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El algebra

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Categoría: Apuntes y Monografas > Matemticas >
Material educativo de Alipso relacionado con algebra
  • Algebra & Geometra Analtica.: MATRICES, Determinantes, Sistemas de ecuaciones lineales, Mtodo de Gauss---Jordan, Vectores en el plano, Expresin analtica del vector , Vectores en el espacio
  • Algebra: Resumen muy completo de algebra en el CBC. Incluye Logica, Vectores, Matrices, Determinantes.
  • El algebra:

  • Enlaces externos relacionados con algebranalga

    Trabajo practico.

    TEMA: EL ALGEBRA

    Es una rama de las matemticas en la que se usan letras para representar relaciones aritmticas. Al igual que en la aritmtica, las operaciones fundamentales del lgebra son adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y clculo de races. La aritmtica, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemticas, como el teorema de Pitgoras, que dice que en un tringulo rectngulo el rea del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmtica slo da casos particulares de esta relacin (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El lgebra, por el contrario, puede dar una generalizacin que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. Un nmero multiplicado por s mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superndice 2. Por ejemplo, la notacin de 3  3 es 32; de la misma manera, a  a es igual que a2.

    El lgebra clsica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza smbolos en vez de nmeros especficos y operaciones aritmticas para determinar cmo usar dichos smbolos. El lgebra moderna ha evolucionado desde el lgebra clsica al poner ms atencin en las estructuras matemticas. Los matemticos consideran al lgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. As, en su forma ms general, una buena definicin de lgebra es la que dice que el lgebra es el idioma de las matemticas.

    Historia

    La historia del lgebra comenz en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadrticas (ax2 + bx = c), as como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incgnitas. Los antiguos babilonios resolvan cualquier ecuacin cuadrtica empleando esencialmente los mismos mtodos que hoy se ensean. Tambin fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

    Los matemticos alejandrinos Hern y Diofante continuaron con la tradicin de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritmticas de Diofante es de bastante ms nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difciles. Esta antigua sabidura sobre resolucin de ecuaciones encontr, a su vez, acogida en el mundo islmico, en donde se le llam ciencia de reduccin y equilibrio. (La palabra rabe al-jabru que significa reduccin, es el origen de la palabra lgebra). En el siglo IX, el matemtico al-Jwarizm; escribi uno de los primeros libros rabes de lgebra, una presentacin sistemtica de la teora fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemtico egipcio Abu Kamil enunci y demostr las leyes fundamentales e identidades del lgebra, y resolvi problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

    En las civilizaciones antiguas se escriban las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas slo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemticos rabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incgnita x, y desarrollaron el lgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los smbolos modernos. Este lgebra inclua multiplicar, dividir y extraer races cuadradas de polinomios, as como el conocimiento del teorema del binomio. El matemtico, poeta y astrnomo persa Omar Khayyam mostr cmo expresar las races de ecuaciones cbicas utilizando los segmentos obtenidos por interseccin de secciones cnicas, aunque no fue capaz de encontrar una frmula para las races. La traduccin al latn del lgebra de al-Jwarizm fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemtico italiano Leonardo Fibonacci consigui encontrar una aproximacin cercana a la solucin de la ecuacin cbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci haba viajado a pases rabes, por lo que con seguridad utiliz el mtodo arbigo de aproximaciones sucesivas.

    A principios del siglo XVI los matemticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuacin cbica general en funcin de las constantes que aparecen en la ecuacin. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontr la solucin exacta para la ecuacin de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la frmula de las races de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemtico noruego Niels Abel y el francs variste Galois demostraron la inexistencia de dicha frmula.

    Un avance importante en el lgebra fue la introduccin, en el siglo XVI, de smbolos para las incgnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometra (1637), escrito por el matemtico y filsofo francs Ren Descartes se parece bastante a un texto moderno de lgebra. Sin embargo, la contribucin ms importante de Descartes a las matemticas fue el descubrimiento de la geometra analtica, que reduce la resolucin de problemas geomtricos a la resolucin de problemas algebraicos. Su libro de geometra contiene tambin los fundamentos de un curso de teora de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llam la regla de los signos para contar el nmero de races verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuacin. Durante el siglo XVIII se continu trabajando en la teora de ecuaciones y en 1799 el matemtico alemn Carl Friedrich Gauss public la demostracin de que toda ecuacin polinmica tiene al menos una raz en el plano complejo (vase Nmero: Nmeros complejos).

