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Integrales Impropias

Vamos a extender el concepto de integral definida para los siguientes casos:

1.     Cuando los limites de integración son infinitos o el intervalo de integración es infinito.

2.     Que la función no este acotada en, o sea que la función  f  presente una discontinuidad infinita en.

“Las integrales que responden a algunos de estos dos casos se llaman Integrales Impropias.”

Caso 1: integrales impropias con intervalos de integración infinitos

Definiciones:

a)    :

                              Sea  f una función continua en con y  a” fijo, o sea, existe y si existe

                               entonces 


b)    :

                              Sea  f una función continua en con y  b” fijo, o sea, existe y si

                              existe    entonces   


Nota: en los casos a), b) si el limite existe, decimos que la integral impropia es convergente y su valor es el del

           limite.

           Si no existe el limite, decimos que la integral impropia es divergente(y no tiene valor).

c)    :

                               Sea  f continua con “c” cualquier número real y si   y   son

                              convergentes entonces:

                             = +            

         Si una de las dos integrales es divergente   Diverge


   En general c=0 , para facilitar el cálculo.

Caso 2: integrales impropias con integrandos infinitos o con funciones no acotadas en  

Casos:

a)

                                                                                               ;        

b)   


                                                                                                      ;    

c)   


                                                                                                          ;    


Definición:

a)   Si  f  es una función continua y si    entonces

     , siempre que este limite exista.

b)   Si  f  es una función continua y si    entonces

       , siempre que este limite exista.

Nota : en los casos a),b) si el limite existe decimos que la integral impropia es convergente y su valor es el del

            limite. Si el limite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.

c)   Sea  f   una función continua y tal que   y  si existen

      y            

Nota:  si una de las dos integrales impropias es divergente   es divergente.

Observaciones:

1)       Si nos dan una integral que responda al primer caso, aseguramos que es impropia porque en ella el

       intervalo de integración es infinito.

2)       Si nos dan una integral del segundo caso , o sea de la forma , primero debemos decidir si es

       una integral definida o impropia, para ello analizo el comportamiento de la función  f  en el intervalo

      , o sea,

      i)  Si el   cuando   ó  ó   con , en cualquiera de estos casos

          la integral dada es impropia.

  ii)   No toda función que presente una discontinudad en un punto es impropia ya que dicha discontinudad debe

        ser infinita.

3)       Se pueden combinar en una misma integral impropia los dos casos vistos.

Teorema de comparación para integrales impropias


Si  f   y  g  son continuas  con   y si :

i)   Si     converge          converge.

ii)  Si    diverge            diverge.

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