Ecuaciones Cuadráticas  y Cúbicas. Un Enfoque distinto.

 

 

 

Comencemos con nuestra vieja conocida, la ecuación de segundo grado:

 

y=x² + bx + c=0.

 

Sabemos que las relaciones entre sus coeficientes y raíces, esta dada por:

 

x₁ + x₂  = -b ;  x₁.x₂ =c   ;  luego   podemos postular que

 

x₁= -b/2+ A ;   x₂ =  -b/2 -A ; al calcular c tendremos:

 

 

(-b/2 + A) (-b/2 – A) = - (b/2 –A). – (b/2 +A)= (b/2 – A) (b/2 + A)= b²/4 – A² = c :.

 

A² = b²/4 –c ; A =  ±  Ö   b²/4 – c   : . x₁; x₂ = -b/2 ±    Ö b²/4 – c   ; expresión ya conocida, desde nuestra época de estudios secundarios.

Al termino A lo designaremos  dispersión simétrica, pues como se puede observar, las raíces son simétricas respecto de –b/2; que no es otra cosa que el promedio de las mismas.

 Al radicando lo presentaremos ligeramente diferente haciendo:

 

Öb²/4 – c = Ö -(c – b²/4) =   iÖc- b²/4  :. x₁;x₂ = -b/2 ± iÖc - b²/4

 

Lo que nos muestra que el caso mas general nos da dos raíces complejas y conjugadas (simétricas con respecto al eje real). Si lo representamos gráficamente tendremos  x₁  y x₂

 

 Con modulo  Öc, y argumento: seno Ø= Ö c- b² / 4   Ö c: .

 

                                                 

seno Ø= ± Ö 1-b²/4c : .

                                                

Ø = seno^–1  ±  Ö1- b²/4c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dependiendo del signo del radicando (discriminante), tendremos dos raíces, que como dijimos anteriormente serán simétricas, respecto  a  –b/2

 

 

 

 

 

 

 

ü      Ecuaciones de tercer grado (cúbicas)

 

Si tenemos la ecuación general   y=ax³ +bx²  + cx + d  = 0 mediante el cambio de variable  z = x + b/3a; pasamos a otra ecuación, llamada reducida de la forma:

 

Y=x³ + cx +d =0. Esta ecuación  se resuelve mediante las formulas de Cardano, pero nosotros utilizaremos otro enfoque.

 

En el caso de la ecuación cúbica la relación entre sus coeficientes  y raíces, esta dada por:

 

x₁+x₂ + x₃ =  -b; x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c; x₁x₂x₃ = -d

 

Para el caso de la ecuación reducida b=0: . x₁+x₂+x₃=0 :. x₃ = -(x₁ +x₂); que reemplazado en la ecuación  de c,  tendremos  x₁x₂ + x₃(x₁ +x₂ ) = x₁x₂ –(x₁ +x₂) ² =

 x₁ x₂ -(x₁²  + x₂² +2x₁x₂) =c: . x₁² + x₂² + x₁x₂ +c=0.

 

Ahora  expresaremos x₂=  f(x₁)

x₂=  -x₁/2 ±  Ö  (x₁/2)² –(c+ x₁² )  =  -x₁/2 ±  Ö -(3/4x₁² +c) =- x₁/2  ± iÖ 3(x₁/2)² +c

 

 

 

 

 

Esto nos nuestra que las tres raíces de la ecuación cúbica esta dada por:

 

            x₁ =x₁      

                                              

           x₂ =-x₁/2 + iÖ 3   x₁/2  ² +c

 

 

 

            x₃ = -x₁/2 – iÖ 3  x₁/2  ²+c

 

 

 

 

 

 

Esto nos dice, que si bien hay tres raíces, hay una sola incógnita x₁; ya que determinada esta  quedan automáticamente definidas  x₂, x₃ ,mediante una simple operación. Que x₂, x₃ son simétricas con respecto a –x₁/2 ; y en este caso la dispersión simétrica vale.    

 

iÖ3(x₁/2) ² + c.

 

También vemos que en el caso más general tendremos una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. Dependiendo del signo del radicando podemos llegar a tener  tres raíces reales.

 

 

Representando graficamente   tendremos: x₂ y x₃

                                                          

Con moduloÖ x²₁ + c  y argumento Cos Æ=±  x₁/2      Öx₁² + c

                                                        

Cos Æ= 1     ± 2   Ö1+ c/x₁²

                                                       

:. Æ =Cos^-1 ±1   2  Ö1 + c/x₁²

 

 

 

 

hora surge la pregunta más importante. Cómo determinamos x₁?

Utilizaremos el proceso de iteración mediante una calculadora científica:

Para ello colocaremos a x³ + cx + d =0 en la forma  x(x² + c) =-d ; y seguiremos la siguiente secuencia de calculo.

Primeramente haremos un examen visual  de la expresión y apreciaremos el orden que debe tener x₁ , dependiendo de c y d

 

<     teclear valor

<     ingresar en memoria

<     elevar al cuadrado

<     sumar c

<      igual

<     multiplicar

<     llamar memoria

<     igual

 

comparar el valor obtenido con – d.

 

Corregir el valor x₁ , de manera de ir obteniendo una convergencia hacia –d.

 

 

 

 

Con un poco de práctica, en pocos minutos se puede obtener un buen resultado.

Si contamos con una calculadora programable la secuencia anterior, puede servir de base para un programa de cálculo, el cual una vez incorporado nos resolverá el problema rápidamente y con la exactitud requerida.

Obtenida x₁, la reemplazamos en las expresiones que determinan x₂ y x₃ ; y habremos resuelto la ecuación    totalmente.

Algo de destacar es que cuando hicimos el desarrollo x₁x₂ –(x₁ + x₂)² = c debido a que x₁+x₂ =-x₃ :. x₁x₂ – x²₃ = c. Haciendo una rotación de índices obtenemos las expresiones adicionales:

 

    x₁x₃- x₂²= c               

 

    x₂x₃ – x²₁ = c 

 

Para verificar este aserto, tomamos el caso x₁ = 2 ; x₂ = 4;x₃ =-6 ; que corresponde a la ecuación

y=x³ –28x +48=0.

 

 

Si reemplazamos  adecuadamente los valores de x₁ , x₂ y x₃ en dichas expresiones, siempre obtendremos c=-28. Pero esto no solo es válido para este ejemplo con valores reales, sino también cuando existen raices complejas conjugadas lo cual lo podrá verificar el lector curioso, que se decida hacerlo.

Una vez obtenidos x₁, x₂ y x₃ convienen hacer una verificación rápida, para ver si no se ha cometido un error.

 

 

Para ello, lo más conveniente es constatar si se cumplen las condiciones: