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Antiderivada.

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Antiderivada, Definicin, Teorema, Integral indefinida, Propiedades de las antiderivadas, MTODOS O TCNICAS DE INTEGRACIN, Mtodo de integracin por sustitucin, fracciones, numeros racionales.

Agregado: 29 de AGOSTO de 2000 (Por ) | Palabras: 701 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografas > Matemticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Antiderivada
  • Antiderivada.: Antiderivada, Definicin, Teorema, Integral indefinida, Propiedades de las antiderivadas, MTODOS O TCNICAS DE INTEGRACIN, Mtodo de integracin por sustitucin, fracciones, numeros racionales.

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    ANTIDERIVADA

    Definicin :

    Se llama antiderivada de una funcin f definida en un conjunto D de nmeros reales a otra funcin g

    derivable en D tal que se cumpla que:

    Teorema :

    Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma funcin f en un conjunto D de nmeros reales,

    entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

    Conclusin: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de nmeros reales, entonces cualquier antiderivada de

    f es en ese conjunto D se puede escribir como , c constante real.

    Integral indefinida:

    antiderivada de f integral indefinida de f.

    f(x) : Integrando ; c : constante de integracin.

    ,  : cte real

    Tcnica para resolver antiderivada basada en la regla de derivacin de funciones compuestas.

    Propiedades de las antiderivadas: se basa en las propiedades de las derivadas ya que cualquier propiedad de las

    derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.

    Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D de nmeros reales y sean :antiderivadas

    Si es un nmero real, entonces se cumple :

    1)      

    2)

    MTODOS O TCNICAS DE INTEGRACIN

    Integracin de funciones racionales

    Son integrales de la forma: , donde y son funciones polinomiales.

    Mtodo de descomposicin en fracciones simples

    Es un mtodo algebraico aplicable solo a funciones racionales y consiste en descomponer una fraccin en suma de fracciones simples, o sea, fracciones que tengan denominadores mas sencillos que el dado.

    El procedimiento para la descomposicin de fracciones simples, es el siguiente :

    1) Si el grado efectuamos la divisin, obteniendo un cociente y el resto:

    Por definicin de divisin: divido en

    ;

    2)       Vamos a descomponer siendo

    Factoreamos el denominador. ( por teorema del lgebra : Todo polinomio con coeficientes reales puede descomponerse en factores lineales o en factores cuadratico irreducibles).

    * son nmeros reales algunos iguales o todos distintos

    Si hay factores iguales, hay factores lineales repetidos.

    * son nmeros reales algunos iguales o todos distintos.

    Diferentes casos:

    Caso 1) Todos los factores que aparecen en el denominador son lineales y distintos.

    Caso 2) El denominador de es un producto de factores todos lineales y algunos estn repetidos.

    Caso 3) En aparecen factores cuadrticos irreducibles que no se repiten.

    Caso 4) En aparecen factores cuadrticos irreducibles repetidos.

    Mtodo de integracin por partes

    Se basa en la regla de derivacin del producto de dos funciones derivables en un dominio comn.

    Sean dos funciones derivables en un dominio comn. Entonces :

    Formula del mtodo de integracin por partes

    Procedimiento :

    1)       Identificar la integral dada con la formula del mtodo parar ello descomponemos el integrando en dos factores y de tal modo que el contenga al .

    2)       Aplicar bien el mtodo surge de una buena eleccin de y .

    3)       Elijo el tal que y sea fcil de calcularlo.

    4)       Al aplicar la formula nos reemplaza el problema de resolver la en el problema de resolver la

    Condiciones para aplicar el mtodo:

    1)       En el integrando aparece el producto de dos funciones. tal que sea derivable, y a partir de sea posible

    obtener .

    2)       La integral que resulta al usar la formula del mtodo ( ) debe ser de igual complejidad o menor complejidad que la dada.

    Mtodo de integracin por sustitucin

    Este mtodo se basa en la regla de derivacin de funciones compuestas.

    Definicin :

    Sea la integral que queremos resolver y sea la sustitucin donde es una funcin derivable con derivada no nula y sea biunivoca o sea que tambin es derivable,

    si entonces :

    Condiciones para aplicar el mtodo:

    * Exista una funcin con biunivoca y derivable con derivada no nula.

    * La nueva integral en t que resulta al aplicar el mtodo , debe ser inmediata o de menor

    complejidad .


     
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