Acústica

• introducción
• ondas sonoras
• ecuación de onda para el sonido
• velocidad de las ondas sonoras
• intensidad de una onda sonora en un fluido
• sonoridad y nivel de intensidad
• timbre
• tono

INTRODUCCIÓN

Las ondas sonoras están constituidas por ondas longitudinales de compresión y rarefacción en un medio gaseoso, líquido o sólido. Se producen cuando un cuerpo, como un diapasón o una cuerda de violín, vibran y causan una perturbación en la densidad del medio. La perturbación se propaga a su través mediante la interacción de sus moléculas. La vibración de las moléculas tiene lugar a lo largo de la dirección de propagación de la onda. Sólo se propaga la perturbación; las propias moléculas sólo vibran hacia delante y hacia atrás alrededor de sus posiciones de equilibrio.

En un gas la densidad y la presión están estrechamente relacionadas. Por consiguiente, las ondas en un gas, como el aire, pueden considerarse tanto como ondas de densidad o como ondas de presión.

Las funciones de onda correspondientes a las ondas sonoras, son el desplazamiento longitudinal de las moléculas de gas respecto a su posición de equilibrio u otra función relacionada con el desplazamiento, como la variación de presión del gas.

ONDAS SONORAS

Para producir una onda sonora en un fluido, como puede ser el agua o el aire, podemos hacer uso del dispositivo que se muestra en la figura.
Si el pistón se encuentra en reposo, el fluido estará en equilibrio y tendrá densidad y presión uniformes. Supondremos que el otro extremo del tubo está muy alejado.

Supongamos ahora que el pistón de uno de los extremos del tubo se mueve hacia delante y hacia atrás con un movimiento armónico simple. Cuando el pistón se mueva hacia la derecha, la capa de fluido más próxima a él también se moverá en esa dirección. Este elemento, o capa, de fluido ejerce una fuerza sobre el elemento de fluido vecino, y se forma una región móvil de compresión, en donde los valores de densidad y presión son mayores que los correspondientes a la situación de equilibrio. Dicha región de compresión continuará viajando hacia el interior del tubo aun después de que el pistón comience a retroceder hacia la izquierda. Por otra parte, durante el movimiento de regreso del pistón se forma una región de enrarecimiento del fluido, donde ahora la densidad y la presión son más bajas que en la situación de equilibrio.

Esta región de enrarecimiento se moverá también hacia el interior del tubo, quedando emparedada ente la anterior compresión y una nueva que se forma cuando el pistón se desplaza de nuevo hacia la derecha.

Así pues un patrón de compresiones y enrarecimientos se ponen en movimiento a grandes distancias a lo largo del tubo, el fluido en sí no se traslada muy lejos.

Se puede observar que el movimiento de los elementos se repite de forma que la distancia entre dos compresiones consecutivas (o entre dos enrarecimientos consecutivos) es igual a una longitud de onda l , se puede observar también que las ondas sonoras en fluidos son longitudinales, pues el fluido se mueve hacia atrás y hacia delante a lo largo de la dirección de propagación de la onda.

Si consideramos un elemento de fluido situado en x cuando no hay onda en el fluido. Cuando la onda se propaga en la dirección x, este elemento estará desplazado una cantidad en esta dirección en el instante t.

Así una onda sonora armónica que se propaga en la dirección positiva de x vendrá descrita por:

.

    Por otra parte, si existe una onda sonora en un fluido, la presión del fluido también varía. Si suponemos que representa la presión del fluido en la posición x en el instante t. Si es la presión de equilibrio cuando no hay onda, entonces  es el cambio de presión debido a la onda. En el caso de una onda armónica, el cambio de presión también varía sinusoidalmente:

 

    Así pues, tenemos ahora dos posibles descripciones de una onda sonora (armónica) en un fluido. Una ecuación que nos expresa el desplazamiento longitudinal del fluido y otra para el cambio de presión. La conexión entre estas dos descripciones se obtendrá más adelante.

ECUACIÓN DE ONDA PARA EL SONIDO.

Vamos a obtener la ecuación de onda para una onda sonora en un fluido, estudiando cómo se mueve un elemento del fluido.

