Ecuaciones Cuadráticas  y Cúbicas. Un Enfoque distinto.

 

 

 

Comencemos con nuestra vieja conocida, la ecuación de segundo grado:

y=x2 + bx + c=0.

 

Sabemos que las relaciones entre sus coeficientes y raíces, esta dada por:

 

x1 + x2  = -b ;  x1.x2 =c   ;  luego   podemos postular que

 

x1= -b/2+ A ;   x2 =  -b/2 -A ; al calcular c tendremos:

 

 

(-b/2 + A) (-b/2 - A) = - (b/2 -A). - (b/2 +A)= (b/2 - A) (b/2 + A)= b2/4 - A2 = c :.

 

A2 = b2/4 -c ; A =       b2/4 - c   : . x1; x2 = -b/2      b2/4 - c   ; expresión ya conocida, desde nuestra época de estudios secundarios.

Al termino A lo designaremos  dispersión simétrica, pues como se puede observar, las raíces son simétricas respecto de -b/2; que no es otra cosa que el promedio de las mismas.

Al radicando lo presentaremos ligeramente diferente haciendo:

 

b2/4 - c =  -(c - b2/4) =   ic- b2/4  :. x1;x2 = -b/2  ic - b2/4

 

Lo que nos muestra que el caso mas general nos da dos raíces complejas y conjugadas (simétricas con respecto al eje real). Si lo representamos gráficamente tendremos  x1  y x2

 

Con modulo  c, y argumento: seno Ø=  c- b2 / 4    c: .

 

                                                  

seno Ø= ±  1-b2/4c : .

                                                 

Ø = seno-1  ±  1- b2/4c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dependiendo del signo del radicando (discriminante), tendremos dos raíces, que como dijimos anteriormente serán simétricas, respecto  a  -b/2

 

 

 

 

 

 

 

·        Ecuaciones de tercer grado (cúbicas)

 

Si tenemos la ecuación general   y=ax3 +bx2  + cx + d  = 0 mediante el cambio de variable  z = x + b/3a; pasamos a otra ecuación, llamada reducida de la forma:

 

Y=x3 + cx +d =0. Esta ecuación  se resuelve mediante las formulas de Cardano, pero nosotros utilizaremos otro enfoque.

 

En el caso de la ecuación cúbica la relación entre sus coeficientes  y raíces, esta dada por:

 

x1+x2 + x3 =  -b; x1x2 + x1x3 + x2x3 = c; x1x2x3 = -d

 

Para el caso de la ecuación reducida b=0: . x1+x2+x3=0 :. x3 = -(x1 +x2); que reemplazado en la ecuación  de c,  tendremos  x1x2 + x3(x1 +x2 ) = x1x2 -(x1 +x2) 2 =

x1 x2 -(x12  + x22 +2x1x2) =c: . x12 + x22 + x1x2 +c=0.

 

Ahora  expresaremos x2=  f(x1)

x2=  -x1/2     (x1/2)2 -(c+ x12 )  =  -x1/2    -(3/4x12 +c) =- x1/2   i 3(x1/2)2 +c

 

 

 

 

 

Esto nos nuestra que las tres raíces de la ecuación cúbica esta dada por:

 

           x1 =x1     

                                               

           x2 =-x1/2 + i 3   x1/2  2 +c

 

 

 

            x3 = -x1/2 - i 3  x1/2  2+c

 

 

 

 

 

 

Esto nos dice, que si bien hay tres raíces, hay una sola incógnita x1; ya que determinada esta  quedan automáticamente definidas  x2, x3 ,mediante una simple operación. Que x2, x3 son simétricas con respecto a -x1/2 ; y en este caso la dispersión simétrica vale.    

 

i3(x1/2) 2 + c.

 

También vemos que en el caso más general tendremos una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. Dependiendo del signo del radicando podemos llegar a tener  tres raíces reales.

 

Representando graficamente   tendremos: x2 y x3

                                                           

Con modulo x21 + c  y argumento Cos ??  x1/2      x12 + c

                                                         

Cos ?? 1      2   1+ c/x12

                                                        

:. ? =Cos-1 1   2  1 + c/x12

 

 

 

 

A

hora surge la pregunta más importante. Cómo determinamos x1?

Utilizaremos el proceso de iteración mediante una calculadora científica:

Para ello colocaremos a x3 + cx + d =0 en la forma  x(x2 + c) =-d ; y seguiremos la siguiente secuencia de calculo.

Primeramente haremos un examen visual  de la expresión y apreciaremos el orden que debe tener x1 , dependiendo de c y d

 

·        teclear valor

·        ingresar en memoria

·        elevar al cuadrado

·        sumar c

·         igual

·        multiplicar

·        llamar memoria

·        igual

 

comparar el valor obtenido con - d.

