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Algebra & Geometría Analítica.

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MATRICES, Determinantes, Sistemas de ecuaciones lineales, Método de Gauss---Jordan, Vectores en el plano, Expresión analítica del vector , Vectores en el espacio

Agregado: 29 de AGOSTO de 2000 (Por ) | Palabras: 3056 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografías > Matemáticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Algebra Geometria Analitica
  • René Descartes: Filósofo francés que comenzó la filosofía moderna: “Pienso luego existo”. Descartes reflexionó sobre un sistema universal mecanicista cerrado, desarrolló la geometría analítica, explicó la refracción de la luz e investigó el magnetismo.
  • Geometría y Experiencia.: La matematica, producto de la mente humana, Lógicas, Realidad Numérica, Simetría.
  • Resumen de informática. Tema 8: Algebra Booleana. Propiedades de las funciones logicas. Resolucion de ecuaciones de salida.

  • Enlaces externos relacionados con Algebra Geometria Analitica

    Algebra & Geometría Analítica

    MATRICES

    Definición:

    Una matriz es una tabla rectangular de números o elementos de un anillo .

    Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o corchetes:

    En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera.. Las líneas

    horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas

    verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha. Utilizando esta

    notación, el elemento de la segunda fila y tercera columna de M1 es -1. Una

    fila o columna genérica se denomina línea.

    El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en

    este orden, así M1, M2, M3 y M4 son de tamaño 3 3, 3 3, 3 2 y 2 3

    respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m n se

    representan normalmente utilizando un doble subíndice; el primer subíndice,

    i, indica el número de fila y el segundo, j, el número de columna. Así pues,

    el elemento a23 está en la segunda fila, tercera columna. La matriz general

    se puede representar de forma abreviada como A = (aij), en donde los

    posibles valores de los índices i = 1, 2, …, m y j = 1, 2, …, n se han de

    dar explícitamente si no se sobrentienden.

    Matrices Cuadradas: Si m = n, la matriz es cuadrada y el número de filas

    (o columnas) es el orden de la matriz.

    Dos matrices A = (aij) y B = (bij), son iguales si y sólo si son de igual

    tamaño y si para todo i y j, aij = bij.

    Si A = (aij) es una matriz cuadrada, los elementos a11, a22, a33, … forman

    la diagonal principal de la matriz.

    La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño.

    Si A = (aij) y B = (bij) tienen igual tamaño, entonces la suma C = A + B se

    define como la matriz (cij), en la que cij = aij + bij, es decir, para sumar

    dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes.

    Así, para las matrices mencionadas anteriormente

    El conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño tiene las

    propiedades uniforme, asociativa y conmutativa de la adición. Además hay una

    matriz única O tal que para cualquier matriz A, se cumple A + O = O + A = A

    y una matriz única B tal que A + B = B + A = O.

    El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de

    columnas del factor izquierdo, A es igual al número de filas del factor

    derecho, B; si A = (aij) es de tamaño m n y B = (bjk) es de tamaño n p,

    el producto AB = C = (cik) es de tamaño m p,

    El elemento de la fila i y la columna k del producto es la suma de los

    productos de cada uno de los elementos de la fila i del factor izquierdo

    multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor

    derecho.

    El producto entre matrices no es conmutativo. Es decir AB ¹ BA

    Propiedades de las matrices

    Suma y multiplicación por un escalar

    1. A+0=A (El cero representa una matriz neutra del mismo orden que A)

    2. 0.A =A.0=0 (El cero en los dos primeros términos representa un escalar,

    mientras que en el último término representa una matriz del mismo orden que

    A)

    3. A+B=B+A Ley conmutativa para la suma de matrices

    4. (A+B)+C= A+ (B+C) Ley asociativa para la suma de matrices.

    5. a (A+B) = aA+ aB Ley distributiva para la multiplicación por un escalar.

    6. 1.A=A

    7. (a+b) A = a A+ bA

    Multiplicación entre matrices

    Ley asociativa para la multiplicación de matrices.

    Sea A = una matriz de orden m x n y B= de orden n x p, y C =

    de orden p x q , entonces

    A(BC) =(AB)C y el resultado es una matriz de m x q.

    Leyes distributivas para la multiplicación de matrices:

    1. A(B+C)= AB+AC

    2. (A+B) C= AC+BC

    Matrices espaciales

    La matriz diagonal es una matriz cuadrada, en la que todos sus elementos son

    nulos, excepto la diagonal principal.

    La matriz escalar es una matriz diagonal que tiene los elementos de la

    diagonal iguales.

    La matriz cero es aquélla en la que todos los elementos son 0.

