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Ecuaciones lineales.

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Sistema de ecuaciones lineales, DOS ECUACIONES LINEALES EN DOS INCOGNITAS , VECTORES, ESPACIOS VECOTORIALES , DEFINICIN Y PROPIEDADES BSICAS, axiomas, teoremas, SUBESPACIOS, INDEPENDENCIA LINEAL, COMBINACION LINEAL Y GENERACION DE ESPACIO , BASE Y DIMEN

Agregado: 29 de AGOSTO de 2000 (Por ) | Palabras: 4628 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografas > Matemticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Ecuaciones lineales
  • Exmen de Funciones lineales.. Ecuaciones- rectas- funciones.:
  • Ecuaciones e Inecuaciones- Geometria.:
  • Ecuaciones de la Recta. Representar en la Recta:

  • Enlaces externos relacionados con Ecuaciones linealesnalga

    SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

    INTRODUCCION

    Si buscamos la palabra lineal en un diccionario, encontraremos algo como lo siguiente: lineal, adj. Relativo a las lneas o de aspecto de lnea. En matemticas la palabra lineal significa algo ms que eso. Sin embargo, gran parte de la teora del lgebra lineal elemental es de hecho una generalizacin de las propiedades de las lneas rectas. Como repaso, damos aqu algunos de los hechos fundamentales acerca de las citadas rectas:

    1.    La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) esta dada por (si x2 x1).

    m = y2 y1 = D y

    x2 x 1 D x

    2. Si X2 X1 = 0 y y2 y1 entonces la recta es vertical y se

    dice que la pendiente no esta definida.

    3.    Cualquiera recta (excepto una con pendiente indefinida), se pude describir expresando su ecuacin en la forma simplificada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y en el punto donde la recta cruza al eje y).

    4.    Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

    5.    Si la ecuacin de una recta es ax + by = c (b 0) entonces, como se ve fcilmente, m = - a/b

    6.    Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 la del L2, m1 0 y L1, L2 son perpendiculares, entonces m2 = - 1m1.

    7.    Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero.

    8.    Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida.

    DOS ECUACIONES LINEALES EN DOS INCOGNITAS

    Consideramos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos incgnitas x1 y x2:

    a11x1 + a12x2 = b1

    a21x1 + a22x2 = b2

    donde a11, a12, a22, b1 y b2 son nmeros dados. Cada una de estas ecuaciones es la ecuacin de una lnea recta (en el plano x1 x2 en vez del plano xy). La pendiente de la primera recta es a11/a12 y la pendiente de la segunda es a21/a22 (si a12 0 y a22 0). Una solucin del sistema (1) es un par de nmeros, denotados (x1, x2), que satisface (1). Las preguntas que surgen naturalmente son: cundo (1) tiene soluciones? y, si la tiene, cuntas son? Responderemos a estas preguntas despus de ver algunos ejemplos. En estos ejemplos usaremos dos propiedades importantes del lgebra elemental:

    Propiedad A. Si a = b y c = d entonces a + c = b + d

    Propiedad B. Si a = b y c es cualquier nmero real,

    entonces ca = cb.

    La propiedad A dice que si sumamos dos ecuaciones obtenemos una tercera ecuacin valida. La B dice que si multiplicamos ambos lados de una ecuacin por una constante obtenemos una segunda ecuacin valida.

    VECTORES

    El estudio de los vectores y matrices es parte medular del lgebra lineal. Es el estudio de vectores comenz esencialmente con el trabajo del gran matemtico irlands William Rowan Hamilton (1805-1865). Su deseo de encontrar un modo de representar ciertos objetos en el plano y en el espacio, lo llev al descubrimiento de lo que llam cuaterniones. Este concepto lo conduj al de lo que actualmente se denomina vectores. Durante la vida Hamilton, y en lo que rest del siglo diecinueve, existi un considerable debate sobre la utilidad de los cuaterniones o cuaternios y de los vectores. A fin de siglo, el gran fsico britnico Lord Kelvin, escribi acerca de los cuaternios. aun cuando son notablemente ingeniosos, han demostrado ser una mala fortuna para todos aquellos que de alguna manera los han estudiado (as como) los vectores nunca han sido de la ms remota utilidad a criatura alguna.

    Sin embargo Kelvin estaba equivocado. Actualmente, casi todas las reas de la fsica clsica y moderna son representadas por medio del lenguaje de los vectores. Tambin se usan cada vez ms frecuentemente en las ciencias biolgicas y sociales.

    En la seccin 1.2. describimos la solucin a un sistema de dos ecuaciones en dos incgnitas como un par de nmeros (x1, x2). En el ejemplo 1.6 expresaremos la solucin de un sistema de tres ecuaciones en tres incgnitas como la terna de nmeros (4, -2, 3). Ambos, (x1, x2) y (4, -2, 3) son vectores.

    Vector rengln de n componentes. Definimos un vector rengln de n componentes (o ndimensional) como un conjunto ordenado de n nmeros escrito como

    (x1, x2, , xn) (1)

    Vector columna de n componentes. Un vector columna de n componentes (o n-dimensional) es un conjunto ordenado de n nmeros escrito como

    X1

    X2

    .

    .

    .

    Xn (2)

    En (1) o (2), x1 se llama la primera componente del vector, x2 es la segunda componente, y as sucesivamente. En general, xk es la k-sima componente del vector.

    Por simplicidad, frecuentemente nos referimos a un vector rengln n-dimensinal como un vector rengln o un n-vector. De igual manera, usamos el trmino vector columna (o n-vector) para denotar a un vector columna n-dimensional. Cualquier vector con todas sus componentes iguales a cero se llama vector cero.

    ESPACIOS VECOTORIALES

    INTRODUCCIN

    Segn se vio en el capitulo anterior, los conjuntos R2 (vectores en el plano) y R3 (vectores en el espacio) tienen propiedades interesantes. As, si sumamos dos vectores en R2 obtenemos otro vector en R2. Sometidos a la suma, los vectores en R2 son conmutativos y satisfacen la ley asociativa. Si X R2, entonces x + 0 = x y x + (- x) = 0. Adems, podemos multiplicar los vectores en R2 por escalares y establecer varias leyes distributivas. Las mismas propiedades tambin valen en R3.

    A los conjuntos como R2 y R3 se los llama espacios vectoriales. Intuitivamente, podemos decir que un espacio vectorial es un conjunto de objetos que cumplen con las reglas descritas en el prrafo anterior.

    En este captulo pasaremos de un mundo concreto, en donde resolvamos ecuaciones y tratbamos con vectores fcilmente visualizables, a un mundo abstracto de espacios vectoriales arbitrarios. Esto es muy ventajoso, ya que, si establecemos una cierta propiedad sobre espacios vectoriales en general, podemos aplicar dicha propiedad a todo espacio vectorial. De otra forma, tendramos que demostrar dicha propiedad una y otra vez para cada nuevo espacio vectorial que estuviramos tratando (y de hecho, hay una cantidad innumerable de ellos). Adems, como se ver ms adelante, los teoremas abstractos que demostraremos no son ms difciles que los que ya hemos visto en este trabajo.

    DEFINICIN Y PROPIEDADES BSICAS

    Espacio vectorial real. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicacin por un escalar que satisfacen los diez axiomas que se enumeran a continuacin.

    Notacin. Si x y y estn en V y si a es numero real, entonces escribiremos x + y para la suma de x y y y a x para el producto escalar de a y x.

    Antes de enumerar las propiedades en un espacio vectorial, hagamos un par de aclaraciones. Primero, si bien es cierto que es muy til pensar en R2 o en R3 cuando tratamos con algn espacio vectorial, es frecuente encontrarse con espacios vectoriales cuya forma es muy diferente de la de estos espacios tan familiares. Segundo, la definicin 1 se refiere a un espacio vectorial real. La palabra real significa que los escalares que usamos son reales. Es muy fcil definir un espacio vectorial complejo usando nmeros complejos en lugar de nmeros reales. En este libro se trata bsicamente con espacios vectoriales reales, pero no es muy difcil hacer generalizaciones a otros conjuntos de escalares.

    Axiomas de un espacio vectorial

    1. Si x V y y V, entonces x + y V (es decir, V es

    cerrado para la suma).

    2.    Para todos x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma).

    3.    Existe un vector 0 V tal que para todos X V, x + 0 = 0 +

    x = x (0 se conoce como neutro aditivo).

