Física del estado sólido
Trabajo:
Cálculo de la constante de Madelung de una red lineal(unidimensional) y una
bidimensional cuadrada por el método de Ejven.
Un cristal iónico, como su propio nombre indica, está formado por
iones; estos iones interaccionan entre sí por medio de interacción
electrostática principalmente, pudiéndose expresar esta por medio de la ley de
Coulomb.
La energía de interacción
coulombiana entre dos iones i y j es:
a) 
Por lo que la energía
electrostática de toda la red es:
b)
Debido a la regularidad del
cristal esta suma se puede poner de la manera siguiente:
c)
Donde d es la separación
entre iones próximos y 
es la constante de
Madelung. Esta constante depende solo de la distribución espacial de los iones
en la red.
Nosotros vamos a calcular el
valor de esta constante para una red unidimensional lineal, bidimensional
cuadrada y tridimensional cúbica. Para ello vamos a considerar celdas de carga
neutra, donde la carga de los iones de la frontera será una fracción de la
carga total del ion dependiendo de las celdas contiguas en las que esté
repartido(método de Ejven).
RED LINEAL
Aproximación a primeros vecinos
q/2 -q q/2
aproximación a segundos vecinos
-q/2 q -q q -q/2
aproximación a terceros vecinos
q/2 -q q -q q -q q/2
aproximación a cuartos vecinos
-q/2 q -q q -q q -q q -q/2
aproximación a cuartos vecinos
q/2 -q q -q q -q q -q q
-q q/2
De donde obtenemos la
constante de Madelung
O lo que es lo mismo:
Para calcular la suma la
comparamos con el desarrollo en serie de ln(1+x):
Tenemos que si x=1 entonces
: 
Con lo que la constante de
Madelung para la red unidimensional es:
RED BIDIMENSIONAL CUADRADA
Aproximación a primeros vecinos
-q/4 q/2 -q/4
q/2 -q
q/2
-q/4 q/2 -q/4
Con lo que:
Aproximación a segundos vecinos:
-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/4
q/2 -q
q -q q/2
-q/2 q -q
q -q/2
q/2 -q
q -q q/2
-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/4
Aproximación a terceros vecinos
-q/4 q/2 -q/2
q/2 -q/2 q/2 -q/4
q/2 -q
q -q q -q q/2
-q/2 q -q
q -q q -q/2
q/2 -q
q -q q -q
q/2
-q/2 q -q q -q
q -q/2
q/2 -q
q -q q -q
q/2
-q/4 q/2 -q/2
q/2 -q/2 q/2 -q/4
Por lo que la constante de
Madelung en tercera aproximación es:
Aproximación para cuartos vecinos
-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/2
q/2 -q/2 q/2 q/4
q/2 -q
q -q q -q
q -q q/2
-q/2 q -q
q -q
q -q q -q/2
q/2 -q
q -q q -q
q -q q/2
-q/2 q -q
q -q q -q q -q/2
q/2 -q
q -q q -q
q -q q/2
-q/2 q -q
q -q q -q q -q/2
q/2 -q
q -q q -q
q -q q/2
-q/4 q/2 -q/ 2
q/2 -q/2 q/2 -q/2 q/2 -q/4
Por tanto en cuarta
aproximación:
Aproximación a quintos vecinos:
Operando de forma análoga se
obtiene:
Aproximación a sextos vecinos:
Aproximación a séptimos vecinos:
De forma análoga obtenemos
para octavos, novenos y décimos vecinos:
Claramente se observa que
los valores de la constante de Madelung convergen a un valor que es 
. Y que la diferencia
entre la aproximación a novenos y decimos vecinos se encuentra en la quinta
cifra decimal.
RED TRIDIMENSIONAL CÚBICA
Calcularemos la constante de
Madelung para el caso particular de la red cristalina del NaCl.
Aproximación a primeros vecinos:
Aproximación a segundos vecinos:
La red ahora es un cubo
formado por 5*5*5 iones; para hacernos una idea de la red dibujamos las
caras superior e inferior y los planos interiores paralelos a dichas
caras, formados estos por 5*5 iones.
Cara superior e inferior(1):
-q/8 q/4 -q/4
q/4 -q/8
q/4 -q/2 q/2 -q/2 q/4
-q/4 q/2 -q/2
q/2 -q/4
q/4 -q/2
q/2 -q/2 q/4
-q/8 q/4 - q/4
q/4 -q/8
Planos intermedios(2):
q/4 -q/2 q/2 -q/2 q/4
-q/2 q q
q - q/2
q/2 -q
q -q q/2
-q/2 q -q
q -q/2
q/4 -q/2 q/2 -q/2
q/4
Plano central(3):
-q/4 q/2 -q/2
q/2 -q/4
q/2 -q
q -q q/2
-q/2 q -q
q -q/2
q/2 -q
q -q q/2
-q/4 q/2 -q/2
q/2 -q/4
Aproximación a terceros vecinos
Igual que antes
consideraremos la red como un conjunto de planos paralelos cada uno de ellos
formado por 7*7 iones, separado cada uno de ellos por una distancia ‘a’.
Operando exactamente igual
que antes se tiene que el valor de energía es:
*A
la suma de los diez primeros sumandos la llamamos B.
De donde se tiene el valor
de la constante de Madelung (sacando factor común q/a.
Aproximación a cuartos
vecinos:
De donde se tiene que (despejando q/a) la constante
de Madelung para una red cristalina de NaCl es:
Monografías
