OSCILADOR
FORZADO
- Ecuación diferencial del oscilador forzado.
- Soluciones de la ecuación diferencial del
oscilador forzado.
- Amplitud y fase de la velocidad.
- Resonancia en la energía.
- Reactancia y resistencia de un oscilador.
- Potencia transmitida por la fuerza al oscilador.
- Ancho de banda. Factor de calidad.
Ecuación diferencial del oscilador forzado
Las pérdidas en la energía de un
oscilador amortiguado se compensan mediante una fuerza externa periódica.
Consideremos un oscilador amortiguado
por una fuerza proporcional a la velocidad y, además sujeto a una fuerza
periódica 
.
La ecuación diferencial que gobierna el oscilador es:
aplicando la segunda ley de
Newton y expresando la aceleración y velocidad como las derivadas segunda y
primera respectivamente.
o en la forma más habitual:
Soluciones de la ecuación diferencial
Resolver la ecuación diferencial
anterior se sale de los objetivos del presente curso.
Podemos justificar sin embargo que
desde el punto de vista físico parece lógico que al cabo de un tiempo
suficientemente grande el movimiento resultante sea oscilatorio con una
frecuencia igual a la de la fuerza aplicada. Y así sucede, la solución tiene
dos términos: uno amortiguado 
(solución
de la ecuación homogénea- igualada a cero-), que se anula con el tiempo y otro
al que se denomina solución particular y cuya frecuencia coincide con la de la
fuerza aplicada.
Tomemos pues
como solución particular la siguiente expresión:
La solución pasará por un estado transitorio hasta que
para un tiempo suficientemente grande la solución será x=xp (estado
estacionario)
si t se
hace muy grande, la solución x tiende a
Sustituyendo la solución en la ecuación
diferencial podemos obtener después de algunas operaciones para la amplitud y
la fase las siguientes expresiones:
La amplitud y la fase expresadas pueden expresarse también
en la siguiente forma:
Se observa:
· Solución oscilatoria armónica con el mismo periodo de
la fuerza
· La amplitud y la fase dependen de:
Proximidad entre wf
y wo
Valor de la fuerza aplicada F0
Características del oscilador amortiguado K y l
· La amplitud presenta un máximo
cuando:
[2]
que obtenemos al hacer mínimo el
denominador de la ecuación.
Cuando se verifica la ecuación [2] se produce
resonancia en amplitud.
Cuando el amortiguamiento es
pequeño g cercano a cero La resonancia se da cuando la
frecuencia de la fuerza coincide con la frecuencia natural w0 y, en
este caso, la amplitud tiende a infinito.
Amplitud y fase de la velocidad.
Se acaba de ver que para un oscilador forzado por una
fuerza:
La posición viene dada por la expresión:
Y la velocidad
tiene un retraso de fase a respecto a la fuerza.
La amplitud de la velocidad 
viene
dada por:
Esta amplitud es máxima cuando el denominador sea mínimo,
y esto sucede cuando
Es decir cuando la
frecuencia de la fuerza coincide con la del oscilador no amortiguado.
Resonancia en la energía.
Cuando 
la
amplitud de la velocidad es máxima y con ello la energía cinética del
oscilador. Por ello se dice que hay resonancia en la energía
En este la diferencia de fase entre la velocidad y la
fuerza aplicada es:
Es decir la fuerza está en fase con la velocidad.
Gráfica de la amplitud de la velocidad frente a la
frecuencia
Impedancia de un oscilador
La amplitud de la velocidad viene dada por:
El denominador de dicha expresión recibe el nombre de
impedancia Z. La impedancia es el cociente entre las amplitudes de la fuerza
aplicada y de la velocidad.
Reactancia y resistencia de un oscilador . (Diagrama de
impedancia)
Resistencia R= l
Reactancia X= m wf -k/w f
Como puede observarse el ángulo a del diagrama es el mismo
que el de desfase entre la fuerza y la velocidad.
Cuando hay resonancia en la energía 
,
la reactancia es cero 
y la impedancia es igual a la resistencia.
Potencia transmitida por la fuerza al oscilador.
La potencia instantánea viene dada por la expresión:
(la
fuerza y la velocidad llevan la misma dirección)
En la resonancia la fuerza y la velocidad están en
fase y, como veremos más adelante la potencia transmitida por la fuerza
al oscilador es máxima.
Potencia media transmitida.
La potencia media en un periodo se define como:
En nuestro caso
teniendo en cuenta que
queda para la potencia media en un periodo
En la resonancia a =0 , (vo es máxima) la
potencia media transmitida al oscilador es máxima:
Ancho de banda. Factor de calidad.
La potencia transmitida al oscilador varía
con la frecuencia de la fuerza aplicada. En la resonancia, la
potencia transmitida es máxima.
Se puede comprobar fácilmente que la relación que hay
entre la potencia media y la potencia media en la resonancia es:
Una representación gráfica de esta es de la siguiente
forma.
Cuanto más aguda sea esa curva más definida será la
resonancia.
La agudeza de esa curva nos la da el ancho de banda 
(diferencia de frecuencias para las cuales la potencia media es la mitad
de la potencia en la resonancia ), que está relacionado con el factor de
calidad Q ,
Cuanto mayor sea el factor de calidad, más aguda será la
curva de resonancia.
Monografías
