El vector opuesto a un vector �es otro vector (-) de igual módulo y dirección y sentido opuesto

Se verifica que +(-)=

Diferencia de vectores: El la suma con el opuesto.

- = +(- �)

Propiedades de la suma de vectores:

Propiedad asociativa: (+)+=+(+)

Propiedad comutativa: +=+

Elemento neutro:

Elemento opuesto: -

4. Producto de un vector por un número

Dado un vector el resultado de multplicarlo por un escalar l es otro vector =lcuya dirección es la misma que la de , su módulo es b=la y su sentido es el mismo si l>0 y contrario si l<0.

4) Componentes cartesianas de un vector

a) Vectores en el Plano

En ocasiones es conveniente descomponer un vector en suma de otros situados sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesianos. Por ejemplo cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo que solo se puede mover en la horizontal, es conveniente descomponer esa fuerza en una componente horizontal que actúa en la dirección del movimiento y tiene un efecto directo sobre éste y otra vertical que no interviene directamente sobre el movimiento sino de forma indirecta al "aligerar " el roce con el suelo. De ahí la conveniencia de la descomposición.

La fuerza queda como suma de sus componentes vectoriales ,

=+

Los vectores ��se pueden poner en función de los vectores unitarios y(horizontal y vertical resp.) de la siguiente forma: =a_x �; =a_y donde los escalares a_{x ,} a_y , módulos de las componentes vectoriales se denominan componentes escalares o componentes cartesianas de . El vector �puede ponerse como

= a_x �+a_y o tambien =( a_{x ,} a_y)

Nótese que a_{x ,} a_y son las proyecciones del segmento a (módulo del vector ) sobre los ejes coordenados.

a_{x =} a cosa y a_y = acosb= a sena

donde a, b son los ángulos que forma el vector con los ejes X e Y respectivamente

Ejercicio:

a) Se cumple que cos²a+cos²b=1.

b) Se cumple que el módulo del vector en función de las componentes es a²= a_x²+ a_y²

B) Vectores en el espacio

Todo lo anterior se puede generalizar al caso de vectores en el espacio tridimensional. Para ello tomemos un sistema de coordenadas basados en tres ejes perpendiculares tal como indica la figura.

El vector se puede poner en función de sus componentes como

= a_x �+a_y + a_z o tambien =( a_{x ,} a_y, �a_z )

Las componentes a_{x ,} a_y, �a_z son las proyecciones ortogonales del segmento a sobre los ejes y por lo tanto

a_{x =} acos a a_{y =}a cosb _�a_z= a cosg

Donde g, a, b son los ángulos que forma el vector �con los ejes Z, X,Y respectivamente.

•         Para éstos se cumple que cos² a + cos²b + cos²g=1

•         El módulo del vector queda en función de las componentes de la forma

a²= a_x²+ a_y²₊ a_z²

Al igual que en el caso del plano dejamos estos dos últimos resultados como ejercicio.

5)Expresión de las operaciones suma de vectores y producto de un vector por un número en función de las componentes

Por razonamientos geométricos y a partir de las definiciones de dichas operaciones se puede demostrar fácilmente que si :

=( a_{x ,} a_y, �a_z ) y =(b_x, b_y , b_z) y l es un número real entonces:

l=( la_x, la_{y ,} la_z ) y +=( a_x+b_x, a_y+b_y, a_z+b_z)

Dejamos al alumno la justificación de estas expresiones.

Ejercicio:

Dados los vectores �y �Calcular:

a)     2-3

b)     modulo de ambos vectores

c)     Vector unitario en la dirección de

d)     Vector de módulo 10 en la dirección de �y de sentido opuesto al mismo.

6) Producto escalar.

Ciertas operaciones entre magnitudes vectoriales dan como resultado un número (escalar). Por ejemplo el trabajo es una magnitud escalar y se obtiene de operar dos magnitudes vectoriales: la fuerza y el desplazamiento sobre la trayectoria. Por ello es conveniente definir una nueva operación entre vectores cuyo resultado es un escalar.

En la figura una fuerza �arrastra horizontalmente un bloque. El desplazamiento viene dado por el vector

En cursos anteriores de física se ha visto que la parte de la fuerza que contribuye al trabajo es la componente de la misma en la dirección del movimiento es decir, en nuestro caso, F_{x .} �

w=F_x. DS=Fcosa.DS

Esta expresión nos sugiere definir la siguiente operación entre las magnitudes vectoriales �y

w= •

llamada producto escalar, que consiste en multiplicar los módulos de las magnitudes que interviene y a la vez por el coseno del ángulo que forma dichos vectores. El producto escalar se utiliza mucho en física en las circustancias en las que hay que realizar proyecciones de un vector sobre una dirección determinada .

Definición.-En el caso general sean dos vectores �y �que forman entre sí un ángulo a- Se define como producto escalar de ambos al número que se obtiene a partir de la expresión:

�•=a b cos a

Ejercicios:

•         Demostrar que �•= •= •=1 y que •= •=•=0

•         Justificar que el producto escalar tiene la propiedad comutativa

•         Justificar que si el producto escalar es cero, los dos vectores son perpendiculares, o bien alguno de ellos tiene de módulo cero.

6.1 Expresión cartesiana del producto escalar.

Sean los vectores =( a_{x ,} a_y, �a_z ) y =(b_x, b_y , b_z)

Es fácil demostrar (Poner el desarrollo en función de los vectores unitarios y aplicar los resultados del ejercicio anterior) que

�•= a_xb_x, +a_yb_y+a_zb_z

Ejercicios:

•         Dados los vectores �de módulo 10 y �de módulo 5, formando un ángulo de 60�, calcular �• y •

•         Dados los vectores �y calcular �• y •

6.2    Utilidades.

Citamos aquí algunas apñicaciones interesantes del producto escalar.

Ángulo que forman dos vectores y

De la definición de producto escalar, despejando obtenemos

Proyección del vector �sobre la dirección de

La proyección de le vector �sobre la dirección de es el segmento marcado en azul en la figura.

=acosa ==

Siendo �un vector unitario en la dirección y sentido de �

Ejercicios.-

1) Considera un tríángulo cuyos lados son los vectores �y �y el vector suma = y (diagonal del paralelogramo). Multiplicando escalarmente la igualdad =+ �obtener la expresión del teorema del coseno

2) Dados los vectores �y �. Determinar el ángulo que forman entre ellos y los ángulos que forma el primero con los ejes de coordenadas. Determinar la proyección del primero sobre el segundo.