MOVIMIENTO ONDULATORIO

índice:

•        Introducción.

•        Tipos de ondas.

•        Ecuación de onda.

•        Ondas en una cuerda.

•        Ondas armónicas

•        Energía del movimiento ondulatorio.

•        Fenómenos asociados a las ondas:

o      Reflexión.

o      Refracción.

o      Interferencia.

o      Difracción.

o      Polarización.

o      Efecto Doppler.

1.-Introducción

El movimiento ondulatorio aparece en casi todos los campos de la Física. Sin duda alguna, la noción más intuitiva que tenemos del movimiento ondulatorio está asociada con las ondas producidas por el viento o alguna otra perturbación sobre la superficie del agua. Oímos un foco sonoro por medio de las ondas (ondas sonoras) que se propagan en el aire o en cualquier otro medio material- y las vibraciones del propio foco (ejemplos: la cuerda de una guitarra, la columna de aire en un tubo sonoro, etc. ) constituyen una onda denominada onda estacionaria. Muchas de las propiedades de la luz se explican satisfactoriamente por medio de una teoría ondulatoria, estando firmemente establecido hoy día que las ondas luminosas tienen la misma naturaleza que las radiondas, las radiaciones infrarrojas y ultravioletas, los rayos X y la radiación gamma.

Uno de los progresos más importantes de la Física del siglo XX ha sido el descubrimiento de que toda la materia está dotada de propiedades ondulatorias (ondas de materia) y que, por ejemplo, un cristal difracta del mismo modo un haz de electrones que un haz de rayos X.

En este tema vamos a centrar nuestra atención en las ondas que se propagan en los medios deformables o medios elásticos. Tales ondas, entre las que se encuentran las ondas sonoras ordinarias, pueden denominarse ondas mecánicas y se originan al desplazarse alguna porción de un medio elástico de su posición normal, iniciándose así una oscilación respecto a su posición de equilibrio. Entonces, debido a las propiedades elásticas del medio material, la perturbación original se transmite a las porciones de materia vecinas, y de éstas a las siguientes, y así sucesivamente, de modo que la perturbación se propaga por el medio, alcanzando a todas las porciones de éste, que quedarán sometidas a movimientos análogos al del punto donde se inició la perturbación. Obviamente, todos los puntos del medio no serán alcanzados simultáneamente por la perturbación, ya que ésta se propaga con una velocidad finita que depende de las propiedades (elásticas e inerciales, como veremos más adelante) del medio, de modo que las partículas más alejadas del origen de la perturbación comenzarán a moverse con un cierto retraso. En definitiva, podemos decir que:la propagación de una perturbación en un medio constituye un movimiento ondulatorio.

El movimiento ondulatorio transporta energía. Este transporte de energía, que puede tener lugar a distancias considerables, se realiza sin necesidad de desplazamiento de materia a gran distancia, ya que cada elemento del medio transmite energía a los elementos vecinos.

Para que se propaguen las ondas mecánicas es necesario tener como soporte un medio material. Sin embargo, no es necesario tal medio para la propagación de ondas electromagnéticas (v.g., la luz), que pueden propasarse en el vacío, aunque también se propagan en los medios materiales. Las propiedades del medio material que determinan la velocidad de las ondas mecánicas en él son su elasticidad y su inercia. Todos los medios materiales (aire, agua, acero, etc.) poseen esas propiedades y en ellos pueden propagarse las ondas mecánicas. Es la elasticidad la que da lugar a las fuerzas restauradoras sobre cualquier elemento que se desplaza de su posición de equilibrio; es la inercia la que determina la respuesta a esas fuerzas restauradoras.

El término de onda, como tendremos ocasión de comprobar, se refiere a un modelo matemático que sirve para interpretar de manera análoga fenómenos físicos de naturaleza muy diferente. En este tema tratamos de los diferentes tipos de ondas que pueden existir.

Haremos el estudio de las ondas cuya forma es senoidal (ondas armónicas) y los parámetros que la caracterizan: velocidad de fase, número de ondas, longitud de onda, período, frecuencia, fase, amplitud, etc.

2.-TIPOS DE ONDAS.

    Aunque las ondas se pueden clasificar de otras formas, las vamos a clasificar de acuerdo con propiedades físicas notorias.

    Dependiendo del tipo de medio que necesitan para su propagación se clasifican en mecánicas ó elásticas y no mecánicas o electromagnéticas.

    Si la dirección en la cual varía la magnitud que define la perturbación coincide con la dirección de propagación de la misma, las ondas se llaman longitudinales, y si la dirección de variación de la magnitud que define la perturbación es normal a la dirección de propagación de la misma, las ondas se llaman transversales.

Algunas ondas no son exclusivamente longitudinales ni transversales, por ejemplo las ondas sobre la superficie del agua.

También se pueden clasificar de acuerdo con el número de dimensiones en que se propaga en:

Unidimensionales: p.e. ondas en una cuerda.

Bidimensionales: p.e. ondas sobre la superficie del agua.

Tridimensionales: p.e. ondas sonoras, luminosas.

En las ondas tridimensionales se define al frente de ondas como el lugar geométrico de los puntos del medio que son alcanzados simultáneamente por la perturbación y que, por consiguiente, en un instante dado, están en el mismo estado o fase de la perturbación.

La dirección de propagación siempre es perpendicular al frente de ondas y se representa mediante el rayo.

Atendiendo a la forma del frente de ondas, pueden clasificarse en: 

Planas, la perturbación se propaga en una sola dirección. Los frentes de onda son planos y los rayos rectas paralelas.

Cilíndricas

Esféricas, la alteración se propaga en todas direcciones a partir del punto que es la fuente de las ondas. Los frentes de onda son superficies esféricas y los rayos líneas radiales. Lejos de la fuente los frentes de onda tienen una pequeña curvatura y a menudo pueden tomarse como planos.

3.-ECUACIóN DE ONDAS.

    Una perturbación unidimensional en movimiento en una sola dirección (por ejemplo OX), debe ser función de x y de t, y puede escribirse como: 

    La forma o perfil de la onda en cualquier instante se puede encontrar manteniendo el tiempo constante. Por ejemplo en t=0:

Nos limitaremos al estudio de las ondas cuya forma no varía mientras avanzan.

Supongamos un pulso cuya forma en el instante inicial para un sistema de referencia S viene dada por

En t segundos habrá avanzado a lo largo del eje X una distancia vt, pero su forma permanece inalterada.

Si introducimos un sistema de referencia S´ que viaja junto con el pulso a la velocidad v, en este sistema, ya no es función del tiempo y vemos un perfil estacionario, de forma que:

El perfil se ve igual para cualquier valor de t en S´como lo era para t=0 cuando S y S´tenían el origen común (figura 2).

De la figura: de forma que, en términos de las variables asociadas con el sistema S, se puede escribir:

Lo que representa la forma general de la función de onda unidimensional.

Si la onda estuviera viajando en la dirección negativa del eje X, quedaría:

Si investigamos las derivadas de la función de onda, obtendremos una ecuación diferencial que se denomina ecuación de ondas unidimensionales, lo que permitirá predecir teóricamente la existencia de las ondas en un sistema.

Tomemos la derivada parcial segunda de con respecto a x:

siendo   y 

Idem con respecto a t:

  puesto que 

Si las comparamos:

que es la ecuación de ondas en una dimensión.

Por ser una ecuación lineal, es evidente que si  Y_{1 y}  Y_{2 son soluciones de la ecuación de ondas, también lo será} Y_{1 +} Y_{2, lo que constituye el principio de superposición.}

_{Podría demostrarse que una onda tridimensional satisface una ecuación de onda dada por:}

Si introducimos el operador laplaciano:

Nos queda:

4.-ONDAS EN UNA CUERDA.-

La segunda ley de Newton predice que pueden aparecer ondas en un medio en que existe una fuerza restauradora elástica lineal. 
Consideremos una cuerda tensa en sus extremos y que se desplaza de su posición de equilibrio debido a una onda. Tomemos un elemento diferencial de la misma.

Se supone que el efecto de la onda es lo suficientemente pequeño como para suponer que la tensión T es uniforme, , y además que es lo suficientemente grande como para despreciar el peso del elemento de cuerda.

