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ANTIDERIVADA

Definición :

Se llama antiderivada de una función  f   definida en un conjunto D de números reales a otra función g

derivable en D tal que se cumpla que:

Teorema :

Si dos funciones  h  y  g  son antiderivadas de una misma función  f  en un conjunto D de números reales,

entonces esas dos funciones h  y  g  solo difieren en una constante.

      

Conclusión: Si  g(x) es una antiderivada de  f  en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de

f  es en ese conjunto D se puede escribir como ,  c constante real.

Integral indefinida:

         antiderivada de  f  ó integral indefinida de  f.

f(x) :  Integrando      ;       c : constante de integración.

  ,      : cte real            

             

Técnica para resolver antiderivada basada en la regla de derivación de funciones compuestas.

         

Propiedades de las antiderivadas:  se basa en las propiedades de las derivadas ya que cualquier propiedad de las

derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.

Sean  f  y  g  dos funciones definidas en un conjunto D de números reales y sean :antiderivadas

Si es  un número real, entonces se cumple :

1)      

2)   

MÉTODOS O TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

Integración de funciones racionales

Son integrales de la forma:   , donde y son funciones polinomiales.

Método de descomposición en fracciones simples

Es un método algebraico aplicable solo a funciones racionales y consiste en descomponer una fracción en suma de fracciones simples, o sea, fracciones que tengan denominadores mas sencillos que el dado.

El procedimiento para la descomposición de fracciones simples, es el siguiente :

1)  Si el grado              efectuamos la división, obteniendo un cociente y el resto:

Por definición de división:          divido en

       ;      

2)       Vamos a descomponer    siendo

Factoreamos el denominador. ( por teorema del álgebra : Todo polinomio con coeficientes reales puede descomponerse en factores lineales o en factores cuadratico irreducibles).

*     son números reales algunos iguales o todos distintos

Si hay factores iguales, hay factores lineales repetidos.

*    son números reales algunos iguales o todos distintos.

Diferentes casos:

Caso 1)  Todos los factores que aparecen en el denominador son lineales y distintos.

Caso 2)   El denominador de es un producto de factores todos lineales y algunos están repetidos.

Caso 3)   En aparecen factores cuadráticos irreducibles que no se repiten.

Caso 4)   En aparecen factores cuadráticos irreducibles repetidos.

Método de integración por partes

Se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones derivables en un dominio común.

Sean   dos funciones derivables en un dominio común. Entonces :

           Formula del método de integración por partes

Procedimiento :

1)       Identificar la integral dada con la formula del método parar ello descomponemos el integrando en dos factores y de tal modo que el contenga al .

2)       Aplicar bien el método surge de una buena elección de y .

3)       Elijo el tal que y sea fácil de calcularlo.

4)       Al aplicar la formula nos reemplaza el problema de resolver la   en el problema de resolver la

Condiciones para aplicar el método:

1)       En el integrando aparece el producto de dos funciones. tal que sea derivable, y a partir de sea posible

obtener .

2)       La integral que resulta al usar la formula del método ( ) debe ser de igual complejidad o menor complejidad que la dada.

Método de integración por sustitución

Este método se basa en la regla de derivación de funciones compuestas.

Definición :

Sea la integral  que queremos resolver y sea la sustitución donde es una función derivable con derivada no nula  y sea   biunivoca  o sea que también es derivable,

si               entonces :       

Condiciones para aplicar el método:

*    Exista una función    con biunivoca y derivable con derivada no nula.

*    La nueva integral en  t que resulta al aplicar el método  , debe ser inmediata o de menor

complejidad .


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