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MATEMÁTICA: Ciencia de la ficción.
I Parte
Matemática: cf. Ciencia que
trata de la cantidad en cuanto es mensurable y representable en números y figuras.1
Puesto que ignoro lo
suficientemente bien los contenidos
esenciales de la matemática, recurriré a las geniales artimañas de Socrates
para esculcar entre lo obvio de esta ciencia para que poco a poco y con gran
suerte pueda percibir junto a quien me acompañe, lo que nos muestre de sí misma al preguntarle, con
alegre interés sobre su propia
naturaleza. Propongo avanzar con
humildad, paso a paso a través de ella
en la medida en que la propia naturaleza de esta ciencia ilumine el camino
develando la próxima salida.
Como puede verse el
recorrido partirá con la definición ofrecida por un viejo diccionario
enciclopédico que como primer dialogante ofreció la definición arriba expuesta.
Bajo el amparo de este
concepto cualquiera (y aceptado culturalmente) de matemática2 preguntemos sobre el carácter
de ciencia de la matemática: en cualquier diccionario por simple que sea la
matemática es definida en primer termino como ciencia. Asumiendo la validez
histórica de tal clasificación, la primera pregunta parece ser: ¿cuál es el objeto de estudio de esta ciencia? ¿Cuál
es la naturaleza de los objetos acerca de los cuales la matemática es ciencia?
Recurramos a un objeto
particular, popular y de probado abolengo, un objeto geométrico y cuya
representación en números, letras y gráficos es conocida por todos:
El área de un triángulo: bxh
2
El área que determina la
formula es el área de un objeto conceptual, se hace mensurable mediante la
representación del mismo en números (objetos conceptuales) ordenados o
dispuestos bajo una estructura conceptual (formula de área de un
triángulo) y tal relación establecida
conceptualmente entre figura (conceptual) y número es aceptada como ciencia.
Idéntica situación se revela
al observar y calcular la hipotenusa o la pendiente, igual sucede en la
actividad algebraica si mensuramos y representamos bajo los signos convencionales de una ecuación un aspecto
cualquiera de la realidad bajo la
interpretación formal del antiguo
lenguaje del álgebra.
Lo que quiero expresar –tal
vez con poca fortuna- es el hecho de que los objetos de los cuales es ciencia
la matemática son objetos conceptuales. Por objeto conceptual se entiende aquel
(concepto, proposición y teoría) que ha de ser entendido independientemente de
su representación concreta sea esta escrita, verbal, gráfica o plástica...
conjunto de lN,Z,Q,lR...
Y de las relaciones,
funciones, teoremas y axiomas que de ellos deriven.
Así pues los objetos de estudio de la matemática son
objetos conceptuales. La pregunta a tal afirmación: ¿cuál es la naturaleza y el
modo de existencia de los objetos conceptuales? En la naturaleza de estos
objetos debe estar la naturaleza de la ciencia matemática en tanto que
valiéndose únicamente de ellos logra ”imponer” la validez de su contenido
independientemente de la corriente filosófica que la observe. Su humanidad
parece ser el principio de la calidad existencial con la cual deviene. Pero
esto es una afirmación que debe ser sustentada
intrínsecamente, esto es, determinada por la naturaleza misma de la
matemática.
Veamos pues como han
descrito los hombres la naturaleza de su producción conceptual.
Para Platón el objeto
conceptual es el más real (existente) de los objetos3.
En la ontología platónica no hay trabas a la creación matemática, ninguno de
los pensamientos platónicos protestaría ante la realidad de la creación
abstracta, ni ideal, por el contrario, tales objetos los ofrece como prueba de
sus postulados sobre la presencia preexistente de los conceptos más ciertos y
reales.4
Si adelantándonos radicalmente recurrimos a las tesis
nominalistas sobre la existencia de los objetos conceptuales veremos como la
realidad y existencia de estos objetos viene dada por su análoga, simultanea e
inherente fusión con el “alter ego” lingüistico del cual son contenido. El
objeto conceptual debe su existencia al hecho de poder ser expresado
(representado) en números, figuras, toda vez en signos.5
Empíricamente un objeto
conceptual existe en tanto sensación perceptible para la mente humana. Puesto
que es sensación e imagen para la mente, sin que intervengan los sentidos
físicos, se trata de un objeto mental.
Evidentemente contrarias,
estas proposiciones son también sucesiones
conceptuales, son relativas a su propia naturaleza; habrá de verse que
aporta cada una en la empresa de develar la naturaleza y existencia de los
objetos de estudio de la matemática.
