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Determinantes

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Algebra: Nociones Básicas, Propiedades fundamentales del determinante de una matriz cuadrada, Teoremas Básicos. Enunciados y Verificación, La regla de Cramer

Agregado: 07 de ABRIL de 2001 (Por David) | Palabras: 1894 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografías > Matemáticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Determinantes
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    1. Determinantes. Nociones Básicas:

    La noción de los determinantes tuvo su origen en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales; sin embargo actualmente tiene muchas aplicaciones en otras ramas de la matemática y de la física

    Comenzaremos definiendo determinantes:

    Sea una matriz cuadrada A de orden (nxn), se llama determinante de la matriz A y se representa por ½A½, a la suma de todos los productos de n factores que se pueden formar tales que cada producto tenga un elemento y solo uno de cada fila y cada columna anteponiendo el signo (+)  ó (–) dependiendo si la permutación de los subíndices de las filas y columnas son de la misma o de distinta clase. Por ejemplo:

    a12

    a23

    a31

    ......par (+)

    1 

    2

    3

    ......par [Dos Inversiones]

      2

      3

       1

    Luego: El signo es Å debido a que existen dos permutaciones respecto a la permutación original.

    En consecuencia: Dada una matriz de orden dos, llamaremos determinante de A, el cual denotamos así:  ½A½ ó dte(A), al numero real ó complejo: a11 a22 – a12 a21. esto es

    det(A)= ½A½==

    a11   a 22

    a12    a21

                             Å

    1

    2

    ....Par

    1

    2

    ....Par

     

      1 

       2

    ....Par(+)

       2

       1

    ....Impar (–)

     

      Cero Inversiones (+)

    Una Inversión (–)

     

    Los números a11, a12, a21 y  a22; son llamados elementos del determinantes de A. Además a11, a22 Forman la diagonal principal (+) y a12, a21 forman la otra diagonal (–)

    Ejemplo:

    (a) Sí   

    (b) Sí =(-2)(1+i) – (i)(i)

    (c) Sí

    Se observa que el determinante de una matriz es un numero real o complejo.  (No es una Matriz)

    I.             Dada una matriz de orden tres.

    Nº Invers(0)

    Par(+)

    Nº Invers(4)

    Par(+)

    Nº Invers(4)

    Par(+)

    Nº Invers(3)

    Par(–)

    Nº Invers(3)

    Par(–)

    Nº Invers(3)

    Par(–)

    El numero de inversiones me indica la cantidad de permutaciones que se tuvo que hacer. Si el numero es par la permutación es positiva y si es impar la permutación es negativa

    II.        La regla que daremos a continuación para e calculo de determinantes de tercer orden (solamente) es la siguiente. (Según Sarrus)

    1. Se escribe el determinante de la matriz y se repiten las dos primeras filas colocándolas al final de la ultima fila; así.

    2. se multiplican las diagonales de la derecha a izquierda y de arriba – abajo, cada una con el signo más (+)

    3. se multiplican los elementos de las otras tres diagonales de derecha a izquierda y de arriba – abajo con el signo menos (–)

    4. se efectúa la suma algebraica y el resultado es el determinante buscado. Es decir:

    = se observa que I es igual a II

    Ejemplo: Calcule el determinante de la matriz         

    ½A½=3.5.7+6.8.1+9.2.4 – 1.5.9 – 4.8.3 – 7.2.6

    ½A½=105+48+72 – 45 – 96 – 84=0

    Nota: También se pude seguir los siguientes esquemas:


                       

    Para los términos Positivos

    Para los términos Negativos

    Ejemplo: Si  A= Þ para el calculo del determinante de la matriz  

      =4.2.4+5.5.3+4.5.0          y

    =–1.5.4–2.2.3–5.4.4

    =32+75+0

    =107

    =–20–0–80

    =–100

    \ Det.(.A)=+107 – 100=+7

    Determinante de orden N

    Se observa que para definir determinantes de orden tres usamos los conocimientos de determinantes de orden dos; para definir determinantes de orden cuatro usamos los conocimientos de los determinantes de orden tres y así sucesivamente. Para definir determinantes de orden n nos basaremos en los determinantes de orden (n-1) y de algunos conceptos previos, como son menores y cofactores.

    Menor de una matriz (Mij)

    Llamaremos menor ij – ésimo, una matriz de orden (n-1) que se obtiene de la matriz A al eliminar la i – esima fila y la y la j – esima columna.  El ij – esimo menos de A lo denotaremos así Mij

    Para poder entender mejor como se saca un menor de una matriz, expondremos un ejemplo.

    Primero se tacha la fila uno  la columna uno, lo que queda es el menor de la eliminación de la fila uno y columna uno (M11)

    Ejemplo: en este ejemplo utilizaremos una matriz de orden tres y los menores serán de orden 2

    entonces los menores de a son:  

    Eliminando la F3 y C3

    Cofactor de una Matriz (Cij)

    Llamaremos cofactor ij – esimo de una matriz A de orden n, a la expresión: Cij =(-1)i+i Det. Mij. Es decir, el ij – esimo cofactor de A se obtiene calculando el determinante del ij – esimo menor de A y se multiplica por (-1)i+j este ultimo valor es (1) si i+j es par y (-1) si i+j es impar    

    Si los cofactores son:

    2. Propiedades fundamentales del determinante de una matriz cuadrada.

    -         Determinantes de una matriz con un renglón (o una columna) de ceros

    Si tos los elementos de una fila (o columna) de una matriz  A, son ceros, entonces el determinante de A es cero

    Demostración: Supongamos que la i – ésima fila de A esta formada solamente por ceros, esto es:

     

    La demostración es análoga si la j – ésima columna es cero

    Ejemplo:

