Introducción. Tipos de ondas. Ecuación de onda. Ondas en una cuerda. Ondas armónicas. Energía del movimiento ondulatorio. Fenómenos asociados a las ondas: Reflexión. Refracción. Interferencia. Difracción. Polarización. Efecto Doppler.
MOVIMIENTO ONDULATORIO
Índice:
·
Introducción.
·
Tipos de ondas.
·
Ecuación de onda.
·
Ondas en una cuerda.
·
Ondas armónicas
·
Energía del movimiento ondulatorio.
·
Fenómenos asociados a las ondas:
o
Reflexión.
o
Refracción.
o
Interferencia.
o
Difracción.
o
Polarización.
o
Efecto Doppler.
1.-Introducción
El movimiento ondulatorio aparece en casi todos los campos
de la Física. Sin duda alguna, la noción más intuitiva que tenemos del
movimiento ondulatorio está asociada con las ondas producidas por el viento o
alguna otra perturbación sobre la superficie del agua. Oímos un foco sonoro por
medio de las ondas (ondas sonoras) que se propagan en el aire o en cualquier
otro medio material- y las vibraciones del propio foco (ejemplos: la cuerda de
una guitarra, la columna de aire en un tubo sonoro, etc. ) constituyen una onda
denominada onda estacionaria. Muchas de las propiedades de la luz se explican
satisfactoriamente por medio de una teoría ondulatoria, estando firmemente
establecido hoy día que las ondas luminosas tienen la misma naturaleza que las
radiondas, las radiaciones infrarrojas y ultravioletas, los rayos X y
la radiación gamma.
Uno de los progresos más importantes de la Física del
siglo XX ha sido el descubrimiento de que toda la materia está dotada de
propiedades ondulatorias (ondas de materia) y que, por ejemplo, un
cristal difracta del mismo modo un haz de electrones que un haz de rayos X.
En este tema vamos a centrar nuestra atención en las ondas
que se propagan en los medios deformables o medios elásticos. Tales ondas,
entre las que se encuentran las ondas sonoras ordinarias, pueden denominarse
ondas mecánicas y se originan al desplazarse alguna porción de un medio
elástico de su posición normal, iniciándose así una oscilación respecto a su
posición de equilibrio. Entonces, debido a las propiedades elásticas del medio
material, la perturbación original se transmite a las porciones de materia
vecinas, y de éstas a las siguientes, y así sucesivamente, de modo que la
perturbación se propaga por el medio, alcanzando a todas las porciones
de éste, que quedarán sometidas a movimientos análogos al del punto donde se
inició la perturbación. Obviamente, todos los puntos del medio no serán
alcanzados simultáneamente por la perturbación, ya que ésta se propaga con
una velocidad finita que depende de las propiedades (elásticas e inerciales,
como veremos más adelante) del medio, de modo que las partículas más alejadas
del origen de la perturbación comenzarán a moverse con un cierto retraso. En
definitiva, podemos decir que:la propagación de una perturbación en un medio
constituye un movimiento ondulatorio.
El movimiento ondulatorio transporta energía. Este
transporte de energía, que puede tener lugar a distancias considerables, se
realiza sin necesidad de desplazamiento de materia a gran distancia, ya
que cada elemento del medio transmite energía a los elementos vecinos.
Para que se propaguen las ondas mecánicas es necesario
tener como soporte un medio material. Sin embargo, no es necesario tal medio
para la propagación de ondas electromagnéticas (v.g., la luz), que pueden
propasarse en el vacío, aunque también se propagan en los medios materiales.
Las propiedades del medio material que determinan la velocidad de las ondas
mecánicas en él son su elasticidad y su inercia. Todos los medios
materiales (aire, agua, acero, etc.) poseen esas propiedades y en ellos pueden
propagarse las ondas mecánicas. Es la elasticidad la que da lugar a las
fuerzas restauradoras sobre cualquier elemento que se desplaza de su posición
de equilibrio; es la inercia la que determina la respuesta a esas fuerzas
restauradoras.
El término de onda, como tendremos ocasión de comprobar,
se refiere a un modelo matemático que sirve para interpretar de manera análoga
fenómenos físicos de naturaleza muy diferente. En este tema tratamos de los diferentes
tipos de ondas que pueden existir.
Haremos el estudio de las ondas cuya forma es senoidal
(ondas armónicas) y los parámetros que la caracterizan: velocidad de fase,
número de ondas, longitud de onda, período, frecuencia, fase, amplitud, etc.
2.-TIPOS DE ONDAS.
Aunque las ondas se pueden clasificar
de otras formas, las vamos a clasificar de acuerdo con propiedades físicas
notorias.
Dependiendo del tipo de medio que
necesitan para su propagación se clasifican en mecánicas ó elásticas y no mecánicas
o electromagnéticas.