Matemática, ciencia de la
ficción.
Parte II
La matemática como cualquier lengua o idioma sea regional, musical o técnico es producto de una convención, sin embargo,
presenta una diferencia radical sobre el objeto a convenir. Si bien en
cualquiera de los lenguajes enunciados
la convención se refiere al código mediante el cual se designara lingüísticamente un contenido fenoménico, en la
matemática la convención es referida al contenido (signo) y al símbolo lingüistico por igual. Es decir se conviene,
se asume que el contenido no tiene porque representar un fenómeno o hecho observable o cuantificable, por ello
en esta ciencia es posible la concepción, por ejemplo, teorizar sobre el
infinito o el continuo calculo común de la matemática contemporánea. Esta propiedad de la actividad, contenido y especulación de la
ciencia llamada matemática es lo que interesa exponer; otro modo de
plantear el problema: ¿ es posible una ciencia
de contenidos intangibles, no fenoménicos, supuestos, o intuidos? ¿ Que
clase de contenidos son los contenidos de la matemática? ¿ Cuál la de los
objetos conceptuales? . Es curioso que
desde el punto de vista “popular” la matemática sea aceptada como una actividad científica por excelencia, es
curioso este detalle, pues en el coinciden la acepción común bajo la cual se
clasifica esta disciplina y el rango
que a ella le dieran los griegos. [i]
Los griegos
tenían muy claros argumentos para
pensar así, pero... desde la común acepción que la modernidad impuso como paradigma científico: ¿Cómo se entiende
que la ciencia se refiera a objetos cuya existencia sea puramente conceptual? Hace medio siglo el
concepto filosófico de ciencia (en los medios científicos) sostenía como
principio que solo tiene sentido hablar de
aquello que puede ser cuantificable y que todo concepto científico debe
definirse en términos relativos a significados concretos, contenidos
materiales, mensurables, fenoménicos. Esta posición –ajena al mundo científico[ii]-
es una postura muy común en la cultura
actual.
Paradójicamente los objetos conceptuales parecen extraños a la ciencia. Socrates exigiría una definición seria del término objeto
conceptual para poder así determinar si son
afines o no a esta actividad. Igualmente la naturaleza de los objetos
conceptuales es un problema puntual de la actividad filosófica. Siendo, como
son, contenidos mayoritarios de la matemática,
me parece interesante la revisión sobre la naturaleza de los mismos y servirá de punto de partida para una reflexión sobre otras manifestaciones
culturales que conformadas conceptualmente
carecen del peso categórico de la actividad matemática.
1
Enciclopedia Vergara. Enciclopedia básica ilustrada. España.1963.
2
La idea es disfrutar un poco de la libertad del diálogo socrático.
3
Teoría platónica de las ideas.
4
Pasaje del esclavo (Menon) Teoría de la reminiscencia en general.
5
La realidad de la razón se hace fenómeno mediante el lenguaje. Es sin duda la
interpretación más irrespetada por lo superficial de la exposición sobre
teorías tan logradas como las propuestas en La fenomenología del espíritu por
Hegel . Ruego que entiendan que mevalgo de la somera comprensión de sus
postulados para argumentar mi exposición.
[i]
Esta coincidencia de criterios es tan llamativa como la discrepancia que
aparece si se interroga sobre el
carácter científico de la ética y de
los paradigmas morales.
[ii]
Si bien cualquier científico reconocería la validez científica de teorías cuyo
contenido no es observable, concreto o material, es casi seguro que dudaría si
se le pregunta sobre la validez de objetos conceptuales relativos a la moral
aun cuando los contenidos de ciertas leyes de la ética sean concretos
observables.
Pero, ¿cuál es la naturaleza
de los conceptos que conforman el ámbito de conocimiento matemático?
Cualquier proposición
matemática –sea algebraica, aritmética o geométrica – es la expresión
lingüística de un objeto conceptual aún
cuando los símbolos representativos del
enunciado, función, axioma o
algoritmo (proceso) matemático
de la operación cualquiera sea la
imagen de un fenómeno concreto, material o accesible a la experiencia.
Por ejemplo:
La altura de una
secoya, es tan esencial al “ser” de la secoya como el hecho fáctico de su peso, como la madera de su estructura, su fototropismo positivo,
longevidad, composición orgánica, proceso fotosintético, tipo de hojas y
localización biótica. Es decir, la secoya es un árbol que puede alcanzar gran altura, grosor y dureza, de verticalidad
perfecta, y característica de los bosques templados septentrionales.