    4.    Si X V, existe un vector x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se conoce como inverso aditivo de x).

    5.    Si x y y estn en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la suma de vectores.

    6.    Si X V, y a es un escalar, entonces ax V (se dice que V es cerrado para la multiplicacin escalar).

    7.    Si x y y estn en V y si a es un escalar, entonces a(x + y) = ax + ay (primera ley distributiva).

    8.    Si x V y si a y b son escalares, entonces ( a+ b ) x = ax + bx (segunda ley distributiva).

    9.    Si x V y si a y b son escalares, entonces a(bx) = abx (ley asociativa de la multiplicacin por escalar).

    10.          Para todo vector x V, 1x = x (al escalar 1 se le conoce como neutro multiplicativo).

    Teorema 1

    Sea V un espacio vectorial. Entonces

    i.                    a0 = 0 para todo nmero real a.

    ii.                  0 . x = 0 para todo x V.

    iii.                Si ax = 0, entonces = 0 o bien x = 0 (o ambos).

    iv.               (-1) x = -x para todos x V.

    SUBESPACIOS

    En el ejemplo 4.2.1. vimos que R2 = { (x,y): x R y y R} es un espacio vectorial. En el ejemplo 4.2.4. vimos que V = {(x,y): y = mx} es tambin un espacio vectorial. Adems, es claro que V R2. Esto es, R2 tiene un subconjunto que es tambin un espacio vectorial. De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que son a su vez espacios vectoriales. En esta seccin estudiaremos estos conjuntos tan importantes.

    Subespacio. Sea H un subconjunto de un espacio vectorial V y supongamos que H es en s un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicacin escalar definidas sobre V. Se dice entonces que H es un subespacio de V.

    En este capitulo veremos muchos ejemplos de subespacios. Antes de ello veremos un resultado mediante el cual resulta relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es de hecho un subespacio de V.

    Teorema 1: Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos reglas de cerradura valen:

    Reglas para verificar si un subconjunto es un subespacio:

    i.                    Si x H y y H, entonces x + y H.

    ii.                  Si x H, entonces ax H para todo escalar a.

    Demostracin: Para demostrar que H es un espacio vectorial, debemos verificar que los axiomas (i) a (x) cumplen con las operaciones de la suma vectorial y multiplicacin escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura (axiomas i y vi) se cumplen por hipotesis. Puesto que los vectores en H tambien estan en V, las leyes asociativa, conmutativa, distributiva y la del neutro multiplicativo (axiomas ii, v, vii, viii, ix y x) se satisfacen.

    Este teorema nos dice que para probar que H es un subespacio de V, nos basta con verificar que:

    x + y y ax estn en H, siempre que x y y estn en H y a sea un escalar.

    La demostracin anterior contiene un resultado importante que debe mencionarse explcitamente:

    Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

    Este resultado nos permitir ver fcilmente si un subespacio particular V no es un espacio vectorial. Esto es, si un subconjunto no contiene al 0, entonces no es un subespacio.

    Subespacio propio. Los primeros dos ejemplos nos muestran que todo espacio vectorial V contiene dos espacios vectoriales, {0} y V (a menos que V = {0}). Desde luego, es mucho ms interesante encontrar otros subespacios. Los subespacios que no son ni {0} ni V se conocen como subespacios propios.

    INDEPENDENCIA LINEAL

    En el estudio de lgebra lineal, una de las ideas centrales es la independencia o dependencia lineal de vectores. En esta seccin definiremos lo que entendemos por independencia lineal y se mostrara el modo en que se relaciona con la teora de sistemas homogneos y con los determinantes.

    Existe una relacin especial entre los vectores v1 = y v2 = 2/4? Desde luego, vemos que v2 = 2v1, o escribiendo esto de otro modo, que

    2v1 v2 = 0 (1)

    Qu propiedad especial comparten los vectores v1 =

    Esta pregunta es ms fcil de contestar a simple vista. Es fcil verificar que v3 = 3v1 +2v2, o escribiendo de otra manera

    3v1 + 2v2 v3 = 0 (2)

    se ve pues que los dos vectores en la Ecuacin (1) y los tres vectores en la Ecuacin (2), mantienen una relacin ms cercana que un par cualquiera de vectores 2 o una terna arbitraria de vectores 3. En cada caso, decimos que los vectores son linealmente dependientes. En general, se tiene la siguiente definicin importantes.