    La matriz identidad Im de orden m, es una matriz cuadrada de orden m en la

    cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal, que

    son 1. Una propiedad de esta matriz es que es el neutro multiplicativo de

    cualquier matriz; es decir, multiplicando por derecha o izquierda cualquier

    matriz por la matriz identidad, se obtiene la misma matriz.

    La Matriz Traspuesta AT de una matriz A es otra matriz en la cual la fila i

    es la columna i de A, y la columna j es la fila j de A. Por ejemplo, tomando

    la matriz M3 anterior,

    es la matriz traspuesta de M3.

    Propiedades de las matrices traspuestas:

    (A+B)t = At + Bt La traspuesta de la suma es igual a la suma de las

    traspuestas.

    (At)t =A La traspuesta de la traspuesta es igual a la matriz

    origen.

    (aA)t = a At Un escalar por una matriz traspuestos es igual a la

    matriz traspueta por el escalar.

    (A.B)t = Bt . At La praspuesta del producto es igual al producto de las

    trspuestas en orden inverso.

    La Matriz Simétrica es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos

    iguales con respecto a la diagonal principal. Es decir:

    S es simétrica si y solo sí sij = sji .

    Otra definición S es simetrica si S = ST

    La matriz antisimétrica es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos

    iguasles con respecto a la diagonal principal pero cambiados de signo y

    además la diagonal principal tiene solo 0.

    Otra definición : A es antisimétrica si AT = -A.

    Matriz Inversa : Una matriz A, tiene inversa ó es invertible si existe una

    matriz B tal que AB =BA = I (matriz identidad). La matriz B es la matriz

    inversa de A y se simboliza A-1.

    Propiedades:

    1. La matriz inversa si existe es única.

    2. (AB)-1= B-1 A-1

    3. Sea A cuadrada, A tiene inversa sí y solo sí el determinante de A es

    distinto de cero, en este caso la matriz A se dice no singular.

    Operaciones Elementales

    Llamamos operaciones elementales sobre las filas o columnas de una matriz a

    las siguientes:

    1. Intercambio de dos filas o columnas entre sí.

    2. Adición de una fila o columna a otra.

    3. Multiplicación de una fila o columna por un escalar.

    Matriz Elemental

    Es una matriz que se obtiene de realizar alguna de las operaciones

    elementales sobre las filas o columnas de la matriz identidad.

    E: matriz elemental e: operación elemental

    E¡ = e¡( I )

    Matrices equivalentes. Dos matrices son equivalentes si una se obtiene de

    la otra al realizar un número finito de operaciones elementales.



    e1= F3 + (-2) F1 e2 = F2 + (-4)F1

    Para cualquier matriz A realizar una e sobre A es lo mismo que multiplicar A

    por una matriz elemental.

    e(A) = E.A

    Teorema: Sea A una matriz cuadrada de orden n x n A es inversible sí y solo

    sí A es equivalente por filas a la matriz identidad

    A @ I Û A es el producto de matrices elementales



    Método de Gauss- Jordan para determinar la matriz inversa.

    Sea A cuadrada y no singular, realizando operaciones elementales

    exclusivamente sobre las filas de A podemos obtener A-1.

    (A/I) n x 2n Tomamos la matriz A y la ampliamos con la

    matriz identidad del mismo orden

    Realizamos un número finito de operaciones elementales sobre las filas de

    (A½I) hasta transformar la matriz A en la matriz identidad , entonces la

    matriz que acompaña a I es la inversa de A.

    Teorema: Si A es una matriz cuadrada inversible y un número finito de

    operaciones elementales sobre las filas de A, la transforman en la

    identidad, entonces las mismas operaciones son las filas de la identidad, la

    transforman en la inversa de A.

    Rango o características de una matriz

    Es el número máximo de vectores canónicos *distintos que se pueden lograr en

    las

    filas o columnas de una matriz

    Método de Gauss- Jordan para determinar el rango

    Para determinar el rango de una matriz A de m x n se realizan operaciones

    elementales sobre las filas de la matriz para lograr el número máximo de

    vectores canónicos distintos entre sí.

    Forma escalonada de la matriz.

    Una matriz se encuentra en forma escalonada sí las filas nulas son las

    últimas y las filas anteriores ceros en orden decreciente.

    Rango de una matriz es igual al número de filas no nulas que tiene la

    matriz después de llevarla a la forma escalonda.

    Determinantes

    Se representa como un número de arreglos dispuestos en igual número de filas

    que de columnas. Se encierran entre barras . Un determinante tiene

    resultado.