Si la dirección en la cual varía la magnitud que
define la perturbación coincide con la dirección de propagación de la misma,
las ondas se llaman longitudinales, y si la dirección de
variación de la magnitud que define la perturbación es normal a la dirección de
propagación de la misma, las ondas se llaman transversales.
Algunas ondas no son exclusivamente longitudinales ni
transversales, por ejemplo las ondas sobre la superficie del agua.
También se pueden clasificar de acuerdo con el número de
dimensiones en que se propaga en:
Unidimensionales: p.e.
ondas en una cuerda.
Bidimensionales: p.e.
ondas sobre la superficie del agua.
Tridimensionales: p.e.
ondas sonoras, luminosas.
En las ondas tridimensionales se
define al frente de ondas como el lugar geométrico de los
puntos del medio que son alcanzados simultáneamente por la perturbación y que,
por consiguiente, en un instante dado, están en el mismo estado o fase de la
perturbación.
La dirección de propagación siempre es perpendicular al
frente de ondas y se representa mediante el rayo.
Atendiendo a la forma del frente de ondas, pueden
clasificarse en: 
Planas, la perturbación se propaga en
una sola dirección. Los frentes de onda son planos y los rayos rectas
paralelas.
Cilíndricas
Esféricas, la alteración se
propaga en todas direcciones a partir del punto que es la fuente de las ondas.
Los frentes de onda son superficies esféricas y los rayos líneas radiales.
Lejos de la fuente los frentes de onda tienen una pequeña curvatura y a menudo
pueden tomarse como planos.
3.-ECUACIÓN DE ONDAS.
Una perturbación unidimensional 
en
movimiento en una sola dirección (por ejemplo OX), debe ser función de x
y de t, y puede escribirse como: 
La forma o
perfil de la onda en cualquier instante se puede encontrar manteniendo el
tiempo constante. Por ejemplo en t=0:
Nos limitaremos al estudio de las ondas cuya forma no
varía mientras avanzan.
Supongamos un pulso cuya forma en el instante inicial para
un sistema de referencia S viene dada por
En t segundos habrá avanzado a lo largo del eje X
una distancia vt, pero su forma permanece inalterada.
Si introducimos un sistema de referencia S´ que viaja
junto con el pulso a la velocidad v, en este sistema, ya no es función
del tiempo y vemos un perfil estacionario, de forma que:
El perfil se ve igual para cualquier valor de t en S´como
lo era para t=0 cuando S y S´tenían el origen común (figura 2).
De la figura: 
de forma
que, en términos de las variables asociadas con el sistema S, se puede
escribir:
Lo que representa la forma general de la función de
onda unidimensional.
Si la onda estuviera viajando en la dirección negativa del
eje X, quedaría:
Si investigamos las derivadas de la función de onda,
obtendremos una ecuación diferencial que se denomina ecuación de ondas
unidimensionales, lo que permitirá predecir teóricamente la existencia
de las ondas en un sistema.
Tomemos la derivada parcial segunda de 
con
respecto a x:
siendo 
y 
Idem con respecto a t:
puesto que 
Si las comparamos:
que es la ecuación de ondas en
una dimensión.
Por ser una ecuación lineal, es evidente que si Y1 y Y2 son
soluciones de la ecuación de ondas, también lo será Y1
+ Y2, lo que constituye el principio de
superposición.
Podría demostrarse que una onda tridimensional
satisface una ecuación de onda dada por:
Si introducimos el operador laplaciano:
Nos queda:
4.-ONDAS EN UNA CUERDA.-
La segunda ley de Newton predice que pueden aparecer ondas
en un medio en que existe una fuerza restauradora elástica lineal. 
Consideremos una cuerda tensa en sus extremos y que se desplaza de su
posición de equilibrio debido a una onda. Tomemos un elemento diferencial de la
misma.
Se supone que el efecto de la onda es lo suficientemente
pequeño como para suponer que la tensión T es uniforme, 
,
y además que es lo suficientemente grande como para despreciar el peso del
elemento de cuerda.
El equilibrio de fuerzas verticales que actúan sobre el
elemento exige:
Si los ángulos son pequeños 
y como
donde podemos hacer la siguiente
aproximación si el elemento es infinitesimal:
y por lo
tanto : 
Si la densidad lineal de masa de la cuerda es 
y
como 
tendremos
que 
y
por lo tanto
y ordenando:
Comparando
con la ecuación general de ondas, la velocidad de una onda en una cuerda es:
5.-ONDAS ARMÓNICAS.-
La forma más simple del perfil de una onda es del tipo
seno o coseno, que se conocen como ondas senoidales, ondas armónicas simples o
como ondas armónicas. Es importante su estudio porque según el desarrollo en
serie de Fourier cualquier onda aunque no fuera senoidal podría sintetizarse
por superposición de ondas armónicas.
El perfil de la función simple es
siendo K es el número de ondas y A la amplitud
de la onda.
Para
transformarla en la función de una onda progresiva, reemplazamos x por x-vt
.
.
Manteniendo fijas x o t, resulta una perturbación senoidal de
forma que la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo.
El periodo espacial se denomina longitud
de onda l
Se debe cumplir que
y en el caso de las ondas armónicas
por lo que 
y
.
La onda es repetitiva en el tiempo. El período temporal t, es el tiempo que tarda una onda en pasar por un
observador estacionario.
por lo tanto 
y 
,
finalmente
t=l/v
El período es el número de unidades de tiempo por onda, su
inverso es la frecuencia n o el número de ondas por unidad de tiempo: n=1/t .
Otras cantidades usadas son la frecuencia angular w; 
y el número de ondas por unidad de longitud : 
En función de los parámetros definidos la función de onda
armónica admite variadas formulaciones algunas de las cuales son:
6.-ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO.-
Un medio en el que se propaga un movimiento
ondulatorio posee energía, que es en parte cinética y en parte potencial.
Observando la figura, en P toda la energía es potencial, en Q
toda la energía es cinética, y en R parte es potencial y parte cinética.
La energía cinética del elemento de masa 
(r es la densidad lineal de masa)
situado en Q será:
Ahora bien como todos los elementos de masa tienen la
misma energía
La potencia total transferida será 
; 
donde hemos tenido en cuenta que 
,
podemos escribir, por tanto,
donde 
es
la impedancia de la onda.
Dicha magnitud caracteriza las propiedades ondulatorias
del medio. Como Z es constante la potencia es proporcional a 
y 
.
En el caso de ondas tridimensionales, conviene, introducir
una nueva magnitud, la intensidad I de la onda, definida como
la potencia que pasa a través de la unidad de superficie normal a la dirección
de propagación. Es por tanto, la energía que pasa por unidad de tiempo y unidad de superficie. Sus
unidades en el S.I. son wm-2=Js-1m-2.
(Para
una onda esférica)
Si
consideramos los dos frentes de onda esféricos de la figura, y suponiendo que
no existe absorción de energía, la cantidad de esta, que atraviesa la
superficie de radio r1 tiene que ser igual a la que atraviesa la de
radio r2 , por tanto,
Es decir, la intensidad disminuye proporcionalmente al
cuadrado de la distancia al foco, mientras que la amplitud de las oscilaciones
de las partículas disminuye proporcionalmente a la distancia al mismo.
En realidad la disminución de la intensidad y la densidad
es mayor que las expresadas por las relaciones anteriores debido a la absorción de energía debido a rozamientos, etc. Piénsese que
en una onda plana, en donde 
,
la intensidad y la amplitud deberían permanecer constantes, lo que está en
contradicción con la experiencia. Por lo tanto en el caso de ondas esféricas a
la disminución de la intensidad por la distancia habrá que añadir la
disminución por absorción.
Se puede definir la absorción de un movimiento
ondulatorio, como la disminución en la intensidad debido a la naturaleza y
características físicas del medio propagador.
En el caso de ondas planas que se propaga según el eje OX,
se ha comprobado experimentalmente que la disminución relativa de intensidad,
viene dada por: 
,
donde g se llama coeficiente de
absorción y depende del medio y de la frecuencia de la onda.
Integrando:
La intensidad disminuye exponencialmente con tanta mayor
rapidez cuanto mayor sea g.
7.-FENÓMENOS ASOCIADOS A LAS ONDAS.
7.1.-Reflexión.
Se entiende por reflexión el cambio
en la dirección de propagación que experimenta una onda al encontrarse con
un obstáculo adecuado a su naturaleza y de tamaño mucho mayor que su l;
en esta caso la onda se encuentra siempre en el mismo medio.
La reflexión no es un fenómeno
exclusivo de las ondas, las partículas también lo presentan. Un caso
interesante, en la reflexión, es cuando el obstáculo forma un ángulo distinto
de 90º con la dirección de la onda, ya que entonces se observa que la onda
incidente cambia su dirección de propagación al chocar con el obstáculo
(onda reflejada).
Como ejemplo típico de ondas tridimensionales se puede
citar el de la luz,- cuando se utiliza como obstáculo un espejo plano o
esférico. También son frecuentes los fenómenos de reflexión de sonidos en
edificios, salas, montañas, etc.
7.2.-Refracción
Se entiende por refracción al conjunto de fenómenos o de cambios que
experimenta una onda al pasar de un medio a otro de propiedades diferentes.