    En los tiempos de Gauss, el lgebra haba entrado en su etapa moderna. El foco de atencin se traslad de las ecuaciones polinmicas al estudio de la estructura de sistemas matemticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemticos, como los nmeros complejos, que los matemticos haban encontrado al estudiar las ecuaciones polinmicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numricos, aunque tambin difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (vase Combinatoria) de las races de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los ms importantes conceptos unificadores de las matemticas en el siglo XIX. Los matemticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el britnico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemtico y astrnomo irlands William Rowan Hamilton, quien desarroll la aritmtica de los nmeros complejos para las cuaternas; mientras que los nmeros complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

    Despus del descubrimiento de Hamilton el matemtico alemn Hermann Grassmann empez a investigar los vectores. A pesar de su carcter abstracto, el fsico estadounidense J. W. Gibbs encontr en el lgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los fsicos, del mismo modo que Hamilton haba hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llev a George Boole a escribir Investigacin sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lgica bsica. Desde entonces, el lgebra moderna tambin llamada lgebra abstracta ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemticas y en muchas otras ciencias.

    Smbolos y trminos especficos

    Entre los smbolos algebraicos se encuentran nmeros, letras y signos que representan las diversas operaciones aritmticas. Los nmeros son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las ltimas para variables.

    Operaciones y agrupacin de smbolos

    La agrupacin de los smbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritmticas se basa en los smbolos de agrupacin, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico. Entre los smbolos de agrupacin se encuentran los parntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales tambin llamadas vnculos que suelen usarse para representar la divisin y las races, como en el siguiente ejemplo:

    Los smbolos de las operaciones bsicas son bien conocidos de la aritmtica: adicin (+), sustraccin (-), multiplicacin () y divisin (:). En el caso de la multiplicacin, el signo ג normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a  b. Un grupo de smbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c. La divisin se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, tambin se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones. Hay que tener cuidado de agrupar los trminos apropiadamente. Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son trminos separados, lo mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c - dy) representa la fraccin:

    Prioridad de las operaciones

    Primero se hacen las multiplicaciones, despus las divisiones, seguidas de las sumas y las restas. Los smbolos de agrupacin indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el ms interno. Por ejemplo:

    Otras definiciones

    Cualquier expresin que incluya la relacin de igualdad (=) se llama ecuacin. Una ecuacin se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuacin se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuacin es condicional. Un trmino es una expresin algebraica que slo contiene productos de constantes y variables; 2x, -a, 3s4x, x2(2zy)3 son algunos ejemplos de trminos. La parte numrica de un trmino se denomina coeficiente. Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, -1, 3 y 8 (el ltimo trmino se puede escribir como 8x2(zy)3).

    Una expresin que contiene un solo trmino se denomina monomio, dos trminos, binomio y tres trminos, trinomio. Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de trminos. Por ejemplo, un polinomio de n-simo grado en su forma general se expresa como:

    En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado. Del mismo modo, la expresin xn + xn-1 + xn-2 es de n-simo grado.

    Una ecuacin lineal en una variable es una ecuacin polinmica de primer grado, es decir, una ecuacin de la forma ax + b = 0. Se les llama ecuaciones lineales porque representan la frmula de una lnea recta en la geometra analtica.

    Una ecuacin cuadrtica en una variable es una ecuacin polinmica de segundo grado, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.

    Un nmero primo es un entero (nmero natural) que slo se puede dividir exactamente por s mismo y por 1. As, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos nmeros primos.

    Las potencias de un nmero se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del nmero por s mismo. El trmino a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como aaa o a3.

    Los factores primos de un cierto nmero son aquellos factores en los que ste se puede descomponer de manera que el nmero se puede expresar slo como el producto de nmeros primos y sus potencias. Por ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22  3  5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.

    Operaciones con polinomios

    Al hacer operaciones con polinomios, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmtica numrica. En aritmtica, los nmeros usados son el conjunto de los nmeros racionales. La aritmtica, por s sola, no puede ir ms lejos, pero el lgebra y la geometra pueden incluir nmeros irracionales, como la raz cuadrada de 2 y nmeros complejos. El conjunto de todos los nmeros racionales e irracionales constituye el conjunto de los nmeros reales.

    Propiedades de la adicin

    A1. La suma de dos nmeros reales a y b cualesquiera es otro nmero real que se escribe a + b. Los nmeros reales son uniformes para las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con nmeros reales el resultado es otro nmero real.

    A2. Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los trminos de la adicin, el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c). Es la llamada propiedad asociativa de la adicin.

    A3. Dado un nmero real a cualquiera, existe el nmero real cero (0) conocido como elemento neutro de la adicin, tal que a + 0 = 0 + a = a.

    A4. Dado un nmero real a cualquiera, existe otro nmero real (-a), llamado elemento simtrico de a (o elemento recproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.

    A5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la adicin, la suma es siempre la misma: a + b = b + a. Es la llamada propiedad conmutativa de la adicin.