    Definición 1: Sea A n x n matriz cuadrada entonces existe un único número

    asociado a la matriz A, que llamamos determinante de a y se simboliza ½A½.

    Definición 2: a) Dada la matriz A mxn llamamos menor complementario del

    elemento (ij) de A al determinante de orden n-1 que s e obtiene al suprimir

    la fila "i" y la columna "j"de A. El menor complementario se simboliza con

    el determinante Mij

    b) Llamamos adjunto o complemento algebraico o cofactor del elemento (ij) de

    A y denotamos

    i+j

    Aij =(-1) Mij.

    Definición 3: a) Dada la matriz A 1 x 1 = a el determinante de A es el

    escalar que representa.

    b) Dada al matriz A de orden n x n ½A½ es igual a la suma de los productos

    de los elementos de la primera fila por los adjuntos correspondientes.

    n

    ½A½ = Z aik . Aik

    k=1

    ½A½ = a11. A11 + a12. A12+ a1n A1n

    Definición más general: Para encontrar el valor de un determinante se puede

    trabajar desarrollando el determinante por cualquier fila o columna

    ½A½ = suma de los productos de los elementos de una fila o columna por los

    adjuntos correspondientes.

    Propiedad: el valor de un determinante no cambia si se dos filas o columnas

    entre sí; es decir si reemplazo una fila o columna por la suma de los

    elementos esa fila o columna y otra fila o columna cualquiera , el valor

    del determinante no cambia.

    2º propiedad: El valor de un determinante cambia si se multiplica una fila o

    columna por una constante

    Sistemas de ecuaciones lineales

    Un sistema de ecuaciones lineal (cuyas incógnitas están elevadas a la

    primera potencia) es por ejemplo:

    A11x1+a12x2+.....+a1nxn=b1

    A21x1+a22x2+.....+a2nxn=b2

    Am1x1+am2x2+.....+amnxn=bm

    Este es un sistema de m ecuaciones con n incógnitas; las constantes Aij son

    los coeficientes de las incógnitas.

    (a11 a12 a1n)

    Am x n = (a21 a22 a2n) =matriz de

    los coeficientes de las incógnitas

    (am1 am2 amn)


    (x1)

    X= (x2) =Vector de las incógnitas

    m x 1 (x3)

    (b1)

    B = (b2) Vector o matriz de

    los términos independientes

    n x 1 (bn)

    Este representa un sistema no homogéneo, ya que tiene la forma A m x n

    . X n x 1 =B m x 1

    UN sistema homogéneo esta representado por la ecuación matricial de la forma

    A m x n . X n x 1 = 0 (matriz).

    Un sistema cuadrado es aquél que tiene la matriz A cuadrada, es decir

    tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones. Este tipo de sistemas

    pueden resolverse:

    A -1 . A . X = A-1 . B

    I · X = A-1 · B

    X = A -1 · B

    En un sistema del tipo que tratamos recién, si el determinante de la

    matriz A es distinto de 0, entonces existe la matriz inversa (A -1).

    La matriz inversa también puede lograrse mediante :

    t

    A -1 = A c

    ¦ A¦

    Regla de Cramer

    Dado un sistema como el anterior, si el determinante de la matriz de los

    coeficientes es distinta de cero; el sistema tiene solución única y esta se

    calcula por ejemplo sea la matriz:

    ( 1 2 -3) B=

    ( 1 3 -2) (pero vertical)

    A3 x 3 = (2 -1 5)

    (4 1 3) Sea el

    determinante de A = 2 entonces:

    1 2 -3

    X= 3 -1 5

    -2 1 3

    2

    Es decir , reemplazando la columna de la incógnita por la de los resultados

    en el determinante y luego al resultado de ese determinante dividirlo en el

    determinante de la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones.

    Teorema de Rouché -Frobenuis

    Dado el sistema A m x n · X n x 1 = B m x 1 tiene solución si y solo

    si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz

    ampliada.

    r(A) =r(A¦ B) entonces el sistema se dice que es compatible

    Si el rango de a es igual al rango de B y además es igual al número de

    incógnitas el sistema tiene solución única y se dice que compatible

    determinado.

    Si el rango de A es igual al rango de A ampliada B y es menor que el

    número de incógnitas. entonces el sistema tiene infinitas soluciones y se

    dice compatible indeterminado; en este caso las soluciones se encuentran

    dejando en el primer miembro tantas incógnitas como el valor del rango y

    pasando al segundo miembro las restantes.

    Ejemplo:

    4 ec. y 4 incg. r (A)=2

    2 incg.=.............

    Si el rango de A es distinto de la matriz ampliada el sistema no tiene

    solución y se le llama incompatible.


