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Vectores

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Magnitudes escalares y vectoriales. Vector. Igualdad de vectores. Suma de vectores. Diferencia de vectores. Componentes cartesianas de un vector. Vectores en el plano. Vectores en el espacio.

Agregado: 23 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 1666 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografías > Física >
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    Vectores

    El estudio de los vectores es importante en cualquier curso de física. Muchas de las magnitudes físicas tienen las propiedades de los vectores y algunas de las relaciones entre esas magnitudes  ( leyes de la física) adoptan la forma más simple si se expresan en forma vectorial.

    En los siguientes apartados repasaremos los conceptos y aplicaciones más relevantes del análisis vectorial de cara a un primer curso universitario de física.

    1)       Magnitudes escalares y vectoriales.

    Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas  en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

    Un ejemplo de magnitud escalar es la masa. Para determinar la masa de una partícula es suficiente con dar el valor y la unidad en que se mide (Ejemplo: 5 Kg).

    Un ejemplo de magnitud vectorial es la fuerza. Para determinar la fuerza que actúa sobre una partícula además de dar el valor y la unidad es necesario también dar la dirección y el sentido de la misma.

    (Ejemplo se ha ejercido una fuerza de 5 Newton en la dirección vertical y sentido ascendente)

    2)       Vector.

    Una magnitud vectorial se suele representar mediante un vector. Desde el punto de vista geométrico un vector es un segmento orientado cuya longitud es igual o proporcional al valor de la magnitud, y su dirección y sentido coincide con la de la misma.  Así una fuerza  de 4 N en la dirección EO, sentido hacia el O se representa por una flecha cuya longitud (módulo) es de 4  orientada en la dirección y sentido indicado.


    Para ello tenemos previamente que definir la unidad de vector (vector unitario) en ese sentido:  

    En la figura se representa una fuerza de módulo 4 unidades de dirección Este Oeste y sentido hacia el oeste.

    Notación: Cuando nos refiramos a un vector  pondremos la flechita sobre el símbolo. Si nos referimos a su módulo lo pondremos sin flechita o con el símbolo de vector entre barras.

    Así en el caso del ejemplo F=4 o ú  ú.=4

    3)       Igualdad de vectores. Suma de vectores.

    Dos vectores son iguales si lo son sus módulos sus direcciones y sus sentidos.


            

            

           


    En física hay muchas circustancias en las que hay que sumar magnitudes vectoriales. Por ejemplo cuando dos fuerzas  y actúan sobre un cuerpo en el mismo punto O.

     

    El sistema de dos fuerzas  y es equivalente a una única fuerza  actuando sobre el mismo punto.  Para conocer el módulo dirección y sentido de dicha fuerza tenemos que construir un paralelogramo a partir de los vectores que se suman.

    = y

    Más adelante veremos que el módulo del vector suma  se puede obtener analíticamente mediante la expresión


                                                               


    Siendo a el ángulo que forma el ángulo que forman los vectores  y

    Un caso particular interesante es cuando los dos vectores son paralelos. En ese caso la expresión anterior se convierte en el conocido Teorema de Pitágoras.

    Vector nulo:

    Es aquel cuyo modulo es cero ( El origen y el extremo coinciden)

    Vector opuesto:
    El vector opuesto a un vector  es otro vector (-) de igual módulo y dirección y sentido opuesto

    Se verifica que +(-)=

            

    Diferencia de vectores: El la suma con el opuesto.

                       - = +(-  )

                      

    Propiedades de la suma de vectores:

    Propiedad asociativa: (+)+=+(+)

    Propiedad comutativa: +=+

    Elemento neutro:

    Elemento opuesto: -

    4. Producto de un vector por un número

    Dado un vector el resultado de   multplicarlo por un escalar l  es otro vector =lcuya dirección es  la misma que  la de , su módulo es b=la y su sentido es   el mismo si l>0 y contrario si l<0.


            


    4) Componentes cartesianas de un vector

    a) Vectores en el Plano

    En ocasiones es conveniente descomponer un vector en suma de otros situados  sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesianos.  Por ejemplo cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo que    solo se puede mover en la horizontal,  es conveniente descomponer esa fuerza en una componente horizontal que actúa en la dirección del movimiento y tiene un efecto directo sobre éste y otra vertical que no interviene directamente sobre el movimiento sino de forma indirecta al “aligerar “ el roce con el suelo. De ahí la conveniencia de la descomposición.