El equilibrio de fuerzas verticales que actúan sobre el elemento exige:

Si los ángulos son pequeños 

y como

donde podemos hacer la siguiente aproximación si el elemento es infinitesimal:

y por lo tanto : 

Si la densidad lineal de masa de la cuerda es y como tendremos que y por lo tanto y ordenando:

 Comparando con la ecuación general de ondas, la velocidad de una onda en una cuerda es:

5.-ONDAS ARMóNICAS.-

La forma más simple del perfil de una onda es del tipo seno o coseno, que se conocen como ondas senoidales, ondas armónicas simples o como ondas armónicas. Es importante su estudio porque según el desarrollo en serie de Fourier cualquier onda aunque no fuera senoidal podría sintetizarse por superposición de ondas armónicas.

El perfil de la función simple es

siendo K es el número de ondas y A la amplitud de la onda.

Para transformarla en la función de una onda progresiva, reemplazamos x por x-vt .

.

    Manteniendo fijas x o t, resulta una perturbación senoidal de forma que la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo.

El periodo espacial se denomina longitud de onda l

Se debe cumplir que y en el caso de las ondas armónicas

por lo que y

.

    La onda es repetitiva en el tiempo. El período temporal t, es el tiempo que tarda una onda en pasar por un observador estacionario.

por lo tanto   y ,  finalmente

t=l/v

El período es el número de unidades de tiempo por onda, su inverso es la frecuencia n o el número de ondas por unidad de tiempo:  n=1/t .

Otras cantidades usadas son la frecuencia angular w;  y el número de ondas por unidad de longitud : 

En función de los parámetros definidos la función de onda armónica admite variadas formulaciones algunas de las cuales son:

6.-ENERGíA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO.-

Un medio en el que se propaga un movimiento ondulatorio posee energía, que es en parte cinética y en parte potencial.

   Observando la figura, en P toda la energía es potencial, en Q toda la energía es cinética, y en R parte es potencial y parte cinética.

La energía cinética del elemento de masa (r es la densidad lineal de masa) situado en Q será:

Ahora bien como todos los elementos de masa tienen la misma energía

La potencia total transferida será 

; 

donde hemos tenido en cuenta que , podemos escribir, por tanto,

donde es la impedancia de la onda.

Dicha magnitud caracteriza las propiedades ondulatorias del medio. Como Z es constante la potencia es proporcional a y .

En el caso de ondas tridimensionales, conviene, introducir una nueva magnitud, la intensidad I de la onda, definida como la potencia que pasa a través de la unidad de superficie normal a la dirección de propagación. Es por tanto, la energía que pasa por unidad de tiempo y unidad de superficie. Sus unidades en el S.I. son wm^-2=Js^-1m^-2.

(Para una onda esférica)

    Si consideramos los dos frentes de onda esféricos de la figura, y suponiendo que no existe absorción de energía, la cantidad de esta, que atraviesa la superficie de radio r₁ tiene que ser igual a la que atraviesa la de radio r₂ , por tanto,

Es decir, la intensidad disminuye proporcionalmente al cuadrado de la distancia al foco, mientras que la amplitud de las oscilaciones de las partículas disminuye proporcionalmente a la distancia al mismo.

En realidad la disminución de la intensidad y la densidad es mayor que las expresadas por las relaciones anteriores debido a la absorción de energía debido a rozamientos, etc. Piénsese que en una onda plana, en donde , la intensidad y la amplitud deberían permanecer constantes, lo que está en contradicción con la experiencia. Por lo tanto en el caso de ondas esféricas a la disminución de la intensidad por la distancia habrá que añadir la disminución por absorción.

Se puede definir la absorción de un movimiento ondulatorio, como la disminución en la intensidad debido a la naturaleza y características físicas del medio propagador.

En el caso de ondas planas que se propaga según el eje OX, se ha comprobado experimentalmente que la disminución relativa de intensidad, viene dada por: , donde g se llama coeficiente de absorción y depende del medio y de la frecuencia de la onda.

Integrando:

La intensidad disminuye exponencialmente con tanta mayor rapidez cuanto mayor sea g.