Ahora bien, al igual que
todos esos conceptos sobre la naturaleza de la secoya, el de altura es un
objeto mental. También lo es el proceso de su calculo: sucesión de objetos
mentales interdependientes entre sí, sea que utilicemos un metro, él calculo
pitagórico o el “ojo del buen cubero” y el enunciado de la altura estaría expresado en unidades de longitud -
pies, metros, yardas, palmos, codos- formas nominales referidas a contenidos
materiales.
Las tres doctrinas expuestas
asumen la existencia de contenidos verdaderos en los objetos conceptuales de la
matemática clásica y aun de la más contemporánea; del mismo modo ninguna de las
tres define acertadamente la esencia del objeto conceptual en su totalidad.
1.
Los postulados platónicos
garantizan la existencia y la validez
de las ideas generales y las abstracciones debido a la naturaleza
preexistente de las mismas, es decir, son reales independientemente de la
noción que de ellas se tenga. Sin
embargo:
·
Ni la demostración
material ni el proceso intelectual
inciden sobre la realidad y existencia de las ideas; por el contrario son parte de un universo de formas
autónomas que son verdaderas mas allá
del proceso intelectual capaz de develarlas.
2.
Bajo la interpretación
nominalista se invalidan el origen
mitológico, preexistencia y autonomía de
los objetos conceptuales del conocimiento. El proceso psicológico intrínseco de la invención abstracta viene
dado en la aprehensión del objeto de conocimiento mediante el lenguaje, pero:
·
La realidad del objeto reside en la posibilidad de ser expresable
mediante un símbolo. El objeto
conceptual es o puede ser como objeto designante (signo) de un objeto designado
(símbolo). Esto da por sentado que el objeto conceptual “es “ necesariamente objeto lingüístico, extralingüísticamente esta subordinado por el uso arbitrario que
se le dé al símbolo que lo refiere.
3.
Empíricamente el objeto conceptual es él
ultimo producto del proceso intelectual mediante el cual la multiplicidad de
existenciales perceptibles en la experiencia es refinada hasta presentarse como
objeto mental ante el intelecto. Así
que si bien libera de todo origen mitológico al objeto conceptual y admite su causa puramente intelectual.
·
En esta doctrina la verdad
o validez de una abstracción viene dada
en la medida que es
representación u objeto mental de los perceptibles dados en la experiencia . Cómo constructo depende de su valor
para representar la realidad sensible de manera idónea al intelecto. ¿Cómo se conciben funciones y derivaciones al
infinito y aun en matemática aplicada
que representan y miden los cálculos de la mecánica cuántica?
4.
Los mismos interrogantes pueden ser
planteados ante los postulados del positivismo lógico. ¿
Qué tipo de conceptos debe contener una
ciencia?
·
Esta doctrina aceptada abiertamente por
los científicos de hace 60 años
define como ciencia las disciplinas referidas a los objetos fenómenicos susceptibles
de ser cuantificables en sus modos de existencia. ¿Es esto tan simple?
La matemática contemporánea tiene como objetos típicos
de su estudio objetos conceptuales que
no son necesariamente objetos lingüístico referentes a un perceptible. El
contenido material y concreto no es lo
que hace validos los contenidos, proceso y resultados de las proposiciones
matemáticas.
Los objetos de
estudio de la matemática son objetos
conceptuales. Para definir que tipo de disciplina es la matemática es necesario
determinar la naturaleza de sus contenidos por lo cual y como al
principio de la exposición es preciso retomar la pregunta que
interroga sobre la naturaleza de los objetos de conocimiento que le atañen.
Hasta la próxima entrega.
Feliz Navidad y los mejores augurios para el próximo
año.
E. Carmen.
P.D. Cómo saben una gran tragedia a destruido gran parte de la región costera de mi país, ciudades enteras han desaparecido bajo
aludes de piedras y lodo. Por otra parte debo viajar para encontrarme con mi familia
en España. Por ello la continuación de
este informe será presentada a partir
del 15 –1-2000.
Para mayor información sobre el tema es recomendable
la lectura que sobre los objetos
conceptuales y el lenguaje tratan los siguientes autores:
Wittgestein: Tractatus Logico filosofico I y II
Bunge M. El ser no tiene sentido y el sentido no tiene
ser: notas para una conceptología.
Huntington E. A set of postulates for abstract
geometry.
Platón: La República (mito de la Caverna). Menon:
pasaje de esclavo. Teoría de la Reminiscencia.
Hegel W. Fenomenología del espiritu.
Hume D. Investigaciones.
Monografías