 

Corregir el valor x1 , de manera de ir obteniendo una convergencia hacia -d.

 

 

 

 

Con un poco de práctica, en pocos minutos se puede obtener un buen resultado.

Si contamos con una calculadora programable la secuencia anterior, puede servir de base para un programa de cálculo, el cual una vez incorporado nos resolverá el problema rápidamente y con la exactitud requerida.

Obtenida x1, la reemplazamos en las expresiones que determinan x2 y x3 ; y habremos resuelto la ecuación    totalmente.

Algo de destacar es que cuando hicimos el desarrollo x1x2 -(x1 + x2)2 = c debido a que x1+x2 =-x3 :. x1x2 - x23 = c. Haciendo una rotación de índices obtenemos las expresiones adicionales:

 

    x1x3- x22= c           

 

    x2x3 - x21 = c 

 

Para verificar este aserto, tomamos el caso x1 = 2 ; x2 = 4;x3 =-6 ; que corresponde a la ecuación

y=x3 -28x +48=0.

 

 

Si reemplazamos  adecuadamente los valores de x1 , x2 y x3 en dichas expresiones, siempre obtendremos c=-28. Pero esto no solo es válido para este ejemplo con valores reales, sino también cuando existen raices complejas conjugadas lo cual lo podrá verificar el lector curioso, que se decida hacerlo.

Una vez obtenidos x1, x2 y x3 convienen hacer una verificación rápida, para ver si no se ha cometido un error.

 

 

Para ello, lo más conveniente es constatar si se cumplen las condiciones:

 

x1 +x2 +x3 =0 ; x1x2x3= -d.

 

 

La verificación definitiva, vendrá cuando sé reemplazen x2 y x3, en la ecuación y se cumpla la condición  y=0

Para el caso de que tengamos la ecuación completa y=x3 +bx2 +cx + d=0 y no querramos reducirla mediante el cambio de variable que antes mencionamos, seguiremos el siguiente procedimiento

A partir de la condición x1 + x2 + x3 = - b establecemos:

 

   x1 =--b/3 +A                             

 

   x2 =-b/3 - A/2 + B =  - (b/3 +A/2 ) +B

                         

   x3 = -b/3 - A/2 - B = - (b/3 + A/2)  -B

 

 

De la  primera expresión obtendremos que  A= x1  +b/3.

Como x1x2x3 = -d ; hacemos el producto

 (-b/3 +A)(-                    +B)( -                   -B)=-d :.

 

b/3+ A/2 2   - b/3 + A  - B2 . -b/3 + A  =-d :. B2=    d /   -b/3+A      +   b/3  +  A / 2  2;

pero  - b/3  +A= x1 ; y  b/3  + A/2 =  b + x1  /2 :.  B=     d/x1+   ( b + x1) /2    2

 

 

Se puede llegar a estas mismas expresiones a partir del siguiente esquema:

 

Sea   y= x 3+bx2+cx+d=0 , x1+x2+x3=-b , x1.x2.x3=-d

 

x3= -(b+x1+x2) o  x1x2(b+x1+x2) =  x1x2b+x12x2+x1x2 2= d

 

x2b+x1x2+x22 = d/x1 ;  x2(b+x1)+x22 = d/x1;  x22+(b+x1)x2 - d/x1 = 0

 

 

 

 

 

 

Para  obtener x1, seguiremos el procedimiento de iteración , para lo cual colocamos la ecuación en la forma  x (x2 + bx + c )= -d.

En este caso la secuencia  de calculo será:

 

 

·        teclear valor

·        ingresar en  memoria

·        elevar al cuadrado

·        sumar

·        abrir paréntesis

·        llamar memoria

·        multiplicar por b

·        cerrar paréntesis

·        sumar c

·        igual

·        multiplicar

·        llamar memoria

·        igual

 

Repetir la secuencia variando x , hasta obtener una adecuada convergencia de - d . Una vez obtenida x1 ; calculamos A y B para finalmente obtener x2 y x3.