7.-FENóMENOS ASOCIADOS A LAS ONDAS.

7.1.-Reflexión.

    Se entiende por reflexión el cambio en la dirección de propagación que experimenta una onda al encontrarse con un obstáculo adecuado a su naturaleza y de tamaño mucho mayor que su l;  en esta caso la onda se encuentra siempre en el mismo medio.
    La reflexión no es un fenómeno exclusivo de las ondas, las partículas también lo presentan. Un caso interesante, en la reflexión, es cuando el obstáculo forma un ángulo distinto de 90º con la dirección de la onda, ya que entonces se observa que la onda incidente cambia su dirección de propagación al chocar con el obstáculo (onda reflejada).

Como ejemplo típico de ondas tridimensionales se puede citar el de la luz,- cuando se utiliza como obstáculo un espejo plano o esférico. También son frecuentes los fenómenos de reflexión de sonidos en edificios, salas, montañas, etc.

7.2.-Refracción    Se entiende por refracción al conjunto de fenómenos o de cambios que experimenta una onda al pasar de un medio a otro de propiedades diferentes.

Como consecuencia de tener los medios propiedades diferentes o ser de distinta estructura, la velocidad de propagación de la onda es distinta en cada uno de ellos. Este cambio de velocidad se traduce en los casos bi y tridimensionales en una variación de la dirección de propagación de la onda.

 La onda retractada siempre se encuentra en fase con la incidente. También se resalta que la energía de la onda transmitida es menor que la transportada por la onda incidente.
 

7.3.-Interferencias.

    Es el fenómeno que se presenta cuando en una región del espacio, se encuentran, bajo ciertas condiciones, dos o más ondas. Físicamente se caracteriza porque en dicha región existe una distribución de la intensidad de la onda resultante, es decir, varía de unos puntos a otros: no es uniforme ni igual a la suma de las intensidades de las ondas que se superponen. Esta distribución de intensidades recibe el nombre de figuras de interferencia. La forma que adoptan depende de la naturaleza de las ondas.

    El fenómeno se puede visualizar en una cubeta de ondas, colocando en el vibrador dos pequeñas esferitas, en vez de la varilla de madera o acero, que hacen de focos para las dos ondas superficiales que se van a superponer.

    En el caso del sonido se puede observar el fenómeno montando dos diapasones (fuentes de sonidos armónicos o puros) en los extremos de una pequeña varilla horizontal, que pueda girar alrededor de un eje vertical

    Las ondas electromagnéticas también presentan este fenómeno; en este caso, las figuras de interferencia consisten en una distribución espacial de intensidades luminosas; éstas toman la forma de franjas o de círculos, alternativamente claros y obscuros, dependiendo del proceso utilizado para obtenerlas.

Es obvio que no siempre que en una región del espacio se encuentran haces luminosos procedentes de dos fuentes de luz, se forman figuras de interferencia: en una habitación iluminada por dos o más lámparas la intensidad luminosa está distribuida más o menos uniforme. Vamos a enumerar  las condiciones que se deben cumplir , para que existan interferencias estables:

a) Proceder de focos que sean coherentes, es decir, que las fuentes de luz tengan una diferencia de fase en la emisión que sea constante en el tiempo. Normalmente las fuentes ordinarias de luz no son coherentes, ya que aunque están compuestas, cada una de ellas, por la misma clase de átomos (lo cual hace que la luz emitida sea de la misma frecuencia), no efectúan las oscilaciones (transiciones de los electrones a niveles menos energéticos) en fase, es decir al mismo tiempo. La forma normal de superar este problema, con fuentes ordinarias, es utilizar una única fuente para obtener, mediante dos pequeñas aberturas por ejemplo, dos fuentes coherentes secundarias; una solución mejor es utilizar un láser como fuente de luz.

b) Ser de frecuencia iguales o muy próximas, ya que diferencias apreciables en la frecuencia dan lugar a diferencias de fase que varían con el tiempo y por lo tanto a figuras no estables.

c) Que las amplitudes sean parecidas, para que las figuras de interferencia estén muy pronunciadas.