    La fuerza queda como suma  de sus componentes vectoriales ,  

    =+

    Los vectores   se pueden poner en función de los vectores unitarios y(horizontal y vertical resp.) de la siguiente forma: =ax  ; =ay donde los escalares ax , ay  , módulos de las componentes vectoriales se denominan componentes escalares o componentes cartesianas de . El vector  puede ponerse como

    = ax  +ay o tambien =( ax , ay)

             Nótese que ax , ay  son las proyecciones del segmento a (módulo del vector ) sobre los ejes coordenados.

    ax = a cosa  y ay = acosb= a sena

    donde a, b son los ángulos que forma el vector con los ejes X e Y respectivamente

    Ejercicio:

    a) Se cumple que cos2a+cos2b=1.

    b) Se cumple que el módulo del vector en función de las componentes es   a2= ax2+ ay2


    B) Vectores en el espacio            

    Todo lo anterior se puede generalizar al caso de vectores en el espacio tridimensional. Para ello tomemos un sistema de coordenadas basados en tres ejes perpendiculares tal como indica la figura.


    El vector se puede poner en función de sus componentes como

    = ax  +ay + az      o  tambien =( ax , ay,  az  )

    Las componentes ax , ay,  az son las proyecciones ortogonales del segmento a sobre los ejes  y por lo tanto

    ax = acos a   ay =a cosb   az= a cosg

    Donde g, a, b son los ángulos que forma el vector    con los ejes Z, X,Y respectivamente.

    ·         Para éstos se cumple que cos2 a + cos2b + cos2g=1

    ·         El módulo del vector queda en función de las componentes de la forma

    a2= ax2+ ay2+ az2

    Al igual que en el caso del plano dejamos estos dos últimos resultados como ejercicio.

    5)Expresión de las operaciones suma de vectores y  producto de un vector por un número en función de las componentes

             Por razonamientos geométricos y a  partir de las definiciones de dichas operaciones se puede demostrar fácilmente que si :

    =( ax , ay,  az  )  y =(bx, by , bz)  y l es un número real entonces:

    l=( lax,  lay ,  laz  )  y +=( ax+bx, ay+by, az+bz)

    Dejamos al alumno la justificación  de estas expresiones.

    Ejercicio:

             Dados los vectores  y  Calcular:

    a)     2-3

    b)     modulo de ambos vectores

    c)     Vector unitario en la dirección de

    d)     Vector de módulo 10 en la dirección de  y de sentido opuesto al mismo.

    6) Producto escalar.

    Ciertas operaciones entre magnitudes vectoriales dan como resultado un número (escalar). Por ejemplo el trabajo es una magnitud escalar y se obtiene de operar dos magnitudes vectoriales: la fuerza y el desplazamiento  sobre la trayectoria. Por ello es conveniente definir una nueva operación entre vectores cuyo resultado es un escalar.

    En la figura una fuerza  arrastra horizontalmente un bloque. El desplazamiento viene dado por el vector

            

    En cursos anteriores de física se ha visto que la parte de la fuerza que contribuye al trabajo es la componente de la misma en la dirección del movimiento es decir, en nuestro caso, Fx .  

    w=Fx. DS=Fcosa.DS

    Esta expresión nos sugiere definir la siguiente operación entre las magnitudes vectoriales  y  

             w= ·

    llamada producto escalar, que consiste en multiplicar los módulos de las magnitudes que interviene y a la vez por el coseno del ángulo que forma dichos vectores. El producto escalar se utiliza mucho en física en las circustancias en las que hay que realizar proyecciones de un vector sobre una dirección determinada .

             Definición.-En el caso general sean dos vectores  y  que forman entre sí un ángulo a- Se define como producto escalar de ambos al número que se obtiene a partir de la expresión:

     ·=a b cos a

    Ejercicios:

    ·         Demostrar que  ·= ·= ·=1 y que ·= ·=·=0

    ·         Justificar que el producto escalar tiene  la propiedad comutativa

    ·         Justificar que si el producto escalar es cero, los dos vectores son perpendiculares, o bien alguno de ellos tiene de  módulo cero.

    6.1 Expresión cartesiana del producto escalar.

    Sean los vectores  =( ax , ay,  az  )  y =(bx, by , bz)

                  Es fácil demostrar (Poner el desarrollo en función de los vectores unitarios y aplicar los resultados del ejercicio anterior) que

     ·= axbx, +ayby+azbz

                      

    Ejercicios:

    ·         Dados los vectores  de módulo 10 y  de módulo 5, formando un ángulo de 60º, calcular  · y   ·

    ·         Dados los vectores  y   calcular  · y   ·

    6.2    Utilidades.

    Citamos aquí algunas apñicaciones interesantes del producto escalar.

    Ángulo que forman dos vectores  y

         De la definición de producto escalar, despejando obtenemos

    Proyección del vector  sobre la dirección de


    La proyección de le vector  sobre la dirección de es el segmento marcado en azul en la figura.

    =acosa ==

    Siendo  un vector unitario en la dirección y sentido de  

    Ejercicios.-

    1) Considera un tríángulo cuyos lados son los vectores  y  y  el vector suma = y (diagonal del paralelogramo). Multiplicando escalarmente la igualdad =+  obtener la expresión del teorema del coseno

    2) Dados los vectores  y  . Determinar el ángulo que forman entre ellos y los ángulos que forma el primero con los ejes de coordenadas. Determinar la proyección del primero sobre el segundo.


     
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