CONSTRUCTIVISMO Y FORMALISMO: DOS FORMAS DIFERENTES DE VER LA MATEMATICA

GONZALO LÁZARO FERNÁNDEZ

En las próximas líneas hablaremos de dos tendencias que han coexistido a lo largo de la historia de las Matemáticas y que a lo largo de ella han aparecido enfrentadas la una con la otra, hablamos del constructivismo y del formalismo.

Desde la época de Aristóteles y Platón se ha creído que las matemáticas existen con independencia del conocimiento humano y que son una verdad absoluta, y así, el trabajo de los matemáticos era el descubrir esa verdad, en lo que personalmente estoy de acuerdo. Pero antes de dar ninguna opinión veamos como se desarrolló esta idea a lo largo de la historia.

El embrollo viene cuando algunos matemáticos niegan esta idea de matemáticas independientes del conocimiento humano. Así, un matemático alemán llamado Leopold Kronecker escribió: "Dios creó los números enteros y todo lo demás es obra del hombre". Según el, el trabajo de los matemáticos ya no es descubrir, sino inventar. Esta es la principal idea de la llamada matemática constructivista, que afirma que para probar la existencia de un objeto matemático existe es necesario mostrar como puede construirse. El filósofo Immanuel Kant afirmó en el s.XVII que la razón ultima de veracidad en la matemática residía en el hecho de que sus nociones puedan ser construidas por la mente humana.

Sobre todo, la idea matemática que a producido mayor controversia en la historia de las matemáticas ha sido la noción de infinito.

Ya los griegos procedieron con extrema cautela en lo concerniente al infinito. Euclides, al referirse a rectas se refería a segmentos cuya longitud la podemos hacer todo lo larga que queramos, y esta es la noción de infinito potencial. Podemos pensar también que existen en verdad rectas infinitamente largas que es la noción de infinito actual y es metafísicamente muy distinta a la anterior.

Esta noción de infinito actual no es utilizada por los matemáticos hasta bien entrada la era moderna de la matemática que comienza en el s.XVII cuando René Descartes y Pierre de Fermat introducen las coordenadas cartesianas produciendo un cambio fundamental en el desarrollo de las matemáticas: los objetos empiezan a ser números y no longitudes.

Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollan a partir de ese cambio el cálculo diferencial, que maneja números infinitamente pequeños pero distintos de cero.

Pero este descubrimiento produjo serias discusiones con los matemáticos de la época y pasó algún tiempo hasta que estos vieron su innegable utilidad y comenzaron a aceptarlo, aunque dudando de su base filosófica.

Aun  así, toda esta controversia produjo a finales del s.XIX una de las teorías más importantes (y porqué no decirlo, más discutidas) de la historia de las matemáticas: la teoría de conjuntos, que fue desarrollada sobre todo por el matemático Georg Cantor.

Cantor definió los conjuntos como colecciones de objetos reales o abstractos. Idea que tuvo grandes consecuencias sobre la noción de infinito, ya que hay conjuntos que por su naturaleza son infinitos actuales, como por ejemplo R.

El estudio de estos objetos condujo a Cantor a la conclusión de que igual que varía la cardinalidad de los conjuntos finitos, también varía la de los conjuntos infinitos, por ejemplo, R y N no tienen la misma cardinalidad ya que R es "más infinito" que N. Cantor demostró también que para cada conjunto infinito, existe otro de mayor cardinalidad. Y aunque ahora nos parezca extraño, muchos matemáticos de la época encontraron absurda la noción de conjunto infinito como ente individual.

No obstante, todavía produjo más escándalo las aplicaciones que Cantor dio a los conjuntos infinitos. Una de ellas fue el procedimiento que ideó para demostrar que existen infinitos números transcendentes, esto es, números que no verifican ninguna ecuación de la forma :

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀=0 con a_iÎZ  "i

Demostró primero que el conjunto de los números algebraicos (los que si verifican alguna de las ecuaciones anteriores) es infinito numerable y luego supuso que el conjunto de los números trascendentales también es infinito numerable, pero como R es infinito no numerable, llegó a una contradicción.

Esta forma de demostración por reducción al absurdo fue criticada por Kronecker y sus seguidores ya que demostraba existencia sin construcción, y según ellos, para establecer la existencia de un objeto era necesaria la construcción de este, es decir, era necesario un procedimiento por el cual el objeto fuese construido al menos en principio, aunque no era necesario que tal procedimiento fuese llevado a la práctica, lo único que pedía era que la construcción fuese llevada a cabo en un número finito de pasos y que en cada paso no hubiese ninguna duda de como se procedería en el paso siguiente. No hace falta decir que Cantor no cumplía ninguno de estos requisitos en su demostración ya que no generaba en ella ningún número trascendental.