    Método de Gauss---Jordan.

    Mediante operaciones elementales en las matrices y aplicando propiedades se

    tratan de encontrar la mayor cantidad de vectores canónicos de la matriz

    ampliada, una vez logrados se ordena en forma de sistema nuevamente y se

    resuelve.

    Método de eliminación Gaussiana

    El método de eliminación de Gauss es aplicable para sistemas de m x n; y

    consiste en la matriz ampliada si el coeficiente de la primera incógnita es

    distinta de cero se deja la primera ecuación como está y se elimina dicha

    incógnita de las restantes ecuaciones, luego se observa la segunda ecuación

    del sistema , si el coeficiente de la segunda es distinto de cero se deja la

    segunda ecuación como esta y asi sucesivamente hasta terminar con todas

    las ecuaciones ; es decir, triangular la matriz a cero.

    Sistemas de ecuaciones lineales m x n homogéneo.

    A mxn · X nx1 = 0 mx1 Para un sistema

    homogéneo siempre el rango de A es igual al

    rango de la matriz ampliada.

    Este sistema tiene solución :

    · Si el rango de a es igual al número de incógnitas, entonces la solución es

    única . Solución trivial X¡=0 para todo ¡= 1....n.

    · Si el rango de A es menor que el número de incógnitas, entonces tiene

    infinitas soluciones.


    Vectores en el plano

    Un vector es un segmento de recta ordenado la punta de la flecha es el

    extremo y el otro extremo se llama origen. Es un ente matemático

    caracterizado por módulo, dirección, y sentido.

    Modulo: longitud del segmento que termina en la flecha.

    Sentido: Esta dado por el extremo de la flecha

    Dirección: Esta dado por la recta que soporta al vector.






    Los vectores se denotan por ü (tomar como que el acento es una flecha o

    guión sobre la letra) y es igual a otro vector si tienen el mismo

    sentido, el mismo módulo y la misma dirección. Además si son vectores

    iguales son paralelos.

    Opuesto de un vector: el opuesto de un vector ü es -ü, tiene la misma

    dirección, el mismo módulo y distinto sentido.

    Suma de vectores: la suma de vectores es sean las vectores ü y ¨v las

    suma de ellos es juntando el extremo de ü con el origen de ¨v se puede

    formar un paralelogramo haciendo las paralelas a cada uno de los vectores en

    el extremo del otro vector, la suma es la diagonal que parte desde el

    origen de ü hasta el extremo de ¨v.

    Diferencia de vectores: Es la suma de un vector y el opuesto de otro.

    Vector Unitario. Es el vector que tiene módulo 1.Cuando se usa para

    determinar la dirección en el espacio se le llama versor.

    Multiplicación de un vector por un escalar.

    Sea a una constante real; el producto se define de la siguiente manera. Si

    el escalar a > 1el módulo del vector factor va a aumentar tantas veces como

    indique el escalar. Si 0 < a < 1 , entonces reduce su valor. Y si a <

    0 entonces cambia el sentido del vector.

    Producto escalar(·)

    ü · ¨v = número que se calcula haciendo el producto de los módulos de

    ambos vectores por el coseno del ángulo que forman esos vectores

    Proyección de un escalar sobre otro. La proyección de un vector ü sobre otro

    ¨¨v , es también un número que se calcula haciendo el producto del módulo

    de ¨v por el coseno del ángulo a.

    Producto Vectorial ( x)

    El producto vectorial entre dos factores da como resultado un vector, y se

    calcula de la siguiente manera.

    Dados dos vectores: ü y ¨v.

    ½ü x ¨v½ = ½ü½. ½¨v½. Sen a

    El producto vectorial es perpendicular al plano de ü y de ¨v y el

    sentido se determina por la regla de la mano derecha.

    La interpretación geométrica del módulo del producto vectorial es el área

    del paralelogramo.


    Introducción de un sistema de referencia

    Expresión analítica del vector


    Consideremos sobre el eje x el versor ï y sobre el eje y,

    el versor ¨j

    ¨P = xï + y¨j Es la ecuación canónica o cartesiana del vector.

    El módulo de un vector se determina por la raiz cuadrada de la suma de los

    coeficientes de los versores ï y ¨j al cuadrado. LA dirección de un vector

    la determina el ángulo a ( la tangente de a= y/x, por lo tanto a = arco tg

    y/x) y el sentido lo dá el extremo de la flecha.

    X = ½¨p½ cos a

    Y= sen a ½¨p½

    Vectores en el espacio

    El espacio tridimensional se divide en tres regiones






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