    Definicin 1. Dependencia e independencia lineales. Sean V1, V2, , Vn n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, , cn no todos cero, tales que

    c1v1 + c2v2 + + cn vn = 0 (3)

    Si los vectores no son linealmente dependientes, entonces se dice que son linealmente independientes.

    Expresado de otro modo, v1, v2, , vn son linealmente independientes si la ecuacin c1v1 + c2v2 + + cnvn = 0 solo se satisface si c1 = c2 = = cn = 0.

    Teorema 2

    Un conjunto de n vectores en Rm es siempre linealmente dependiente si n > m.

    Demostracin. Sean v1, v2, , vn n vectores Rm y tratemos de evaluar constantes c1, c2, , cn, no todas nulas, tales que

    c1v1 + c2v2 + . + cnvn = 0

    teorema 3

    Sean v1, v2,, vn, n vectores en Rn, y sean A una matriz de n x n cuyas columnas son v1, v2,, vn. Entonces v1, v2, , vn son linealmente independientes si y slo si la nica solucin al sistema homogneo Ax = 0 es la solucin trivial x = 0.

    COMBINACION LINEAL Y GENERACION DE ESPACIO

    Combinacin lineal. Sean v1, v2, , vn entonces en un espacio vectorial V. Entonces, toda expresin de la forma

    a1v1 + a2v2 + + anvn (1)

    en donde a1, a2,, an son escalares, se llama combinacin lineal de v1, v2,, vn.

    Generacin de un espacio vectorial. Los vectores v1, v2, , vn en un espacio vectorial V se dice que generan V, si todo vector en V puede expresarse como combinacin lineal de ellos. Esto es, para todo v V, existen escalares a1, a2, , an tales que

    v = a1v1 + a2v2 + + anvn

    espacio generado por un conjunto de vectores. Sean v1, v2,, vn n vectores en un espacio vectorial V. El espacio generado por {v1, v2,, vn} es el conjunto de las combinaciones lineales de v1, v2,, vn. Esto es,

    gen {v1,v2,, vn} = {v: v = a1v1 + a2v2 + + anvn}

    donde a1, a2,, an son escalares.

    El gen {v1,v2,,vn} es un subespacio de V.

    Teorema. Sean los n + 1 vectores v1, v2,, vn, vn+1, de un espacio vectorial V. Si v1, v2,, vn generan V, entonces v1, v2,.., vn, vn+1 tambin generan V. Esto es, la adicin de uno (o ms) vectores a un conjunto generador resulta en otro conjunto generador.

    BASE Y DIMENSION

    Hemos visto que en R2 es conveniente escribir los vectores en

    1 0

    trminos de los vectores i = 0 y j = 1. En R3 se expresan los

    1 0 0

    vectores en funcin de 0 1 0. Ahora generalizaremos esta idea.

    0 0 1

    Base. Un conjunto de vectores {v1, v2,,vn} forma una base para V si

    i.                    {v1, v2,, vn} es linealmente independiente.

    ii.                  {v1, v2,, vn} genera V.

    Hemos visto ya algunos ejemplos de bases. Por ejemplo se vio que cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn, genera Rn. As pues,

    Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn es una base en Rn

    Teorema 1. Si {v1, v2,, vn} es una base de V y si v V, entonces existe un conjunto nico de escalares c1, c2,,cn tales que v = c1v1 + c2v2 + + cnvn.

    Demostracin. Al menos existe un conjunto tal de escalares, puesto que {v1, v2,, vn} genera a V. Supongamos que v puede ser expresado de dos modos como combinacin lineal de los vectores de base. Esto es, supngase que

    v = c1v1 + c2v2 + + cnvn = d1v1 + d2v2 ++ dnvn

    teorema 2. Si {u1, u2,, um} y {v1, v2,,vn} son bases del espacio vectorial V, entonces m = n; esto es, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V poseen el mismo nmero de vectores.