Como consecuencia de tener los medios propiedades
diferentes o ser de distinta estructura, la velocidad de propagación de la
onda es distinta en cada uno de ellos. Este cambio de velocidad se traduce
en los casos bi y tridimensionales en una variación de la dirección de
propagación de la onda.
La onda retractada siempre se encuentra en
fase con la incidente. También se resalta que la energía de la onda transmitida
es menor que la transportada por la onda incidente.
7.3.-Interferencias.
Es el fenómeno que se presenta cuando en
una región del espacio, se encuentran, bajo ciertas condiciones, dos o más
ondas. Físicamente se caracteriza porque en dicha región existe una distribución
de la intensidad de la onda resultante, es decir, varía de unos puntos a
otros: no es uniforme ni igual a la suma de las intensidades de las ondas que
se superponen. Esta distribución de intensidades recibe el nombre de
figuras de interferencia. La forma que adoptan depende de la naturaleza de las
ondas.
El fenómeno se puede visualizar en una cubeta de ondas, colocando en el
vibrador dos pequeñas esferitas, en vez de la varilla de madera o acero, que
hacen de focos para las dos ondas superficiales que se van a superponer.
En el caso del sonido se puede observar
el fenómeno montando dos diapasones (fuentes de sonidos armónicos o «puros») en
los extremos de una pequeña varilla horizontal, que pueda girar alrededor de un
eje vertical
Las ondas electromagnéticas también
presentan este fenómeno; en este caso, las figuras de interferencia consisten
en una distribución espacial de intensidades luminosas; éstas toman la forma de
franjas o de círculos, alternativamente claros y obscuros, dependiendo del
proceso utilizado para obtenerlas.
Es obvio que no siempre que en una región del espacio se
encuentran haces luminosos procedentes de dos fuentes de luz, se forman figuras
de interferencia: en una habitación iluminada por dos o más lámparas la
intensidad luminosa está distribuida más o menos uniforme. Vamos a
enumerar las condiciones que se deben cumplir , para que existan
interferencias estables:
a) Proceder de focos que sean coherentes, es
decir, que las fuentes de luz tengan una diferencia de fase en la emisión que
sea constante en el tiempo. Normalmente las fuentes ordinarias de luz no son
coherentes, ya que aunque están compuestas, cada una de ellas, por la misma
clase de átomos (lo cual hace que la luz emitida sea de la misma frecuencia),
no efectúan las oscilaciones (transiciones de los electrones a niveles menos
energéticos) en fase, es decir al mismo tiempo. La forma normal de superar este
problema, con fuentes ordinarias, es utilizar una única fuente para obtener,
mediante dos pequeñas aberturas por ejemplo, dos fuentes coherentes
secundarias; una solución mejor es utilizar un láser como fuente de luz.
b) Ser de frecuencia iguales o muy próximas, ya que
diferencias apreciables en la frecuencia dan lugar a diferencias de fase que
varían con el tiempo y por lo tanto a figuras no estables.
c) Que las amplitudes sean parecidas, para que
las figuras de interferencia estén muy pronunciadas.
Las interferencias son un fenómeno exclusivo de las
perturbaciones de naturaleza ondulatoria.
Vamos a analizar cuantitativamente el fenómeno de interferencias, para
dos ondas cualesquiera (superficiales en el agua, sonoras, o
electromagnéticas). Sean dos focos emisores de ondas F1, y F2
que se encuentran separados una distancia a. A una distancia d
de los mismos se encuentra un plano (o una línea) en el que se quieren estudiar
las figuras de interferencias debidas a la superposición de las ondas
procedentes de las fuentes. Las ondas emitidas se suponen armónicas, y de la
misma amplitud y frecuencia. Calculemos el valor de la perturbación resultante
en cualquier punto del plano y la distribución de intensidades en el mismo.
Supongamos que las ondas emitidas por cada uno de los
focos son:
r1, y r2, son las distancias
respectivas a un punto genérico P del plano; e1, y e2,
son las fases iniciales de cada una de las ondas. En general, e1, y
e2, variarán con el tiempo de forma totalmente aleatoria (sobre todo
en el caso de fuentes luminosas); si e1-e2 es
constante, independientemente de su valor, las ondas se denominan coherentes.
Para simplificar los cálculos, y sin merma del contenido físico,
supondremos que la fase inicial de cada onda es nula, por lo tanto las fuentes
son coherentes,. Téngase en cuenta que si e1-e2,
no es constante, no sería posible llegar a los resultados que obtendremos en
nuestro cálculo.
Aunque las ondas que emiten los focos son esféricas,
podemos considerarlas, en primera aproximación, como planas si d > >
a; y las figuras de interferencia como franjas, si nos limitamos a una
pequeña región del plano, en las proximidades del punto 0.
La perturbación resultante en P será:
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