1. Determinantes. Nociones Básicas:

La noción de los determinantes tuvo su origen en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales; sin embargo actualmente tiene muchas aplicaciones en otras ramas de la matemática y de la física

Comenzaremos definiendo determinantes:

Sea una matriz cuadrada A de orden (nxn), se llama determinante de la matriz A y se representa por ½A½, a la suma de todos los productos de n factores que se pueden formar tales que cada producto tenga un elemento y solo uno de cada fila y cada columna anteponiendo el signo (+)  ó (–) dependiendo si la permutación de los subíndices de las filas y columnas son de la misma o de distinta clase. Por ejemplo:

Luego: El signo es Å debido a que existen dos permutaciones respecto a la permutación original.

En consecuencia: Dada una matriz de orden dos, llamaremos determinante de A, el cual denotamos así:  ½A½ ó dte(A), al numero real ó complejo: a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁. esto es

 

Los números a₁₁, a₁₂, a₂₁ y  a₂₂; son llamados elementos del determinantes de A. Además a₁₁, a₂₂ Forman la diagonal principal (+) y a₁₂, a₂₁ forman la otra diagonal (–)

Ejemplo:

(a) Sí

(b) Sí =(-2)(1+i) – (i)(i)

(c) Sí

Se observa que el determinante de una matriz es un numero real o complejo.  (No es una Matriz)

I.             Dada una matriz de orden tres.

 

II.        La regla que daremos a continuación para e calculo de determinantes de tercer orden (solamente) es la siguiente. (Según Sarrus)

 

1. Se escribe el determinante de la matriz y se repiten las dos primeras filas colocándolas al final de la ultima fila; así.

 

2. se multiplican las diagonales de la derecha a izquierda y de arriba – abajo, cada una con el signo más (+)

 

3. se multiplican los elementos de las otras tres diagonales de derecha a izquierda y de arriba – abajo con el signo menos (–)

 

4. se efectúa la suma algebraica y el resultado es el determinante buscado. Es decir:

 

= se observa que I es igual a II

 

Ejemplo: Calcule el determinante de la matriz         

½A½=3.5.7+6.8.1+9.2.4 – 1.5.9 – 4.8.3 – 7.2.6

½A½=105+48+72 – 45 – 96 – 84=0

Nota: También se pude seguir los siguientes esquemas:

 

                   

Para los términos Positivos	Para los términos Negativos

Ejemplo: Si  A= Þ para el calculo del determinante de la matriz  

=4.2.4+5.5.3+4.5.0          y	=–1.5.4–2.2.3–5.4.4
=32+75+0 =107	=–20–0–80 =–100
\ Det.(.A)=+107 – 100=+7

Determinante de orden N

Se observa que para definir determinantes de orden tres usamos los conocimientos de determinantes de orden dos; para definir determinantes de orden cuatro usamos los conocimientos de los determinantes de orden tres y así sucesivamente. Para definir determinantes de orden n nos basaremos en los determinantes de orden (n-1) y de algunos conceptos previos, como son menores y cofactores.

Menor de una matriz (Mij)

Llamaremos menor ij – ésimo, una matriz de orden (n-1) que se obtiene de la matriz A al eliminar la i – esima fila y la y la j – esima columna.  El ij – esimo menos de A lo denotaremos así Mij

Para poder entender mejor como se saca un menor de una matriz, expondremos un ejemplo.

Primero se tacha la fila uno  la columna uno, lo que queda es el menor de la eliminación de la fila uno y columna uno (M11)

Ejemplo: en este ejemplo utilizaremos una matriz de orden tres y los menores serán de orden 2

Sí entonces los menores de a son: