SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

 

 

INTRODUCCION

 

         Si buscamos la palabra “lineal” en un diccionario, encontraremos algo como lo siguiente: lineal, adj. Relativo a las líneas o de aspecto de línea. En matemáticas la palabra “lineal” significa algo más que eso. Sin embargo, gran parte de la teoría del álgebra lineal elemental es de hecho una generalización de las propiedades de las líneas rectas.  Como repaso, damos aquí algunos de los hechos fundamentales acerca de las citadas rectas:

 

1.    La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) esta dada por (si x₂  ¹  x₁).

 

m =   y2 – y1  =   D y

                       x2 – x 1      D x

 

2.   Si X₂ – X₁ = 0 y y₂  ¹  y₁ entonces la recta es vertical y se

      dice que la pendiente no esta definida.

 

3.    Cualquiera recta (excepto una con pendiente indefinida), se pude describir expresando su ecuación en la forma simplificada  y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y en el punto donde la recta cruza al eje y).

 

4.    Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

 

5.    Si la ecuación de una recta es ax + by = c (b ¹0) entonces, como se ve fácilmente, m = - a/b

 

6.    Si m₁ es la pendiente de la recta L₁, m₂ la del L₂, m₁ ¹ 0  y L₁, L₂ son perpendiculares, entonces m₂ = - 1m₁.

 

7.    Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero.

 

8.    Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida.

 

DOS ECUACIONES LINEALES EN DOS INCOGNITAS

 

 

         Consideramos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas x₁ y x₂:

 

 

                            a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁

                            a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂

 

         donde a₁₁, a₁₂, a₂₂, b₁ y b₂ son números dados. Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una línea recta (en el plano x₁  x₂ en vez del plano xy). La pendiente de la primera recta es –a₁₁/a₁₂ y la pendiente de la segunda es –a₂₁/a₂₂ (si a₁₂ ¹ 0  y  a₂₂ ¹ 0). Una solución del sistema (1) es un par de números, denotados (x₁, x₂), que satisface (1). Las preguntas que surgen naturalmente son: ¿cuándo (1) tiene soluciones? y, si la tiene, ¿cuántas son? Responderemos a estas preguntas después de ver algunos ejemplos. En estos ejemplos usaremos dos propiedades importantes del álgebra elemental:

 

 

         Propiedad A.   Si a = b  y c  = d entonces a + c = b + d

 

         Propiedad B.   Si a = b y c es cualquier número real,

                                  entonces ca = cb.

 

         La propiedad A dice que si sumamos dos ecuaciones obtenemos una tercera ecuación valida. La B dice que si multiplicamos ambos lados de una ecuación por una constante obtenemos una segunda ecuación valida.

 

 

VECTORES

 

         El estudio de los vectores y matrices es parte medular del álgebra lineal. Es el estudio de vectores comenzó esencialmente con el trabajo del gran matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865). Su deseo de encontrar un modo de representar ciertos objetos en el plano y en el espacio, lo llevó al descubrimiento de lo que llamó cuaterniones. Este concepto lo condujó al de lo que actualmente se denomina vectores. Durante la vida Hamilton, y en lo que restó del siglo diecinueve, existió un considerable debate sobre la utilidad de los cuaterniones o cuaternios y de los vectores. A fin de siglo, el gran físico británico Lord Kelvin, escribió acerca de los cuaternios. “aun cuando son notablemente ingeniosos, han demostrado ser una mala fortuna para todos aquellos que de alguna manera los han estudiado (así como) los vectores… nunca han sido de la más remota utilidad a criatura alguna”.

 

         Sin embargo Kelvin estaba equivocado. Actualmente, casi todas las áreas de la física clásica y moderna son representadas por medio del lenguaje de los vectores. También se usan cada vez más frecuentemente en las ciencias biológicas y sociales.

 

         En la sección 1.2. describimos la solución a un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas como un par de números (x₁, x₂). En el ejemplo 1.6 expresaremos la solución de un sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas como la terna de números (4, -2, 3). Ambos, (x₁, x₂) y (4, -2, 3) son vectores.

 

 

         Vector renglón de n componentes. Definimos un vector renglón de n componentes (o n–dimensional) como un conjunto ordenado de n números escrito como

 

                            (x₁, x₂, …, x_n)                                                     (1)

 

         Vector columna de n componentes. Un vector columna de n componentes (o n-dimensional) es un conjunto ordenado  de n números escrito como

 

                                               X₁

                                               X₂

                                               .

