un movimiento circular en el plano XY de radio 3 m. centrado en el orígen de coordenadas El movil parte del reposo en un punto (3,0) en t=0 s. Acelera uniformemente con aceleración de 0.2 m/s² . Calcular la aceleración angular y la velocidad angular en el punto (0,3). Calcular la aceleración tangencial y normal al pasar por primera vez por dicho punto. ¿Cuantas vueltas ha dado el móvil despues de transcurrido un minuto?.
 
 

Periodo y frecuencia de un movimiento circular uniforme

        El movimiento circular uniforme (MCU) en el que la velocidad angular permanece constante (no depende del tiempo) es un movimiento periódico, es decir, en este movimiento la posición del móvil se repite cada cierto intervalo de tiempo T llamado periodo. La relación entre el periodo y la velocidad angular es

w =2p /T

¿Por qué?

Se denomina frecuencia n de un MCU al número de vueltas que realiza el móvil en un segundo. Su relación con el periodo es

n =1/T

¿Por qué?
 

Descripción vectorial del movimiento
 

       .

  

                Si conocemos la expresión del vector de posición de la partícula en función del tiempo queda descrito completamente el movimiento de la misma (incluso la trayectoria)
 
 

Ejemplo1. El vector de posición de un móvil viene dado por la expresión

=2t²+t+ 5

a) Dar la posición inicial y la posición en t=1 s. b)Dar el vector desplazamiento entre esos instantes. ¿Coincide el módulo de este con el espacio recorrido por el móvil?. c) Dar la expresión cartesiana de la trayectoria.

Solución

            a) en t=0 la partícula está en la posición A(0,0,5)

en t=1 la partícula está en la posición B(2,1,5)

             b) El vector desplazamiento es el vector de origen A y extremo B.

Dsu módulo es Ö 5 m
              El vector desplazamiento va en la línea recta que une A y B, por lo tanto su módulo no es en general igual al espacio recorrido sobre la trayectoria. Eso tan solo ocurre si el movimiento es rectilíneo, que no es precisamente el caso que nos ocupa como veremos a continuación.

             c) Al no depender del tiempo la coordenada z, el movimiento está en un plano paralelo al plano XY, y a una altura z=5.

             En ese plano las ecuaciones paramétricas del movimiento son   (  x= 2t²    y= t )

eliminando t tenemos la ecuación de una parábola  (en coordenadas cartesianas)     y²=x/2

Vector velocidad y vector aceleración.-

Se define como vector velocidad o simplemente como velocidad a la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

su módulo coincide con la verdadera velocidad o rapidez es decir

y su dirección es tangente a la trayectoria en cada punto de la misma. Si denominamos por al vector unitario tangente a la trayectoria en un punto, la velocidad en ese punto viene dada por

Se define como vector aceleración o simplemente aceleración a la derivada del vector velocidad respecto del tiempo.

El módulo de este vector, como veremos, no coincide con el valor de la aceleración vista en el tratamiento escalar de la cinemática.
 

Ejemplo2.- El vector de posición de un movil viene dado por=2t²+t+ 5(SI)             Encontrar las expresiones para la velocidad y aceleración.

Solución

  m/s    m/s²

Sistema de referencia intrínseco o móvil. Componentes intrínsecas de la aceleración.

                En cada punto de una curva dada por , el movimiento se puede aproximar localmente por una circunferencia de radio máximo tangente a la curva en dicho punto.

        El centro de dicha circunferencia recibe el nombre de centro de curvatura y el radio de dicha circunferencia el de radio de curvatura r.

        El sistema de referencia de vectores u_t y u_n recibe el nombre de sistema de referencia móvil o intrínseco.

        Como hemos visto, la velocidad es un vector tangente a la trayectoria en cada punto es decir que su dirección viene dada por u_t

Componentes intrínsecas de la aceleración.-
 

        De acuerdo con lo visto al estudiar el movimiento circular. La aceleración tiene dos componentes. La aceleración tangencial a_t=dv/dt lleva la dirección de u_{t .} La aceleración normal, de valor v²/r lleva la dirección de u_n.
 

Proponemos para reforzar estos conceptos la realización de los siguientes ejercicios

_{Ejercicio 5.- El vector de posición de una partícula viene dada por}

=2t²+t+ 5

_{Dar para t= 1s. a)Un vector unitario tangente a la trayectoria b) Los vectores aceleración tangencial y aceleración normal c) El radio de curvatura.}

_Cuestiónes-

_{1) Un movimiento con radio de curvatura constante es un movimiento circular. Para este movimiento deducir en que caso la aceleración normal es constante.}

_{2) ¿Que se puede decir de la aceleración normal y del radio de curvatura de un movimiento rectilíneo?}

Cinemática del movimiento relativo de traslación
 

        Para simplificar consideremos el sistema XYZ fijo y el X' Y' Z' que se mueve a una velocidad V_arrastre constante en la dirección del eje Y.

Se cumple que
 

Derivando de nuevo respecto del tiempo encontramos

            En el caso de movimiento relativo de tralación uniforme (a_arrastre=0) tenemos que los dos observadores miden la misma aceleración a = a^*

               Las aceleraciones que miden dos observadores que se trasladan entre si con movimiento de traslación uniforme son iguales

Ejercicio.-Un tren se deplaza en línea recta con velocidad de 72 Km/h en el sentido del eje de la X positivo respecto del suelo. Calcular la velocidad del viajero respecto del suelo en los siguientes casos a) El viajero avanza a 10 m/s en el sentido del tren. b) El viajero marcha hacia el vagón de cola a 10 m/s

Ejercicio.- La velocidad de las gotas de lluvia respecto al suelo es de 10 m/s. Las gotas caen en vertical. ¿Cual es la velocidad de las gotas respecto a un automóvil que avanza a 72 km/h por la horizontal?. ¿Con qué ángulo, respecto a la vertical, ve caer las gotas el conductor?.