Las interferencias son un fenómeno exclusivo de las perturbaciones de naturaleza ondulatoria. 

    Vamos a analizar cuantitativamente el fenómeno de interferencias, para dos ondas cualesquiera (superficiales en el agua, sonoras, o electromagnéticas). Sean dos focos emisores de ondas F₁, y F₂ que se encuentran separados una distancia a. A una distancia d de los mismos se encuentra un plano (o una línea) en el que se quieren estudiar las figuras de interferencias debidas a la superposición de las ondas procedentes de las fuentes. Las ondas emitidas se suponen armónicas, y de la misma amplitud y frecuencia. Calculemos el valor de la perturbación resultante en cualquier punto del plano y la distribución de intensidades en el mismo.

Supongamos que las ondas emitidas por cada uno de los focos son:

r₁, y r₂, son las distancias respectivas a un punto genérico P del plano; e₁, y e₂, son las fases iniciales de cada una de las ondas. En general, e₁, y e₂, variarán con el tiempo de forma totalmente aleatoria (sobre todo en el caso de fuentes luminosas); si e₁-e₂ es constante, independientemente de su valor, las ondas se denominan coherentes. Para simplificar los cálculos, y sin merma del contenido físico, supondremos que la fase inicial de cada onda es nula, por lo tanto las fuentes son coherentes,. Téngase en cuenta que si e₁-e₂, no es constante, no sería posible llegar a los resultados que obtendremos en nuestro cálculo.

Aunque las ondas que emiten los focos son esféricas, podemos considerarlas, en primera aproximación, como planas si d > > a; y las figuras de interferencia como franjas, si nos limitamos a una pequeña región del plano, en las proximidades del punto 0.

La perturbación resultante en P será:

teniendo en cuenta que 

La onda resultante tiene la misma frecuencia que las ondas superpuestas, pero su amplitud es:

Como la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda, por lo tanto:

Observamos que el valor de la intensidad en el plano es diferente para cada punto P. Existe, por lo tanto, una distribución espacial de intensidades; puesto que r₁- r₂, toma un valor diferente para cada punto. Para alguno de ellos I será máxima:

para otros I será nula:

En el plano, para el caso de la luz, se observarán unas zonas brillantes y obscuras, que son las denominadas franjas de interferencia.

Ondas estacionarias.

Un caso particular de interferencias, fáciles de tratar matemáticamente y de gran importancia son las que se producen al superponerse dos ondas armónicas unidimensionales de la misma amplitud y frecuencia, que se propagan en la misma dirección, pero en sentidos contrarios. Sean estas ondas:

La perturbación compuesta es entonces:

Teniendo en cuenta que 

tendremos que es la ecuación de una onda en el espacio ya que claramente no es una función de la forma .

El patrón de la onda no se mueve pero sí lo hacen los elementos de la cuerda si pensamos en las ondas en una cuerda fija por un extremo a la pared que se agita por el otro extremo.

En cualquier punto cada elemento particular ejecuta un M.A.S con amplitud igual a . La amplitud del M.A.S toma su valor máximo, , en posiciones donde , o etc. Estas posiciones de máxima amplitud se llaman antinodos o vientres. Como , las posiciones de los antinodos están dadas por:

Los antinodos están separados por media longitud de onda.

Dado que para valores de x tales los elementos situados en estas posiciones no se mueven. Estas posiciones se llaman nodos y están dadas por:

7.-4.-Difracción

    Es el fenómeno que se presenta siempre que una onda se encuentra con un obstáculo, o una abertura, de dimensiones comparables a su longitud de onda. El obstáculo puede ser una casa, un poste, un disco, una varilla, etc.; la abertura, un pequeño orificio o rendija en una pantalla, las plumas de un ave, etc. En todos los casos se bloquea el paso de una parte del frente de onda.

7.-5.-Polarización.

Como los dos anteriores es un fenómeno específico de las ondas, sea cual fuere su dimensión, pero a diferencia de aquéllos sólo lo presentan las ondas transversales. El sonido, que como veremos, está constituidos por ondas longitudinales, no lo presenta. Es el fenómeno que permite decidir si una onda es transversal o longitudinal.