    Si A= desarrollando a lo largo de la cuarta columna se obtiene

    |A|= 0.C14 + 0.C24 + 0.C34 + 0.C44= 0+0+0+0=0

    -         Determinantes de una matriz con dos renglones (o dos columnas) iguales

    Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales, su determinante es cero 

    Demostración: Supongamos que la fila (i) la columna (k) de A son iguales, probemos que |A|=0 esto es:

    En efecto: Si intercambiamos estas filas obtenemos otra matriz B, tal que: |A|= – |B| pero como la fila (i y la k) son iguales, si las intercambiamos obtenemos la misma matriz, por tanto A=B; es decir: |A|= –|B|= –|A|(por que A=B) 2|A|=0 |A|=0

    Ejemplo: Si =0 (Debido a que f1 = f3) Comprobación

    Aplicando Sarrus. Calculemos el |A| y verifiquemos que el resultado es cero.

    =15senq+12cosq+20cosq – 15 senq – 20cosq – 12cosq=0

    -         Determinantes de una matriz con una fila (o una columna) múltiplo escalar de otra.

    -         Si una fila (o una columna) de una matriz A es múltiplo de otra, entonces el determinante de A es cero

    Demostración: Supongamos que la fila k es a veces  fila (i) de

    Probemos que |A|=0

    =a|A|=a.0=0

    (ya que |A|=0 por la propiedad anterior)

    -         Que le sucede al determinante de una matriz cuadrada cuando se aplica cualquiera de las operaciones elementales sobre los reglones (o columnas) de dicha matriz.

    -         Las operaciones elementales en filas sobre la matriz cuadrada A;  tienen efecto en el determinante:

    Si se intercambian dos filas diferentes de A, cambia el signo del determinante. Ejemplo:

        \Al intercambiar dos filas cualesquiera que sea, el determinante cambia de signo. 

    -         Si se multiplica una fila de A por un escalar, no nulo, el determinante se multiplica por el escalar.  Ejemplo:

    Si    

    -         Si un múltiplo de una fila (i) se suma a una (j) fila diferente el determinante no cambia.

    Ejemplo.

    Sea

    Realizando la operación elemental F31(-2)obtendremos una nueva matriz a la que llamaremos B

      Entonces: |A|=|B|

    3. Teoremas Básicos. Enunciados y Verificación.

    3.1        Determinantes y matrices diagonales

    El determinante de una matriz diagonal es igual al productos de los elementos de su diagonal principal.  Es decir:

    Si Entonces el determinante de A es: |A|= a11.a22.33... ann

    Ejemplo: Si

    3.2        Determinante y matriz identidad

    El determinante de la matriz identidad es igual a uno (1)

    Ejemplo: Si   

    3.3        Determinante y matriz triangular: superior o inferior:

    El determinante de una matriz triangular se calcula fácilmente, cualquiera sea su orden, desarrollándolo según la primera fila (para matrices triangulares inferiores) ó según la primera columna (para matrices triangulares superiores)

    Una matriz triangular Inferior

    Ejemplo: Sea    Producto de su diagonal principal

    Idénticamente para una matriz triangular Superior

    Ejemplo: Sea    Producto de su diagonal principal

    3.4        El determinante de la suma de dos matrices, de orden (nxn), no es siempre igual a la suma de los determinantes de dos matrices.  En particular sean A y B dos matrices de segundo orden:

    Entonces Det.(A+B) ¹ Det.(A)+ Det.(B)

      No son iguales

    3.5        Determinante del producto de dos matrices

    Si A y B son dos matrices de orden (nxn) entonces el  Det.(A.B)= Det.(A)+ Det.(B)

    Sea   

    entonces el Det(A.B)=Det(A) x Det(B)

    Det(A.B)=-24-32-6+72+16+4=30

    Det(A)=0+12-4-0+3-6=5

    Det(B)=0+12-1-8-0+3=6

    Luego se verifica que: det(A+B)=30=5x6=det(A) x det(B)

    3.6        Determinante de la traspuesta de una matriz

    Para cualquier matriz cuadrada A buscar el determinante de A y el de AT y verificar si son iguales

    3.7        Determinante del producto aA,  donde a es un escalar y A es una matriz cuadrada de orden (nxn).  Entonces el determinante de aA es igual al determinante de an

      además a2 det(A)=(-3)2[0+6]=54

    3.8        Determinante y matriz inversa

    Si A es una matriz invertible, entonces  det(A-1)xdet(A)=1

    Si   entonces la inversa de A es tal que

    Ax A-1=I =>

    se verifica que det(A-1)xdet(A)=1

     

    4. La regla de Cramer

    Matemático suizo. Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofia en la citada universidad. En 1731 presentó en la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental es la Introduction à l’analyse des courbes algébriques (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algégricas según los principios

    Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. que cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).

    El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.

    Por inversión de la matriz de coeficientes

    Si A·X = B, entonces X = A-1B.

    Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.

    Cramer obtuvo las incógnitas despejadas de un sistema en función de determinantes .

    Resolvamos el sistema :

    Las fórmulas son :

    Recordemos que la fórmula de los determinantes (3x3) es :

    Como se puede observar , para que podamos utilizar el método de Cramer , el determinante de la matriz de los coeficientes no debe ser 0 para que el denominador de las fórmulas no se anule . Si diese 0 es que una de las incógnitas se puede poner en función de las otras , es decir , tendríamos parámetros . La forma de resolver este problema es pasar al otro miembro (al lado del término independiente) la incógnita que tomemos como parámetro y de esta forma tendremos un determinante que no se anula pero de menor grado . Al aplicar las fórmula de Cramer tendremos un parámetro en la columna de los términos independientes .


     
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