    Cualquier conjunto de nmeros que cumpla las cuatro primeras propiedades se dice que forma un grupo. Si adems el conjunto cumple A5, se dice que es un grupo abeliano o conmutativo.

    Propiedades de la multiplicacin

    Para la multiplicacin se cumplen propiedades similares a las de la adicin. Sin embargo, hay que prestar especial atencin a los elementos neutro y recproco, M3 y M4.

    M1. El producto de dos nmeros reales a y b es otro nmero real, que se escribe ab o ab.

    M2. Cualquiera que sea la forma de agrupar los trminos de la multiplicacin, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc). Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicacin.

    M3. Dado un nmero real a cualquiera, existe el nmero real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicacin, tal que a(1) = 1(a) = a.

    M4. Dado un nmero real a distinto de cero, existe otro nmero (a-1 o 1/a), llamado elemento inverso (o elemento recproco de la multiplicacin), para el que a(a-1) = (a-1)a = 1.

    M5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicacin, el producto es siempre el mismo: ab = ba. Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicacin.

    Un conjunto de elementos que cumpla estas cinco propiedades se dice que es un grupo abeliano, o conmutativo, para la multiplicacin. El conjunto de los nmeros reales, excluyendo el cero pues la divisin por cero no est definida es un grupo conmutativo para la multiplicacin.

    Propiedad distributiva

    Otra propiedad importante del conjunto de los nmeros reales relaciona la adicin y la multiplicacin de la forma siguiente:

    D1. a(b + c) = ab + ac

    D2. (b + c)a = ba + ca

    Un conjunto de elementos con una relacin de igualdad, en el que se definen dos operaciones (como la adicin y la multiplicacin) que cumplan las propiedades de la adicin, A1 a A5, las propiedades de la multiplicacin, M1 a M5, y la propiedad distributiva, D1 y D2, constituye un cuerpo conmutativo.

    Multiplicacin de polinomios

    El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:

    Este mismo principio multiplicar cada trmino del primer polinomio por cada uno del segundo se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier nmero de trminos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera:

    Una vez hechas estas operaciones, todos los trminos de un mismo grado se han de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresin:

    Factorizacin de polinomios

    Dada una expresin algebraica complicada, resulta til, por lo general, el descomponerla en un producto de varios trminos ms sencillos. Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y). El encontrar los factores de un determinado polinomio puede ser materia de simple inspeccin o se puede necesitar el uso de tanteos sucesivos. Ciertos polinomios, sin embargo, no se pueden factorizar utilizando coeficientes reales y son llamados polinomios primos.

    Algunas factorizaciones conocidas aparecen en los ejemplos siguientes.

    Para factorizar suele ser til agrupar primero; aquellos trminos que sean similares se agrupan como en el siguiente ejemplo, cuando sea posible:

    Mximo comn divisor

    Dado un polinomio, suele ser importante determinar el mayor factor comn a todos los trminos del polinomio. Por ejemplo, en la expresin 9x3 + 18x2, el nmero 9 es un factor de ambos trminos, lo mismo que x2. Tras su factorizacin se obtiene 9x2(x + 2), y 9x2 es el mximo comn divisor de todos los trminos del polinomio original (en este caso un binomio). De la misma manera, en el trinomio 6a2x3 + 9abx + 15cx2, el nmero 3 es el mayor submltiplo comn a 6, 9 y 15, y x es el mayor factor de la variable comn a los tres trminos. Por tanto, el mximo comn divisor del trinomio es 3x.

    Mnimo comn mltiplo

    Encontrar el mnimo comn mltiplo es til para poder hacer ciertas operaciones con fracciones algebraicas. El procedimiento es similar al usado para realizar estas operaciones con fracciones ordinarias en aritmtica. Para poder combinar dos o ms fracciones, los denominadores deben ser iguales; la forma ms directa de obtener un denominador comn es multiplicar todos los denominadores entre s. Por ejemplo:

    Pero puede ocurrir que bd no sea el mnimo comn denominador. Por ejemplo:

    Sin embargo, 18 es slo uno de los posibles denominadores comunes; el mnimo comn denominador es 6:

    En lgebra, el problema de encontrar el mnimo comn mltiplo es similar. Dadas varias expresiones, su mnimo comn mltiplo es aquella expresin con el menor grado y los menores coeficientes que se puede dividir exactamente por cada una de ellas. As, para encontrar un mltiplo comn a los trminos 2x2y, 30x2y2, 9ay3, basta con multiplicar las tres expresiones entre s y es fcil demostrar que (2x2y)(30x2y2)(9ay3) se puede dividir exactamente por cada uno de los tres trminos; sin embargo, ste no es el menor de los mltiplos comunes. Para determinar cul es el mnimo, cada uno de los trminos se ha de descomponer en sus factores primos. Para los coeficientes numricos, 2, 30 y 9, los factores primos son 2, 235 y 33 respectivamente; el mnimo comn mltiplo de los coeficientes debe ser por tanto 2335, o 90, que es el producto de la mnima cantidad de factores necesaria para obtener un mltiplo comn. De la misma manera, como la constante a slo aparece una vez, debe ser un factor. En cuanto a las variables, se necesitan x2 e y3; por tanto, el mnimo comn mltiplo de los tres trminos es 90ax2y3. Esta expresin se puede dividir exactamente por cada uno de los trminos.

