3. Teoremas Básicos. Enunciados y Verificación.

3.1        Determinantes y matrices diagonales

El determinante de una matriz diagonal es igual al productos de los elementos de su diagonal principal. Es decir:

Si Entonces el determinante de A es: |A|= a₁₁.a₂₂.₃₃... a_nn

Ejemplo: Si

3.2        Determinante y matriz identidad

El determinante de la matriz identidad es igual a uno (1)

Ejemplo: Si

3.3        Determinante y matriz triangular: superior o inferior:

El determinante de una matriz triangular se calcula fácilmente, cualquiera sea su orden, desarrollándolo según la primera fila (para matrices triangulares inferiores) ó según la primera columna (para matrices triangulares superiores)

Una matriz triangular Inferior

Ejemplo: Sea Producto de su diagonal principal

Idénticamente para una matriz triangular Superior

Ejemplo: Sea Producto de su diagonal principal

3.4        El determinante de la suma de dos matrices, de orden (nxn), no es siempre igual a la suma de los determinantes de dos matrices. En particular sean A y B dos matrices de segundo orden:

Entonces Det.(A+B) ¹ Det.(A)+ Det.(B)

No son iguales

3.5        Determinante del producto de dos matrices

Si A y B son dos matrices de orden (nxn) entonces el Det.(A.B)= Det.(A)+ Det.(B)

Sea

entonces el Det(A.B)=Det(A) x Det(B)

Det(A.B)=-24-32-6+72+16+4=30

Det(A)=0+12-4-0+3-6=5

Det(B)=0+12-1-8-0+3=6

Luego se verifica que: det(A+B)=30=5x6=det(A) x det(B)

3.6        Determinante de la traspuesta de una matriz

Para cualquier matriz cuadrada A buscar el determinante de A y el de A^T y verificar si son iguales

3.7        Determinante del producto aA, donde a es un escalar y A es una matriz cuadrada de orden (nxn). Entonces el determinante de aA es igual al determinante de aⁿ

además a² det(A)=(-3)²[0+6]=54

3.8        Determinante y matriz inversa

Si A es una matriz invertible, entonces det(A^-1)xdet(A)=1

Si entonces la inversa de A es tal que

Ax A^-1=I =>

se verifica que det(A^-1)xdet(A)=1

4. La regla de Cramer

Matemático suizo. Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofia en la citada universidad. En 1731 presentó en la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental es la Introduction à l'analyse des courbes algébriques (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algégricas según los principios

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. que cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).

El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.

Por inversión de la matriz de coeficientes

Si A•X = B, entonces X = A^-1B.

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.

Cramer obtuvo las incógnitas despejadas de un sistema en función de determinantes .

Resolvamos el sistema :

Las fórmulas son :

Recordemos que la fórmula de los determinantes (3x3) es :

Como se puede observar , para que podamos utilizar el método de Cramer , el determinante de la matriz de los coeficientes no debe ser 0 para que el denominador de las fórmulas no se anule . Si diese 0 es que una de las incógnitas se puede poner en función de las otras , es decir , tendríamos parámetros . La forma de resolver este problema es pasar al otro miembro (al lado del término independiente) la incógnita que tomemos como parámetro y de esta forma tendremos un determinante que no se anula pero de menor grado . Al aplicar las fórmula de Cramer tendremos un parámetro en la columna de los términos independientes .