¿Que
es la combinatoria?
Informe
para Analisis Matematico I.
-Alumnos:
Carlos
Suarez.
Guillermo
Lombardini
Es una rama de las matemáticas que
estudia las posibles agrupaciones de objetos tomados de un conjunto dado; es de
gran importancia en otras ramas de las matemáticas. Por ejemplo, se utiliza
para el desarrollo del binomio de Newton; en la teoría de la probabilidad y en
estadística (para calcular el número de casos posibles de un sistema). También
tiene importantes aplicaciones en el diseño y funcionamiento de ordenadores o
computadoras, así como en las ciencias físicas y sociales. De hecho, la teoría
combinatoria es de gran utilidad en todas aquellas áreas en donde tengan
relevancia las distintas maneras de agrupar un número finito de elementos.
Variaciones
Las variaciones son agrupaciones
ordenadas de objetos de un conjunto. Por ejemplo, si se toma una baraja con
cuarenta cartas, cada una de las distintas formas en que se pueden repartir 4
cartas es una variación de las 40 cartas tomadas de cuatro en cuatro. El número
de variaciones de n elementos tomados de k en k se denota Vn,k, cuyo valor
viene dado por la fórmula general
donde n! —leído 'n
factorial'— representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n,
siendo 0! = 1 por definición.
Permutaciones
Las permutaciones son las distintas
formas en que se pueden ordenar los n elementos de un conjunto. Si se toma una
baraja que sólo tenga una sota (S), un caballo (C), un rey (R) y un as (A),
cada una de las formas en que estas cartas se pueden repartir es una
permutación. En este ejemplo hay 24 posibilidades: SCRA SCAR SRAC SRCA SACR
SARC CSRA CSAR CRAS CRSA CASR CARS RCSA RCAS RSAC RSCA RACS RASC ACRS ACSR ARSC
ARCS ASCR ASRC. El número de posibles permutaciones se puede calcular
observando lo que ocurre al repartir las cartas: la primera carta repartida
puede ser una de las 4 posibles cartas, la segunda es una de las tres
restantes, la tercera es una de las dos posibles y finalmente sólo queda una
cuarta carta. Esto da un número total de permutaciones igual a 4 × 3 × 2 × 1 = 24,
que se puede escribir como 4!. En general, hay n! permutaciones en las que
colocar n
elementos en orden.
El número de permutaciones de n
elementos se denota Pn. Las permutaciones son un
caso particular de las variaciones Pn = Vn,n = n!
cuando el número de elementos del conjunto de objetos es igual al de cada uno
de los conjuntos ordenados.
Combinaciones
Las combinaciones son agrupaciones
de objetos en las que no importa su orden. Siguiendo con el ejemplo del reparto
de cartas, normalmente no importa el orden en que se reciben éstas. El número
de posibles combinaciones de la mano recibida por un jugador es igual al número
de variaciones en que las cartas se podían haber repartido, dividido por el
número de posibles formas de ordenar la mano. Por ejemplo, hay V40,4
formas de repartir 4 cartas de una baraja de 40, y hay P4 de ordenar
dichas cartas. Por tanto, hay V40,4/P4 posibles
combinaciones. En general, el número de combinaciones de n elementos tomados de k
en k
se escribe Cn,k,
y su valor está dado por la siguiente fórmula:
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