 

·       Resumen:

 

·        Ecuación  de  segundo grado

y =x2 + bx + c= 0

 

·        Resolución directa 

x= - b/2   ic  -b2/4

 

·        Ecuación cúbica reducida

y=x3  + cx + d =0

 

 

x1 =x1

 

x2 =-x1/2 +  i  3 x1 / 2 2 +c

 

 

x3 = -x1/2 -i    3  x1 /2  2 +c

 

x1 se determina por el proceso de iteracion descripto, utilizando una calculadora  científica

 

 

 

 

 

 

·        Ecuación cúbica completa

y= x3 + bx2  +cx  +d= 0

 

x1 = -b/3  + A

 

x2  = - b/3  +  A/2  +B

 

x3  = -  b/3  + A/2     -B

 

 

A= x1  +b/3   ; B=    d/x1 + [( b+x1)/2)] 2

 

 

x1 se  determina por el proceso de iteración descripto , utilizando una calculadora científica, por lo que puede resumirse en :

 

x1 = x1

 

 

            x2 = -( b +x1) /2 +   [( b+x1)/2)] 2+ d/x1

                      

 

           x3=- (b +x1)/2 -    [( b+x1)/2)] 2 + d/x1

 

 

 

 

·        Reemplazando

 

x2  = - x1/2   +  i   3x 2/4  + c   

 

 

x3= - x 1/2  -  i   3x2  /4 +  c 

                                                           

en las expresiones

 

x2x3  -  x12 = c

x1x3  -  x22  = c

x1x2  -  x32  = c

 

obtendremos siempre la identidad  c=c, lo que explica la cualidad permutativa de las expresiones mencionadas

 

 

 

 

Juan Claudio Caso

 

Ingeniero Aeronáutico

 

Resolución de ecuaciones algebraicas, con coeficientes reales, de grado n

 

 

 

P

artiremos del hecho que: Un polinomio de grado n  puede descomponerse en un producto de n factores de primer grado, según la siguiente  relación:

 y = xn+bxn-1+c xn-2+..........+z = (x-x1)(x-x2)(x-x3)+.......+(x-xn), donde x1,x2,x3, .......xn, son las raíces  de la ecuación que se obtiene al igualar al polinomio a cero (0).

 

Realizando el producto e identificando cada termino, podemos encontrar la relación que existe entre cada coeficiente y las raíces.

Pero hemos verificado que no resulta necesario realizar el producto, ya que la ley de formación de los coeficientes es muy sencilla, más fácil de visualizar y entender, que de enunciar.

No obstante hemos intentado algo al respecto. Lo que debemos considerar es:

·        Si la ecuación es de grado n, todos los términos tienen dimensión de xn, de manera que uno de ellos donde figure x n-m, el coeficiente tendrá dimensión xm De tal manera dicho coeficiente estará formado por la suma de factores de grado m, integrado por la combinación de raíces agrupadas de a m

·        El coeficiente b siempre será igual a la suma de las raíces, cambiada de signo. El término independiente siempre será igual al producto de las raíces. Si la ecuación es de grado par, el signo será positivo, si es de grado impar será negativo. Los coeficientes intermedios tendrán alternativamente signos positivos y negativos.

·        -Sí partimos de n =1, el único factor que existirá será (x-x1), lo cual nos dará

y=x-x1. Si a partir de aquí escribimos sucesivamente en orden creciente de n, las                          ecuaciones algebraicas, tendremos:

y= x-x1

y=x2-(x1+x2)x+x1x2

y=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3

y=x4-(x1+x2+x3+x4)x3+(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)x2-     (x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)x+(x1x2x3x4)

 

Para la ecuación de 5to grado encontraremos que los coeficientes valen:

B=-(x1+x2+x3+x4+x5)

=(x1x2+x1x3+x1x4+x1x5+x2x3+x2x4+x2x5+x3x4+x3x5+x4x5)

D=-(x1x2x3+x1x2x4+x1x2x5+x1x3x5+x1x4x5+x1x3x4+x2x3x4+x2x3x5+x2x4x5+x3x4x5)

E=(x1x2x3x4+x1x2x3x5+x1x2x4x5+x1x3x4x5+x2x3x4x5)

F=-(x1x2x3x4x5)

 

 

·        Otra relación que hemos encontrado es que toda ecuación con grado n par tendrá  n/2 pares de raíces conjugadas, reales o complejas.

·        Si todas las raíces son complejas, el proceso de iteración no será posible, y si lo intentamos no lograremos la convergencia hacia el valor del termino independiente cambiado de signo.

Por el momento hemos resuelto el problema para la ecuación de cuarto grado.

·        Si la ecuación es de grado n impar, siempre habrá por lo menos una raíz real, y el resto serán(n-1)/2 pares de raíces  conjugadas reales o complejas. Se podrá hacer una iteración y determinar x1; con lo cual si dividimos a la ecuación por (x-x1), obtendremos otra de un grado inferior.

Por el momento hemos resuelto ecuaciones de quinto grado, ya que con el procedimiento mencionado obtenemos una de cuarto grado, susceptible de ser resuelta, según pasamos a detallar.

 

Sea la ecuación algebraica:

Y =  x4+Bx3+ x2+Dx+e=0, las raíces posibles serán:

 

 

x1= a+ib                                  x1=a+b                                    x1=a+b