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Integrales Impropias.

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Integrales impropias con intervalos de integración infinitos, Integrales impropias con integrandos infinitos o con funciones no acotadas en Casos, funciones, Teorema de comparación para integrales impropias.

Agregado: 29 de AGOSTO de 2000 (Por ) | Palabras: 547 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografías > Matemáticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Integrales Impropias
  • Tablas y fórmulas útiles: Introducción. Cálculo complejo. Cálculo vectorial. Funciones elementales. Trigonométricas. Logarítmicas y exponenciales. Derivación. Propiedades generales. Tabla de derivadas. Integración Definición y propiedades. Tabla de integrales.
  • Integrales Impropias.: Integrales impropias con intervalos de integración infinitos, Integrales impropias con integrandos infinitos o con funciones no acotadas en Casos, funciones, Teorema de comparación para integrales impropias.

  • Enlaces externos relacionados con Integrales Impropias

    Integrales Impropias

    Vamos a extender el concepto de integral definida para los siguientes casos:

    1.     Cuando los limites de integración son infinitos o el intervalo de integración es infinito.

    2.     Que la función no este acotada en, o sea que la función  f  presente una discontinuidad infinita en.

    “Las integrales que responden a algunos de estos dos casos se llaman Integrales Impropias.”

    Caso 1: integrales impropias con intervalos de integración infinitos

    Definiciones:

    a)    :

                                  Sea  f una función continua en con y  a” fijo, o sea, existe y si existe

                                   entonces 


    b)    :

                                  Sea  f una función continua en con y  b” fijo, o sea, existe y si

                                  existe    entonces   


    Nota: en los casos a), b) si el limite existe, decimos que la integral impropia es convergente y su valor es el del

               limite.

               Si no existe el limite, decimos que la integral impropia es divergente(y no tiene valor).

    c)    :

                                   Sea  f continua con “c” cualquier número real y si   y   son

                                  convergentes entonces:

                                 = +            

             Si una de las dos integrales es divergente   Diverge


       En general c=0 , para facilitar el cálculo.

    Caso 2: integrales impropias con integrandos infinitos o con funciones no acotadas en  

    Casos:

    a)

                                                                                                   ;        

    b)   


                                                                                                          ;    

    c)   


                                                                                                              ;    


    Definición:

    a)   Si  f  es una función continua y si    entonces

         , siempre que este limite exista.

    b)   Si  f  es una función continua y si    entonces

           , siempre que este limite exista.

    Nota : en los casos a),b) si el limite existe decimos que la integral impropia es convergente y su valor es el del

                limite. Si el limite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.

    c)   Sea  f   una función continua y tal que   y  si existen

          y            

    Nota:  si una de las dos integrales impropias es divergente   es divergente.

    Observaciones:

    1)       Si nos dan una integral que responda al primer caso, aseguramos que es impropia porque en ella el

           intervalo de integración es infinito.

    2)       Si nos dan una integral del segundo caso , o sea de la forma , primero debemos decidir si es

           una integral definida o impropia, para ello analizo el comportamiento de la función  f  en el intervalo

          , o sea,

          i)  Si el   cuando   ó  ó   con , en cualquiera de estos casos

              la integral dada es impropia.

      ii)   No toda función que presente una discontinudad en un punto es impropia ya que dicha discontinudad debe

            ser infinita.

    3)       Se pueden combinar en una misma integral impropia los dos casos vistos.

    Teorema de comparación para integrales impropias


    Si  f   y  g  son continuas  con   y si :

    i)   Si     converge          converge.

    ii)  Si    diverge            diverge.

     
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