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Combinatoria

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Categoría: Apuntes y Monografas > Matemticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Combinatoria
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    Que es la combinatoria?

    Informe para Analisis Matematico I.

    -Alumnos:

    Carlos Suarez.

    Guillermo Lombardini

    Es una rama de las matemticas que estudia las posibles agrupaciones de objetos tomados de un conjunto dado; es de gran importancia en otras ramas de las matemticas. Por ejemplo, se utiliza para el desarrollo del binomio de Newton; en la teora de la probabilidad y en estadstica (para calcular el nmero de casos posibles de un sistema). Tambin tiene importantes aplicaciones en el diseo y funcionamiento de ordenadores o computadoras, as como en las ciencias fsicas y sociales. De hecho, la teora combinatoria es de gran utilidad en todas aquellas reas en donde tengan relevancia las distintas maneras de agrupar un nmero finito de elementos.

    Variaciones

    Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto. Por ejemplo, si se toma una baraja con cuarenta cartas, cada una de las distintas formas en que se pueden repartir 4 cartas es una variacin de las 40 cartas tomadas de cuatro en cuatro. El nmero de variaciones de n elementos tomados de k en k se denota Vn,k, cuyo valor viene dado por la frmula general

    donde n! ledo 'n factorial' representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n, siendo 0! = 1 por definicin.

    Permutaciones

    Las permutaciones son las distintas formas en que se pueden ordenar los n elementos de un conjunto. Si se toma una baraja que slo tenga una sota (S), un caballo (C), un rey (R) y un as (A), cada una de las formas en que estas cartas se pueden repartir es una permutacin. En este ejemplo hay 24 posibilidades: SCRA SCAR SRAC SRCA SACR SARC CSRA CSAR CRAS CRSA CASR CARS RCSA RCAS RSAC RSCA RACS RASC ACRS ACSR ARSC ARCS ASCR ASRC. El nmero de posibles permutaciones se puede calcular observando lo que ocurre al repartir las cartas: la primera carta repartida puede ser una de las 4 posibles cartas, la segunda es una de las tres restantes, la tercera es una de las dos posibles y finalmente slo queda una cuarta carta. Esto da un nmero total de permutaciones igual a 4  3  2  1 = 24, que se puede escribir como 4!. En general, hay n! permutaciones en las que colocar n elementos en orden.

    El nmero de permutaciones de n elementos se denota Pn. Las permutaciones son un caso particular de las variaciones Pn = Vn,n = n! cuando el nmero de elementos del conjunto de objetos es igual al de cada uno de los conjuntos ordenados.

    Combinaciones

    Las combinaciones son agrupaciones de objetos en las que no importa su orden. Siguiendo con el ejemplo del reparto de cartas, normalmente no importa el orden en que se reciben stas. El nmero de posibles combinaciones de la mano recibida por un jugador es igual al nmero de variaciones en que las cartas se podan haber repartido, dividido por el nmero de posibles formas de ordenar la mano. Por ejemplo, hay V40,4 formas de repartir 4 cartas de una baraja de 40, y hay P4 de ordenar dichas cartas. Por tanto, hay V40,4/P4 posibles combinaciones. En general, el nmero de combinaciones de n elementos tomados de k en k se escribe Cn,k, y su valor est dado por la siguiente frmula:


     
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