Primero vamos a encontrar una conexión entre el desplazamiento de un elemento de fluido, y el cambio de presión . El módulo de compresión adiabática B relaciona un pequeño cambio de presión con el cambio de volumen .

      o bien 

    Consideremos un elemento de fluido con forma laminar de área S que yace entre las caras situadas en x y x + dx cuando el fluido esta en equilibrio. Cuando hay una onda longitudinal en el fluido, estas caras están desplazadas en y , como se muestra en la figura . Así pues, a causa de la presencia la onda, el volumen cambia desde  hasta .El cambio de volumen es :

y el cambio relativo de volumen

En el límite cuando , este cociente se aproxima a 

. Así pues, la ecuación que nos relaciona las variaciones de presión con las variaciones de desplazamiento queda como:

Consideremos ahora la fuerza total sobre el elemento mostrado en la Figura . La componente normal de la fuerza que se ejerce sobre la cara situada en x debida al cambio de presión, es . De igual manera, la componente normal de la fuerza total ejercida sobre la cara situada en x + dx es 

. Así pues, la fuerza total sobre estos elementos es

Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton:

y por tanto

El área S se elimina al dividir por ella en ambos miembros de la ecuación. A continuación, dividimos ambos miembros por dx y como la diferencia entre las derivadas primeras dividida por dx es la derivada segunda cuando , con lo que obtenemos:

Comparando este resultado con la ecuación general de cumplen las ondas unidimensionales, observamos que las ondas sonoras cumplen la ecuación de onda, y que la velocidad del sonido en el fluido viene dada por

 

VELOCIDAD DE LAS ONDAS SONORAS

Hemos obtenido que la velocidad de las ondas de sonido, así como la velocidad de las ondas en una cuerda, depende de las propiedades del medio. En el caso de un fluido la expresión viene dada por:

Si se trata de ondas sonoras en una varilla sólida y larga, hay que sustituir el módulo de compresibilidad por el de Young U

; 

Comparando estas expresiones para la velocidad con la de la velocidad de las ondas sonoras en una cuerda, podemos ver que, en general, la velocidad de las ondas depende de:

• Una propiedad elástica del medio.
• Una propiedad inercial del medio.

En el caso de las ondas sonoras, en un gas como el aire, el módulo de compresibilidad  (g es el índice adiabático) y como , obtenemos :

 

INTENSIDAD DE UNA ONDA SONORA EN UN FLUIDO.

La intensidad de una onda sonora en un fluido puede obtenerse considerando la rapidez con que se realiza el trabajo sobre una parte del fluido por el fluido

colindante cuando la onda está presente. 

como la intensidad es la potencia por unidad de área obtenemos podemos expresarla de otra manera, teniendo en cuenta que:

; 

para una onda armónica 

y la intensidad es:

Normalmente, nos interesa la intensidad promediada sobre un ciclo de la onda. Como el promedio del seno al cuadrado en un ciclo es ½ la intensidad promedio es:

Si para describir la onda armónica se utiliza el cambio de presión D p entonces la intensidad promedio se puede expresar como función de D p_máx teniendo en cuenta que:

despejando A en función de D p_máx y sustituyendo en la expresión de la intensidad promedio se obtiene:

donde se ha tenido en cuenta que: 

SONORIDAD Y NIVEL DE INTENSIDAD

    La intensidad de un sonido, como acabamos de ver, es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda sonora. La intensidad del sonido es una cantidad objetiva, que se puede medir por medio de diversos instrumento, como por ejemplo un osciloscopio.

Por otro lado, la sonoridad es una sensación fisiológica que difiere de una persona a otra. La sonoridad es subjetiva, pero está relacionada con la intensidad del sonido.

Debido a que la sensación fisiológica de fuerza sonora no varía directamente con la intensidad, sino que su dependencia es más bien de tipo logarítmico, se utiliza una escala logarítmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora. El nivel de intensidad b se mide en decibelios (dB) que se define mediante la expresión:

donde I es la intensidad del sonido e I_o es un nivel de referencia, que se escoge como el umbral de audición: I_o =10^-12 W/m² .

En esta escala, el umbral de audición vale:

y el umbral de dolor es

Para la mayoría de los oídos normales, la mínima frecuencia audible se encuentra entre 16 Hz y 25 Hz. Por el contrario, la máxima frecuencia audible varía de un individuo a otro, dependiendo muy especialmente de la edad. Así, en los niños, el límite superior se aproxima a 24 kHz; muchas personas menores de 16 años pueden oír frecuencias superiores a los 18 kHz; en tanto que muy pocas mayores de 45 años oyen algo más de 12 kHz; a los 60 años se llega tan sólo a 5 kHz e incluso menos. La sensibilidad del oído a las altas frecuencias es especialmente susceptible al deterioro por la exposición continuada a sonidos de alta intensidad. Así, los músicos de los conjuntos rock y los jóvenes que escuchan frecuentemente música amplificada a grandes intensidades sufren frecuentemente sordera para frecuencias superiores a 10 kHz. 