La demostración que dio Cantor fue la primera de las llamadas demostraciones de pura existencia. El establecía la existencia de los números trascendentales demostrando que la no existencia nos llevaba a una contradicción. Estas demostraciones por reducción al absurdo eran aceptadas por todos los matemáticos si se trataban de conjuntos finitos ya que se podía mostrar cualquier objeto inspeccionando todos los miembros del conjunto, pero esto no es posible para un conjunto infinito como el de los números trascendentales y este es el motivo por el cual muchos matemáticos no aceptaban la demostración de Cantor.

Pero entonces apareció el bueno de David Hilbert y lo hizo todavía más difícil, ya que en 1889 publicó una demostración de pura existencia en la que demostraba la existencia de ciertos objetos que nadie ha visto jamás y de los que no se tiene la menor idea de construirlos.

Tras la muerte del Kronecker en 1891, la teoría de conjuntos fue produciendo valiosos resultados, y la lucha que mantenían los matemáticos constructivistas contra los métodos de Cantor y luego Hilbert se fue haciendo cada vez más débil hasta que apareció en escena el matemático L.E.J. Brouwer. Este opinaba que había que hacer distinción entre la existencia real, constructiva y la existencia pura o de lo contrario las matemáticas llegarían a carecer de significado.

Brouwer no negaba la posibilidad de demostrar la existencia de objetos que no pueden se construidos, el afirmaba que si les damos la misma validez que a los objetos reales, es decir, finitamente construidos, entonces las matemáticas serian inciertas. Según el, no podemos aplicar la ley aristotélica del tercero excluido a los conjuntos infinitos.

A partir de 1900, según se reorganizaba las matemáticas sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos aparecieron algunas paradojas que indicaban que los fundamentos teorico-conjuntistas de las matemáticas debían de tener defectos y, según Brouwer, estos defectos eran debidos a la introducción por parte de Cantor de objetos ideales. Brouwer propuso que todas las matemáticas hasta entonces fuesen reconstruidas según procedimientos constructivistas. A esta corriente se la denominó intuicionismo.

Muchos matemáticos, incluidos algunos seguidores de Brouwer eran susceptibles a esta nueva corriente ya que daba el traste con todo lo descubierto hasta entonces.

Hilbert ideó otro plan llamado formalismo. Según el, aunque los objetos ideales carecieran de significado, de estos se podrían deducir objetos y teoremas que si tuviesen significado. El sistema ideado por Hilbert requería presentar la matemática como un sistema formal axiomático utilizando las reglas de la lógica, así, todo razonamiento que pudiera provocar paradojas quedaría al descubierto. Con todo esto, Hilbert introdujo la llamada teoría de la demostración (o también metamatemática).

Aún así, Brouwer no quedó satisfecho y prosiguió con sus intentos de demostrar que las matemáticas se podían realizar de forma constructivista.

Y aunque en 1931, Kurt Gödel demostrase que el esquema formalista de Hilbert estaba condenado al fracaso, era tal la aceptación que tenía el formalismo que era imposible su rechazo. Hoy en día, la mayoría de los matemáticos prefieren la elegancia del formalismo de Hilbert al intuicionismo de Brouwer.

No obstante, el debate sobre algunos aspectos de la teoría de conjuntos (y en especial sobre el axioma de elección) está produciendo un renacido interés sobre las ideas constructivistas. Este interés ha sido impulsado sobre todo por Errett Bishop, que en 1967 publicó su libro The Foundations of Constructive Mathematics. El trabajo de Bishop pone en relieve que los métodos constructivistas pueden ser tan beneficiosos como los métodos formalistas para el desarrollo de las matemáticas.

La principal diferencia entre Bishop y Brouwer es que el primero no rechaza la teoría de conjuntos de Cantor, sino que intenta modificarla para dotarla de validez constructivista. Según esto, el axioma de elección, que fue el más criticado de la teoría de conjuntos de Cantor por Brouwer y sus seguidores, es ahora totalmente aceptada.

Según Bishop, tan pronto se viesen claramente las ventajas de su programa, las matemáticas modernas dejarían de existir y pasarían a ser parte de las matemáticas constructivistas, y la razón es que, a fin de cuentas, en matemática aplicada lo importante es encontrar la solución a cierto problema y no solo saber su existencia.

A mi entender, las matemáticas son como "el lenguaje de la Naturaleza" y esta ha existido siempre, así que por ejemplo, los grupos existían antes de que Galois los descubriera. Pero también pienso que sería un error dejar de lado la matemática constructivista ya que esta intenta darnos una visión más clara de la realidad al intentar mostrarnos los objetos tal y como son. Se tendría que intentar que una vez demostrada la existencia de cierto objeto mediante una demostración de pura existencia (más corta y elegante) se efectuase una construcción del objeto que ya sabemos que existe. Y todo ello sin rechazar, como ya he dicho antes, la existencia de las matemáticas con independencia del conocimiento humano. Puesto que las leyes de la Naturaleza han existido y existirán siempre, con ellas existirá su lenguaje.