    Demostracin. Sean S1 = {u1, , um} y S2 = {v1,,vn} dos bases de V. Debemos demostrar que m = n. Se realizar lo anterior probando que si m > n, entonces S1 es un conjunto linealmente dependiente, lo cual contradice la hiptesis de que S1 es una base. Esto prueba que m < n. La misma demostracin har ver que n < m, y esto corrobora el teorema. As pues, basta demostrar que si m > n entonces S1 es linealmente dependiente. Como S2 es una base, podemos escribir cada u1, como combinacin lineal de los trminos v.

    Dimensin. Si el espacio vectorial V posee una base finita, la dimensin de V es el nmero de vectores en la base, y V se llama espacio vectorial de dimensin finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensin infinita. Si V = {0}, entonces V se dice que es de dimensin cero.

    RANGO, NULIDAD, ESPACIO DE RENGLONES Y ESPACIO DE COLUMNAS DE UNA MATRIZ

    En la seccin 4.4. se present la nocin de independencia lineal. Demostramos que si A es una matriz en n x n, entonces los renglones y las columnas de A forman conjuntos de vectores linealmente independientes si y solo si det A 0. Sin embargo, si det A = 0, o si A no es cuadrada, entonces estos resultados no dicen nada acerca del nmero de renglones o columnas linealmente independientes de A. en esta seccin subsanaremos esta omisin. Tambin se demostrar como obtener una base para el espacio generado por un conjunto de vectores usando reduccin por filas o renglones.

    NA = {x Rn: Ax = 0}

    Como se vio en el ejemplo anterior NA es un subespacio de Rn.

    Nucleo (o kernel) y nulidad de una matriz. NA se llama ncleo (o kernel) de A, y al nmero v(A) = dim NA se le denomina nulidad de A. Si NA contiene slo al vector cero, entonces v(A) = 0. (NA se representa tambin por ker A, o bien, por ncl A.)

    Teorema. Sea A una matriz de n x n. Entonces A es invertible si y slo si v(A) = 0.

    Por el teorema resumen (Teorema 4.4.6., partes (i) y (ii), A es invertible si y slo si el sistema homogneo Ax = 0 posee solamente la solucin trivial x = 0. De la ecuacin (1), esto significa que A es invertible si y solo si NA = {0}. Asi pues, A es invertible si y solo si v(A) = dim NA = 0.

    Teorema 2. Sea A una matriz de m x n, entonces Imag A es un subespacio de Rm.

    Supongamos que y1 y y2 estn en Imag A. entonces existen vectores x1, x2 en Rn tales que y1 = Ax1, y2 = Ax2. Por lo tanto.

    Teorema 3. Si A es una matriz de m x n, entonces

    i.                    CA = Imag A

    ii.                  dim RA = dim CA= dim Imag A = (A)

    La demostracin de este teorema no es difcil, pero si laboriosa. La diferiremos hasta el final de la seccin.

    RANGO Y DETERMINANTES DE SUBMATRICES (OPCIONAL)

    En esta seccin mostraremos cmo puede ser evaluado el rango de una matriz mediante el calculo de ciertos determinantes.

    Submatriz cuadrada de orden k. Se A una matriz de m x n. La matriz obtenida como la interseccin de K renglones y k columnas de A se le llama submatriz cuadrada de orden de k de A.

    Teorema 1. Sea A una matriz de m x n. Entonces.

    r(A) > k

    si y slo si A posee una subdeterminante no nulo de orden k.

    Teorema 2. Sea A una matriz de m x n. Entonces

    r(A) = r > 0 si y slo si A posee al menos un subdeterminante no nulo de orden r y cada subdeterminante de orden r + 1 es cero.

    CAMBIO DE BASE

    En R2 se formul cualquier vector en trminos de la base

    1 0

    estndar (o cannica) i = 0, j = 1. En Rn ya definimos la base estndar {e1, e2,, en}, y en Pn, la base estndar con {1, x, x2,,xn}. Estas bases son las ms usadas puesto que es muy fcil trabajar con ellas. Sin embargo, en ciertas ocasiones son convenientes otras bases. Obviamente, existen muchas bases que podemos escoger puesto que en un espacio vectorial de dimensin n, cualquier conjunto n vectores linealmente independientes forman una base. En esta seccin veremos como cambiar de una base a otra calculando cierta matriz.