    Resolucin de ecuaciones

    Dada una ecuacin, el lgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el concepto general de identidad a = a. Siempre que se apliquen las mismas operaciones aritmticas o algebraicas en ambos lados de la ecuacin la igualdad se mantiene inalterada. La estrategia bsica es despejar la incgnita en un lado de la igualdad y la solucin ser el otro lado. Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuacin lineal con una incgnita

    los trminos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el otro. El trmino 3x se puede eliminar del lado derecho mediante sustraccin; 3x se ha de restar del lado izquierdo al mismo tiempo:

    Despus se resta el nmero 6 de ambos lados:

    Para despejar la x en el lado izquierdo se dividen ambos lados de la ecuacin por 2:

    y la solucin es por tanto: x = 3. Para comprobar este resultado basta con sustituir el valor x = 3 en la ecuacin original:

    Resolucin de ecuaciones cuadrticas

    Dada una ecuacin de segundo grado o cuadrtica en su forma general:

    hay diversas posibilidades para resolverla dependiendo de la naturaleza especfica de la ecuacin en cuestin. Si la ecuacin se puede factorizar, la solucin es inmediata. Por ejemplo:

    Primero se escribe la ecuacin en su forma general

    que se puede factorizar como:

    La igualdad slo se cumple cuando uno de los factores es cero, es decir, cuando x = 5 o x = -2. stas son las soluciones de la ecuacin, que de nuevo se pueden verificar mediante sustitucin.

    Si a primera vista no se encuentra un modo directo de factorizar la ecuacin, puede existir otra alternativa. Por ejemplo, en la ecuacin

    la expresin 4x2 + 12x se podra factorizar como un cuadrado perfecto si fuera 4x2 + 12x + 9, que equivale a (2x + 3)2. Esto se puede conseguir fcilmente sumando 9 al lado izquierdo de la ecuacin. La misma cantidad debe sumarse, por supuesto, al lado derecho:

    que se reduce a

    o

    y

    pues tiene dos valores. La primera ecuacin da la solucin x = 1 (restando 3 de ambos lados: 2x = 1, y dividiendo ambos lados por 2: x = 1). La segunda ecuacin da x = -7/2. Ambas soluciones se pueden verificar como antes, sustituyendo los valores en cuestin en la ecuacin original. Esta forma de resolucin se suele denominar mtodo del cuadrado perfecto.

    En general, cualquier ecuacin cuadrtica de la forma

    se puede resolver utilizando la frmula cuadrtica. Para cualquier ecuacin de este tipo las dos soluciones de x estn dadas por la frmula:

    Por ejemplo, para encontrar las races de

    primero se pone la ecuacin en su forma general:

    Por tanto, a = 1, b = -4 y c = 3. Estos valores se sustituyen en la frmula cuadrtica:

    Sistemas de ecuaciones

    En lgebra, lo normal es que haya que resolver no una sino varias ecuaciones al mismo tiempo. El problema es encontrar el conjunto de todas las soluciones que cumplen todas las ecuaciones simultneamente. El conjunto de ecuaciones que deben resolverse se denomina sistema de ecuaciones y para resolverlo se pueden usar tcnicas especficas del lgebra. Por ejemplo, dadas las dos ecuaciones lineales con dos incgnitas

    hay un sistema sencillo: la variable y se despeja en la ecuacin (2) dando y = 5 - 2x; este valor de y se sustituye en la ecuacin (1):

    As el problema se reduce a una ecuacin lineal con una sola incgnita x, obtenindose

    o

    de donde

    Si este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales (1) o (2), se obtiene que

    Otro mtodo ms rpido para resolver un sistema de ecuaciones es, en este caso, multiplicar ambos lados de la ecuacin (2) por 4, con lo que queda:

    Si ahora se resta la ecuacin (1) de la (2), entonces 5x = 10, o x = 2. Este procedimiento genera otro avance en las matemticas, las matrices. La teora de matrices nos ayuda a obtener soluciones para cualquier conjunto de ecuaciones lineales con cualquier nmero de incgnitas.


     
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