                                               .

                                               .

                                               X_n                                                    (2)

 

         En (1) o (2), x1 se llama la primera componente del vector, x₂ es la segunda componente, y así sucesivamente. En general, x_k es la k-ésima componente del vector.

 

         Por simplicidad, frecuentemente nos referimos a un vector renglón n-dimensinal como un vector renglón o un n-vector. De igual manera, usamos el término vector columna (o n-vector) para denotar a un vector columna n-dimensional. Cualquier vector con todas sus componentes iguales a cero se llama vector cero.

 

 

 

 

ESPACIOS VECOTORIALES

 

 

INTRODUCCIÓN

 

         Según se vio en el capitulo anterior, los conjuntos R² (vectores en el plano) y R³ (vectores en el espacio) tienen propiedades interesantes. Así, si sumamos dos vectores en R² obtenemos otro vector en R². Sometidos a la suma, los vectores en R² son conmutativos y satisfacen la ley asociativa. Si X Î R²,  entonces       x + 0 = x y x + (- x) = 0. Además, podemos multiplicar los vectores en R² por escalares y establecer varias leyes distributivas. Las mismas propiedades también valen en R³.

 

         A los conjuntos como R² y R³ se los llama espacios vectoriales. Intuitivamente, podemos decir que un espacio vectorial es un conjunto de objetos que cumplen con las reglas descritas en el párrafo anterior.

 

         En este capítulo pasaremos de un mundo concreto, en donde resolvíamos ecuaciones y tratábamos con vectores fácilmente visualizables, a un mundo abstracto de espacios vectoriales arbitrarios. Esto es muy ventajoso, ya que, si establecemos una cierta propiedad sobre espacios vectoriales en general, podemos aplicar dicha propiedad a todo espacio vectorial. De otra forma, tendríamos que demostrar dicha propiedad una y otra vez para cada nuevo espacio vectorial que estuviéramos tratando (y de hecho, hay una cantidad innumerable de ellos). Además, como se verá más adelante, los teoremas abstractos que demostraremos no son más difíciles que los que ya hemos visto en este trabajo.

 

 

 

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS

 

         Espacio vectorial real. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas que se enumeran a continuación.

 

         Notación.  Si x y y están en V y si a es numero real, entonces escribiremos x + y para la suma de x y y  y a x para el producto escalar de  a y x.

 

         Antes de enumerar las propiedades en un espacio vectorial, hagamos un par de aclaraciones. Primero, si bien es cierto que es muy útil pensar en R2 o en R3 cuando tratamos con algún espacio vectorial, es frecuente encontrarse con espacios vectoriales cuya forma es muy diferente de la de estos espacios tan familiares. Segundo, la definición 1 se refiere a un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que usamos son reales. Es muy fácil definir un espacio vectorial complejo usando números complejos en lugar de números reales. En este libro se trata básicamente  con espacios vectoriales reales, pero no es muy difícil hacer generalizaciones a otros conjuntos de escalares.

 

 

Axiomas de un espacio vectorial

 

         1.   Si x Î V  y  y Î V, entonces x + y  Î V (es decir, V es     

               cerrado para la suma).

 

2.    Para todos x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma).

 

3.    Existe un vector 0 Î V tal que para todos X Î V, x + 0 = 0 +  

     x  = x (0 se conoce como neutro aditivo).

 

4.    Si X Î V, existe un vector –x  en V tal que x + (-x) = 0 (-x se conoce como inverso aditivo de x).

 

5.    Si x y y están en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la suma de vectores.

 

6.    Si X Π V, y  a  es un escalar, entonces  ax Î V (se dice que V es cerrado para la multiplicación escalar).

 

7.    Si x y y están en V y si  a  es un escalar, entonces a(x + y) =  ax + ay (primera ley distributiva).

 

8.    Si x Î V y si a y  b son escalares, entonces ( a+ b ) x = ax  + bx (segunda ley distributiva).

 

9.    Si x Î V y si a y b son escalares, entonces a(bx) = abx (ley asociativa de la multiplicación por escalar).

 

10.          Para todo vector x  V, 1x = x (al escalar 1 se le conoce como neutro multiplicativo).