Los intervalos de frecuencias e intensidades a los que es sensible el oído humano quedan representados en un diagrama como el de la figura, que representa la gráfica del área de audición de una persona de buen oído. La ordenada de la curva inferior representa el nivel de intensidad que corresponde al sonido más débil de una frecuencia dada que puede percibiese. Como observaremos en dicha curva, llamada umbral de audición, el oído presenta una sensibilidad máxima para las frecuencias comprendidas en el intervalo de 2000 a 3000 Hz, para las que el umbral de audición es de aproximadamente -5 dB. Para intensidades sonoras superiores a las señaladas por la curva superior, llamada umbral de la sensación desagradable la audición resulta incómoda e incluso dolorosa. La ordenada de la curva superior es aproximadamente constante, con un valor de alrededor de 120 dB para todas las frecuencias audibles. Como resulta obvio, a cada sonido puro (de una sola frecuencia) susceptible de ser oído le corresponde un punto representativo comprendido entre ambas curvas.

Para un sonido cuyo nivel de intensidad sea de 80 dB, el intervalo de frecuencias audibles está comprendido entre 20 y 20000 Hz, aproximadamente; pero para un nivel de intensidad de tan sólo 20 dB dicho intervalo se reduce a 230-15000 Hz, aproximadamente. Por otra parte, para una frecuencia de 1000 Hz el intervalo de niveles de intensidad audibles varía de 0 a 120 dB; en tanto que para una frecuencia de 100 Hz, dicho intervalo tan sólo está comprendido entre unos 37 dB y 120 dB.

De lo anteriormente expuesto se desprende que debemos establecer una diferencia clara entre el nivel de intensidad de un sonido, que se refiere exclusivamente a las características físicas de las ondas sonoras, y el nivel de sensación que producen las ondas sonoras cuando son percibidas por una persona.

TIMBRE

De ordinario, el sonido está compuesto por un conjunto de sonidos simples, cada uno de ellos con su frecuencia e intensidad. En estas condiciones, la onda sonora sigue siendo periódica, pero deja de ser sinusoidal.

Como ya hemos comentado en oscilaciones, el análisis matemático enseña que:

Toda función periódica puede expresarse como la superposición de funciones sinusoidales cuyas frecuencias son múltiplos de la más baja, que coincide con la frecuencia de la función periódica considerada.

Es decir, que si representa una función periódica de periodo T=2p /w podemos expresar la función mediante un desarrollo en serie (SERIE DE FOURIER) de la forma

Siendo A₀ , A₁ , A₂, .... las amplitudes, w , 2w , 3w , ...las frecuencias y j _1, j 2, j3 , ... las fases iniciales de las funciones armónicas simples componentes (algunas de las cuales podrán ser nulas) . En general el número de términos del desarrollo de Fourier necesarios para representar una función es infinito pero muchas veces las amplitudes A_i decrecen muy rápidamente, por lo que el desarrollo puede reducirse a unos pocos términos.

El término constante A₀ carece de interés en acústica, por no llevar asociado ningún cambio de presión. El término de menor frecuencia, esto es,, tiene un periodo idéntico al de la vibración compuesta y recibe el nombre de vibración fundamental o primer armónico. Los demás términos corresponden a los armónicos superiores y tienen frecuencias que son múltiplos de la fundamental.

Se llama espectro acústico de un sonido compuesto a una representación de las amplitudes o de las intensidades relativas frente a las frecuencias de las ondas sonoras simples que lo componen.

La calidad o timbre de un sonido está determinada por el número, la naturaleza y las intensidades relativas de los sonidos de frecuencia superior que acompañan a la vibración fundamental. En definitiva, el timbre de un sonido compuesto está definido por su espectro de frecuencias, y es la cualidad que nos permite distinguir entre una misma nota emitida por distintos instrumentos musicales.

TONO

Los términos tono o altura se refieren a una cualidad de la sensación sonora que nos permite distinguir ente un sonido grave o bajo de otro agudo o alto. El tono o altura de un sonido es una magnitud subjetiva y no puede medirse con instrumentos. El tono está relacionado con una magnitud objetiva, que es la frecuencia, el tono se eleva al aumentar la frecuencia.

La sensación de tonalidad es proporcional al logaritmo del estímulo, esto es, cuando la frecuencia aumenta en progresión geométrica la sensación de tonalidad tan solo lo hace en progresión aritmética.