1.  Encuentre el volumen de la región limitada por y = x², el eje x y la recta x = 5

alrededor del  el eje y

V = π _a ∫ ^b { F(x)² – G(x)² } D_x

V = π ₀  ∫ ⁵⁰ [(25 - √ y/2)² ] Dy

V = π ₀  ∫ ⁵⁰ [(25 -  y/2 ] Dy

V = π  [25y -  y²/4 ]⁵⁰ Dy

V = 625 π u³

2.  Encuentre el volumen de la región limitada por f(x) = x² + 1, alrededor de la recta x = 3

h = X_i² + 1

∆X_i = D_x

r_m = 3 - x

a) V =  2 π _a ∫ ^b (x) (f(x)) D_x

V =  2 π ₀ ∫ ² (3 - x) (x² + 1) D_x

V =  2 π _a ∫ ^b (-x³ + 3x² –x + 3) D_x

V =  2 π [(-x⁴/4 + x³ –x²/2 + 3x)]²

V = 16 π u³

3. Calcular el volumen del sólido generado al girar, en torno de la recta x = 2, la región

Limitada por las gráficas de y = x³ + x + 1,   y = 1    y     x = 1

V = 2 π _a ∫ ^b p(x)h(x)D_x

V = 2 π ₀ ∫ ¹  (2 – x ) (x³ + x +1 –1 )D_x

V = 2 π ₀ ∫ ¹  (-x⁴ + 2x³ –x² + 2x ) D_x

V = 2 π [-x⁵/5 + x⁴/2 –x³/3 +x² ]¹₀

V = 2 π  (-1/5 + ½  -1/3 +1 )

V = 29 π /15 u³

4. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de

  y = x² +1 ,  y = 0 , x = 0 ,  y  x = 1 en torno al eje y

Método de capas

V = 2 π _a ∫ ^b p(x)h(x)D_x

V = 2 π ₀∫ ¹ x(x² +1)D_x

V = 2 π [x⁴/4 + x²/2]¹

V = 3 π /2 u³

5. Calcular el volumen de un sólido de revolución engendrado por la región limitada

  y = 1/ (x² + 1)²  y el eje x ( x menor e igual  a 1  y x mayor e igual a 0 )

V = 2 π _a ∫ ^b p(x)h(x)D_x

V = 2 π ₀∫¹ x /(x² + 1)²   D_x

V = [-π /x² + 1 ]¹₀

V = π /2 u³

6. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por

Y = x – x³ y el eje x ( x menor e igual q 1 y x mayor e igual q 0)

V = 2 π _a ∫ ^b p(x)h(x) D_x

V = 2 π ₀ ∫ ¹ x(x – x³) D_x

V = 2 π ₀ ∫ ¹ (-x⁴ +x²) D_x

V = 2 π [-x⁵/5 + x³/3]

V = 4 π /15 u³

7.  Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar sobre el eje x la

región encerrada en el primer cuadrante por la elipse 4x² + 9y ²=36 y los ejes coordenados.

Y =  ⅔ Ö(9-x²)

V= 4π/9 0∫³ [(9-x²)] Dx

V= 4π/9 [9x - ⅓x³]³

V = 8 π u³

8.  Encontrar el volumen del sólido generado al girar sobre el eje y la región limitada por la

curva y = x³, el eje y y la recta y = 3

V = π 0∫³ [y ^2/3] Dy

V = [3/5 y ^5/3]³

V = 3.74 u³

9.  Encontrar el volumen generado al girar sobre el eje x la región encerrada por las

parábolas y = x ² , y ² = 8x

V = π 0∫² [(8x – x⁴)] dx

V = π [4x² – 1/5 x⁵]²

V = 48π / 5 u³

10.  Encontrar el volumen generado por las gráficas x = y² , x = y + 6 haciendo rotar el eje y.

V = π _a ∫ ^b { F(x)² – G(x)² } D_x

V = π _-2  ∫³ [(y + 6) ² – (y²) ² ] Dy

V = π _-2  ∫³ (y² + 12y + 36 – y⁴ ) Dy

V = π [ ⅓y³+ 6y² + 36y – 1/5 y⁵] _-2  ³

V = 500 π / 3  u³

11.  Encontrar el volumen generado por la gráfica y = x³ – x , el eje x al rotar y = 0

V = π _-1  ∫ ¹[(x³ – x )² ] Dy

V = 2π ₀  ∫ ¹[x⁶ – 2x⁴ + x² ] Dy

V = 2π [1/7 x⁷ – 2/5 x⁵ + 1/3 x³]

V = 16π /105 u³

12.  Calcular el volumen del sólido generado al girar, alrededor de la recta x = 1, la región

Limitada por la curva (x – 1)² = 20 – 4y y las rectas x = 1, y = 1, y = 3

V = π ₁∫³ [(√ 20 – 4y  + 1) – 1]² Dx

V = π ₁∫³ [ 20 – 4y  ] Dx

V = π [ 20y – 2y² ]³₁

V = 24π  u³

13. Hallar el volumen al girar el área limitada por la parábola y² = 8x  y la

ordenada correspondiente a  x = 2 con respecto al eje y

V = _-4 ∫ ⁴ 4 π D_y  -  _-4 ∫ ⁴ Px² D_y

V = 2π ₀ ∫ ⁴ (4 – x²) D_y

V = 2π ₀ ∫ ⁴ (4 – y⁴/64) D_y

V = 2π  [4y – y⁵/320]⁴₀

V = 128π /5 u³

14. Hallar el volumen generado el la rotación del área comprendida entre la parábola

y = 4x – x²  y el eje x con respecto a la recta y = 6

V = π ₀ ∫ ⁴ [6² – (6 - y)² ] D_x

V = π ₀ ∫ ⁴ (12y – y²) D_x

V = π ₀ ∫ ⁴ (48x – 28x² +8x³ –x⁴) D_x

V = π  [24x² – 28x³/3 + 2x⁴ –x⁵/5]⁴₀

V =  1408π /15 u³

15. Hallar el volumen generado el la rotación del área comprendida entre la parábola

y² = 8x  y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto a esa recta (método de anillo)

V = 8 (2) ^½  π ₀ ∫ ² (2 – x ) (x)^1/2 D_x   

V = 8 (2) ^½  π ₀ ∫ ² (2x^1/2 – x^3/2) D_x

V = 256π /15 u³

16.  Encontrar el Volumen engendrado al girar sobre el eje y, la región del primer cuadrante

Situada por encima de la parábola y = x² y por debajo de la parábola y = 2 – x²

V = 4π  ₀∫¹ (x – x³) Dx

V = 4π  ₀[ ½ x² – ¼ x⁴]¹

V =  π u³

17.  Encontrar el volumen de un sólido de revolución engendrado al girar sobre el eje y la región limitada por la curva y = (x – 1)³, el eje x, y la recta x = 2

V = 2π ₁∫² x(x – 1)³Dx

V = 2π ₁∫² (x⁴ – 3x³ + 3x² –x)Dx

V = 2π [x⁵/5 – 3x⁴/4 + x³ -  x²/2]²₁

V = 9π/10

18. Encontrar el volumen del sólido generado por las gráficas y = 4 – x² , 4y = 4 – x² al

hacer rotar el eje x.

V = π _-2∫²  [(4 – x²) ² – (1 - ¼ x² ) ² ]Dx