    Matriz de transicin. La matriz A de n x n, cuyas columnas estn dadas por (8), recibe el nombre de matriz de transicin de la base B1 a la base B2.

    Teorema 1. Sean B1 y B2 bases para un espacio vectorial V. Sea A la matriz de transicin de B1 a B2. Entonces, para todo x V.

    (x)B2 = A (x)B1

    teorema 2. Si A es la matriz de transicin de B1 a B2, entonces

    A-1 es la matriz de transicin de B2 a B1.

    TRANSFORMACIONES LINEALES

    En este capitulo vamos a discutir una clase especial de funciones, llamadas transformaciones lineales, las cuales aparecen con gran frecuencia en el lgebra lineal y otras ramas de las matemticas. Tambin son importantes en una amplia variedad de aplicaciones. Antes de definir lo que es una transformacin lineal, estudiemos dos ejemplos sencillos para ver lo que puede suceder.

    Antes de definir una transformacin lineal, conviene expresar algo acerca de las funciones. En la seccin anterior 1.6 escribimos un sistema de ecuaciones como

    Ax = b

    En donde A es una matriz de m x n, x Rn y b Rm. Se pidi encontrar x cuando A y b eran conocidos. Sin embargo, es posible considerar a la ecuacin de otra manera: supngase que A es dada. Entonces la ecuacin Ax = b dice: Si se da una x en RN, se proporcionara una b en Rm. Esto es, A representa una funcin con dominio en Rn y un mbito o contradominio en Rm.

    Transformacin lineal. Sean V y W espacios vectoriales. Una transformacin lineal T de V en W es una funcin que asigna a cada vector v V un nico vector Tv W y que satisface para cada u y v en V y cada escalar a,

    T(u + v) = Tu + Tv

    T (av) = aTv

    PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES. IMAGEN Y KERNEL (O NUCLEO)

    En esta seccin desarrollaremos algunas de las propiedades bsicas de las transformaciones lineales.

    Teorema. Sea T:V W una transformacin lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,, vn en V y todos los escalares a1, a2, ,an:

    i.                    T(0) = 0

    ii.                  T(u-v) = Tu Tv

    iii.                T(a1v1+ a2v2++ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 + +anTvn

    Nota: en la parte (i) el 0 de la izquierda, es el vector cero en V mientras que el 0 del lado derecho, es el vector cero en W.

    Demostracin:

    i.                    T(0) = T(0+0) = T(0) + T(0). Entonces 0 = T(0) T(0) = T(0) + T(0) T(0) = T(0)

    ii.                  T(u-v) = T [u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1) Tv = Tu Tv.

    iii.                Demostraremos esta parte por induccin (apndice1). Para n = 2, obtenemos T (a1v1 + a2V2) = T (a1v1) + T (a2v2) = a1Tv1 + 2Tv2. En consecuencia, tenemos que, la ecuacin es valida para n = 2. Supongamos que es valida para n = k y demostremos que vale para n = k + 1: T(a1v1 + a2V2 + + akvk + ak+1 vk+1) = T(a1v1 + a2V2 + +kvk) + T(k + vk+1 ) y usando la ecuacin de la parte (iii) para n = k, esto es igual a (a1Tv1 + a2Tv2 + ak Tvk) + ak+1 Tvk+1, que es lo que queramos demostrar. Con esto queda completa la demostracin.

    LA REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

    Si A es una matriz de m x n y T: Rn Rm esta definida por Tx = Ax entonces, como vimos en el ejemplo 5.1.7., T es una transformacin lineal. Ahora veremos que para toda transformacin lineal de Rn en Rm, existe una matriz A de m x n tal que Tx = Ax para toda x Rn.

    Sea T: Rn Rm una transformacin lineal. Entonces existe una nica matriz AT de m x n tal que

    Tx = AT x para toda x Rn

    INSTITUTO TECNOLOGICO DE CULIACAN

    TRABAJO DE MATEMATICAS III

    MAESTRO:

    SERGIO BELTRAN BELTRAN

    ALUMNO:

    FRANCISCO FAUSTO VELARDE CASTRO

    CULIACAN, SINALOA. 22 DE JULIO DE 1999.


     
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