En las transversales, la propiedad física que se propaga (desplazamiento, campos , etc.) lo hace en una dirección que es perpendicular a la de la onda. Ahora bien, direcciones que cumplan esta condición hay infinitas: todas las que se encuentren en un plano perpendicular a la dirección de propagación de la onda. En general, la dirección de variación de la magnitud física o del campo, siendo perpendicular, variará al azar de unos puntos del medio a otros, cuando esto ocurre se dice que la onda transversal no está polarizada.

7.-6 Efecto Doppler.

El cambio de frecuencia debido al movimiento de la fuente (o del receptor) se llama efecto Doppler (en honor al científico austríaco Christian Doppler, 1803-1853). Cuanto mayor sea la velocidad de la fuente mayor será el efecto Doppler.

    El efecto Doppler se hace patente cuando un auto pasa junto a nosotros haciendo sonar la bocina. Cuando se acerca, el tono del sonido es más alto que lo normal (es decir, más alto en la escala musical). Esto se debe a que las crestas de las ondas sonoras llegan hasta nosotros con mayor frecuencia. Y cuando el auto se aleja, el sonido se hace más grave porque las crestas de las ondas llegan con menor frecuencia.

    La policía usa el efecto Doppler de las ondas de radar para determinar la rapidez de un auto. Las ondas de radar son ondas electromagnéticas de menor frecuencia que las ondas de luz y de mayor frecuencia que las ondas de radio. El sistema de radar de los autos de la policía las hace rebotar sobre un auto en movimiento y un ordenador, calcula la rapidez del auto respecto a la unidad de radar comparando la frecuencia de las ondas emitidas por la antena con la frecuencia de las ondas reflejadas

    La luz también presenta el efecto Doppler. Cuando una fuente de luz se aproxima aumenta la frecuencia medida, y cuando se aleja disminuye su frecuencia. El aumento en la frecuencia se llama desplazamiento hacia el azul porque la frecuencia se desplaza hacia la región de altas frecuencias del espectro de la luz visible, que corresponde al color azul. La disminución de la frecuencia se llama desplazamiento hacia el rojo porque la frecuencia se desplaza hacia el extremo de bajas frecuencias del espectro, correspondiente al color rojo. Por ejemplo, la luz de las galaxias muestra un desplazamiento hacia el rojo. Midiendo el desplazamiento los astrónomos pueden calcular la rapidez con la que se alejan de nosotros.

b)Análisis Cuantitativo. Supongamos que tanto la fuente sonora como el observador se encuentran en movimiento respecto al medio en el que se propaga el sonido, con velocidades respectivas y , en la dirección de la recta que los une. Puesto que estas velocidades pueden tener el mismo u, opuesto sentido, y el observador puede estar situado delante o detrás de la fuente, resulta oportuno establecer un convenio de signos. Tomaremos como sentido positivo de y , el que va desde la posición de la fuente (F) hacia el observador (O); que corresponde a la dirección en que avanzan los frentes de onda dirigidos hacia el observador, de modo que la velocidad de propagación de la onda, V, es siempre positiva.

En la figura un observador 0 se encuentra inicialmente a una distancia l a la derecha de una fuente sonora F y tanto uno como otra se mueven de izquierda a derecha. De acuerdo con nuestro convenio de signos, tanto.como . son positivos.

En t=0 la fuente emite una onda. Si  t es el tiempo que marca el reloj cuando llega al observador, se cumplirá:

hemos tomado para la velocidad de la onda V. (El hecho de que la onda sea engendrada por una fuente móvil no afecta a su velocidad de propagación en el medio. La velocidad V viene determinada tan sólo por las propiedades del medio material en el que se propagan las ondas, siendo independiente del estado de movimiento de la fuente que las produjo. Esto es, las ondas se "olvidan" de la fuente tan pronto como la abandonan.)

en t=t emite una segunda onda, sea t' el tiempo que marca el reloj al llegar al observador, se tendrá:

El intervalo de tiempo, medido por el observador entre dos ondas emitidas por la fuente en F y F' es:

Recordando que la frecuencia es la inversa del periodo se tendrá por tanto: