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Números complejos.

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Historia de los números complejos, los numeros: e , pi , i, la unidad imaginaria, numeros complejos, los reales como subconjunto de los complejos, suma y resta, multiplicacion, division, inverso de un numero complejo, potenciacion, complejos: propiedades

Agregado: 29 de AGOSTO de 2000 (Por ) | Palabras: 4501 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografías > Matemáticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Numeros complejos
  • La Evolución del Dibujo.: ...
  • Teoría Atómica Moderna: ...
  • Compuestos complejos: ...

  • Enlaces externos relacionados con Numeros complejos

    HISTORIA

    Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos. Incluso en tiempos recientes, tribus que mantenían normas de vida muy primitivas tenían los conceptos numéricos muy atrasados. Por ejemplo, se dan casos en los que no existía nombre para cantidades mayores que tres; en otros, para números un poco mayores se utilizaban términos similares a "muchos" o "incontables".

    Si retrocedemos al tiempo, de las cuatro grandes civilizaciones del mundo occidental antiguo (  Babilonia,  Egipto,  Grecia y  Roma), veremos que babilonios y griegos desarrollaron elevados conocimientos de matemáticas.

    Para poder realizar importantes obras agrícolas y arquitectónicas, los babilonios tuvieron que desarrollar, hacia el siglo XXII a. de C., un sistema de numeración útil.

    Se sabe que su sistema de numeración era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10); es decir, dividían la unidad en 60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 60 minutos). Los sumerios también utilizaban este sistema de numeración, y realizaban complicados cálculos aritméticos.

    Aunque los  egipcios no hicieron aportaciones tan significativas como los griegos al desarrollo de los números, se ha encontrado un interesante documento, en el cual se demuestra que ya manejaban algunas fracciones sencillas. Este documento se denomina el Papiro de Rhind. Fue escrito bajo el reinado del rey Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. de C., y, al parecer, es una transcripción de un escrito más antiguo, que se remontaría al reinado de Amenemhat o Amenemes III (XII dinastía, 1850-1800 a. de J. C.). En este papiro se observan unas reglas para realizar sumas y restas de fracciones.

    Cuando se debía realizar una repartición exacta, no se presentaban problemas de cálculo; sin embargo, si había que dividir 42 panes entre 10 personas, la operación se complicaba. En estos casos, los babilonios utilizaban el número decimal (4,2), mientras que los egipcios, con un sistema de numeración más primitivo, necesitaban de las fracciones para expresar estas divisiones no exactas. Conocían las fracciones de numerador 1 y de denominador 2, 3, 4 , etc., además de las fracciones 2 / 3 y 3 / 4. En el papiro de Rhind se propone un método de cálculo (bastante pesado) que permite dividir 2 entre 19 de la siguiente manera: 

    Los  chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban "hijo"  al numerador, y "madre" al denominador.

    Pero, entre todos los pueblos de la antigüedad, fueron los  griegos los que realizaron las aportaciones más valiosas al  desarrollo del concepto de número. La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un pentágono regular, o la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción. Creyeron que el caos entraba en su mundo ordenado, y llamaron a tal razón "alogos" o irracional.

    Posteriormente se desarrolló el concepto de número negativo. Fueron los chinos, quienes en el siglo III a. de C. emplearon las varas de contar, un conjunto de barras pintadas de rojo para los números positivos, y de negro para los negativos. Un siglo después, aparecen por vez primera reglas para operar con los números negativos; sin embargo, no eran aceptados como soluciones de los problemas.

    Siglos después, hacia el año 500, en la  India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración. El principio de posición (valor relativo de las cifras), las nueve cifras y el cero aparecen en las obras del matemático indio Brahmagupta. Durante esta época, los matemáticos indios también aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales.

    En el año 772, una embajada india llevó hasta Bagdad los libros en que se recogían estos conocimientos. Gracias a este hecho, en la primera mitad del siglo IX se recopilaron los nuevos métodos matemáticos en un tratado de Al-Khuwarizmi, que en el siglo siguiente se difundieron lentamente por Occidente.

    La  civilización musulmana llevó estos conocimientos a Sicilia y a España, y los mercaderes árabes e italianos los adoptaron, satisfechos de no tener que llevar consigo el incómodo ábaco. Fue el mercader Leonardo Pisano quien, después de haber aprendido aquel arte de los árabes en sus viajes comerciales por Argelia, Sicilia y Oriente, reunió todos los conocimientos de aritmética y álgebra de su tiempo en una obra llamada Liber Abaci (1202), que difundió por Europa la numeración india.

    Hasta entonces, en  Europa se habían evitado los números negativos; pero en el siglo XIII, el matemático italiano Fibonacci, en un problema referente al dinero, que no tiene solución positiva, observó su necesidad. Durante el siglo XIV, los números negativos eran denominados numeri absurdi. Se debió esperar hasta el siglo XV, para que el francés Chaquet expresara por primera vez un número negativo aislado en la ecuación

    4x = -2

    Durante el  siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, nomenclatura de origen árabe. Pero, aunque algunos problemas se solucionaban, surgían otros. Al intentar resolver ecuaciones de segundo grado como

       

    x2 - 2x + 5 = O

    y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones, como  la raíz cuadrada de -16, que no se sabían interpretar. Aun sin entenderlas, algunos comenzaron a manipularlas con las mismas reglas que utilizaban para los números que conocian. Fue Cardano, durante este mismo siglo, quien propuso un nuevo tipo de números, que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos.

    El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el Siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.

    Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de  -1 el nombre de i ( imaginario). En 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número  "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de  -1, llamado unidad imaginaria.

    Como ha podido comprobarse, para llegar a conceptos que hoy nos parecen sencillos y lógicos, han tenido que pasar muchos siglos y muchas culturas, cada uno de los cuales ha hecho sus aportaciones al conocimiento de los números.

      Numeraciones de otras civilizaciones.

    LOS NUMEROS:  e , PI , i

    Sin duda, los tres números más famosos y que más atracción han despertado son: p, e, y i

    * El número p se ha estudiado durante siglos, y no es más que la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro:

     


    * El número e, más tardío, es el límite de la sucesión de término general.


     
    es decir,


    * La unidad imaginaria i, se introdujo para poder dar solución a la ecuación  x2 + 1 = 0

     
    A pesar de tener un origen tan dispar, los tres números se relacionan mediante una expresión extremadamente sencilla:


     

    Esta igualdad se deduce de la expresión exponencial de los números complejos:

     


     


    LA UNIDAD IMAGINARIA

    Llamamos unidad imaginaria al número Ö- 1, que se representa con el símbolo i

    De esta manera, tenemos que:  i = Ö- 1  o    i2 = - 1

    Con la unidad imaginaria i se pueden realizar operaciones ( suma, resta, multiplicación, etc.) de manera similar a la de la familiar X de los polinomios. Con una sola excepción:  i2 = -1

    Se admiten, por tanto, manipulaciones como las que siguen:



    NUMEROS COMPLEJOS

    Se llama número complejo a una expresión de la forma a + bi, donde a y b son números reales.

    El número a se llama parte real. El número b se llama parte imaginaria. 

    5 + 3i  (5 es la parte real, 3 la parte imaginaria)

    -7 + 4i  (- 7 es la parte real, 4 la parte imaginaria)

    -1 -  i    (- 1 es la parte real, - 1 la parte imaginaria)

    Son casos especiales los complejos que tienen la parte real o imaginaria nula:

    Si b = 0, el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a. 

    Si a = 0, el número complejo se reduce a bi; se dice que es un número imaginario puro.

    Si a = 0 y b = 0, resulta el número complejo 0 + 0i, que se llama número complejo cero, y se escribe 0.

    Dos números complejos son iguales si lo son las partes reales e imaginarias, respectivamente.


    Se llama conjugado de z = a + bi al número complejo z definido por z = a - bi.


    LOS REALES COMO SUBCONJUNTO DE LOS COMPLEJOS

      Al conjunto de los números complejos lo denotaremos C.

    Todo número real se puede considerar como un número complejo con parte imaginaria cero:

    a = a + 0 i 

    Por tanto el conjunto de los números reales es un subconjunto de los complejos:



    SUMA Y RESTA

    Queremos sumar los números complejos 3 - 2i  y  5 + 6i:

    (3 - 2i) + (5 + 6i) = 3 + 5 - 2i + 6i = 8 + 4i

    Análogamente procederemos para restar el número complejo 4 - 7i de otro complejo 6 - 5i:

    (6 - 5i) - (4 + 7i) = 6 - 4 - 5i - 7i = 2 - 12i

    Partiendo de estos ejemplos, se puede generalizar y decir que se suma (o se resta) parte real con parte real, y parte imaginaria con parte imaginaria:



    MULTIPLICACION

    Para multiplicar complejos, se aplica la propiedad distributiva como si se tratara de números reales; debe tenerse en cuenta que :  i = Ö-1 ,  i2 = -1

    ( 3 + 4 i ) · ( 2 - 5 i ) = 26 - 7 i 

    En general, se tiene que:


     

    ( 3 + 4 i ) · ( 2 - 5 i ) = [ 3 · 2 - 4 · (- 5) ] + [ 3 · (- 5) + 4 · 2 ] i = 26 - 7 i

    Observación:

    El producto de un número complejo por su conjugado, es un número real:

    ( a + bi ) · ( a - bi ) = a2 + b2  

    ( 2 + 3 i ) · ( 2 - 3 i ) = 4 + 6 i - 6 i - 9 i2 = 4 + 9 = 13

    DIVISION

    Para dividir el número complejo 5 + 15i entre el número complejo 2 + i: 



    multiplicaremos numerador y denominador por el conjugado del denominador; así, el resultado no se altera y, además, el divisor pasa a ser un número real:


     

    En general:



    INVERSO DE UN NUMERO COMPLEJO

    Recuerda  que  el  inverso  de  un  número   N   es  otro  número   N'   tal  que  su  producto de 1:      N · N' = 1

    El inverso del número complejo a + bi es:

         
    ya que:




    POTENCIACION

    Para calcular (a + bi)n, podemos aplicar la propiedad distributiva y operar como en las expresiones algebraicas:


    Si las potencias son superiores a 3, es conveniente utilizar la expresión del binomio de Newton


    Desarrollando por el binomio de Newton la potencia (2 + 3i)4 y operando, obtenemos como resultado - 119 - 120 i 

    COMPLEJOS: PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

    La adición  y la multiplicación  tienen las mismas propiedades que cuando de números reales se trata. Las enunciamos sin  demostrarlas, tarea que dejamos al lector.

    Conmutativas:

    ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( c + d i ) + ( a + b i )

    ( a + b i ) · ( c + d i ) = ( c + d i ) · ( a + b i )

    Asociativas:

    [ ( a + b i ) + ( c + d i ) ] + ( e + f i ) = ( a + b i ) + [ ( c + d i ) + ( e + f i ) ]

    [ ( a + b i ) · ( c + d i ) ] · ( e + f i ) = ( a + b i ) · [ ( c + d i ) · ( e + f i ) ]

    El elemento neutro de la suma es 0 = 0 + 0 i

    El elemento neutro de la multiplicación es 1 = 1 + 0 i

    El elemento opuesto de  a + b i  es  - a - b i

    El elemento inverso de  a + b i  es  ( a - b i ) / ( a2 + b2 )

    COMPLEJOS: ECUACION DE SEGUNDO GRADO

    Las raíces cuadradas de números negativos no tienen solución real, pero en cambio tienen solución en el conjunto de los números complejos.



    Recordemos que las ecuaciones de segundo grado con discriminante negativo no tienen solución en el conjunto de los reales (ya que en R no existe la raíz cuadrada de un número negativo).

    En el conjunto de los complejos, toda ecuación de segundo grado tiene solución, ya que la raíz de un número negativo sí que existe.

    Las soluciones de la ecuación x2 + 4 = 0 son:  2 i y - 2 i

    Las soluciones de la ecuación x2 - 6x + 13 = 0 son: 3 + 2 i y 3 - 2 i

    En general, cualquier ecuación de segundo grado con discriminante negativo tiene dos soluciones complejas conjugadas.

    Las soluciones de la ecuación x2 - 4x + 13 = 0 son dos complejos conjugados:

    2 + 3 i   y   2 - 3 i 

    COMPLEJOS: REPRESENTACION GRAFICA

    ¿Cómo se representan gráficamente los números complejos?

    Dibuja un sistema de coordenadas cartesianas. En el eje de abscisas se representa la componente real y en el eje de ordenadas, la componente imaginaria: 

    En este sistema de coordenadas hacemos corresponder a cada número a + bi el punto de coordenadas A = (a, b), que recibe el nombre de afijo  del número complejo a + bi.

    El punto (a, b) determina con el origen de coordenadas un vector, al que llamaremos vector posición del número complejo a + bi: 

    Observación:

    Los números reales (considerados como complejos) se representan sobre el eje real.

    Los números imaginarios puros se representan sobre el eje imaginario

    Representación gráfica de la suma de complejos

    Podemos sumar gráficamente dos números complejos; lo haremos tal como sumamos vectores: 

    Representación del conjugado

    El conjugado de a + bi es a - bi, luego su representación es simétrica respecto del eje horizontal: 

    Multiplicación por la unidad imaginaria i

    Multipliquemos por i el número complejo a + bi:



    Si representamos gráficamente el resultado , obtenemos algo curioso: multiplicar por i, supone girar 90° el número complejo inicial.

    MODULO Y ARGUMENTO


     El módulo de un número complejo z = a + bi es la distancia de su afijo ( a , b ) al origen de coordenadas [la longitud de su vector posición]. Se designa entre barras verticales y se calcula usando el Teorema de Pitágoras: 


    Se llama argumento de un complejo z = a + bi, al ángulo a que forma el semieje positivo con el vector posición de z. Se calcula mediante la expresión de la tangente: 

     


    Observación:

    El argumento de un complejo no es único. Si a es un argumento, también lo son:

    a + 1 · 360°, a + 2 · 360°, ...., a + K · 360°, donde K es cualquier número entero.

    Dada la existencia de infinitos argumentos, se suele elegir el único de ellos que está entre 0° y 360°, el cual recibe el nombre de argumento principal. 

    El módulo del número complejo 

    En cuanto al argumento, sabemos que:



    Los ángulos de 150° y 330° tienen por tangente -1/Ö3. Pero es evidente que el primero debe rechazarse, pues el afijo P del complejo que se está considerando está situado en el cuarto cuadrante, y no en el segundo. Por tanto, el argumento del complejo dado es 330°.

    El módulo del complejo 

    Y su argumento 45º, ya que el afijo de 1 + i está en el primer cuadrante     

    El argumento principal del complejo                                  ,  porque 240° debe rechazarse, ya que z está en el primer cuadrante.

    Otros argumentos: 420°, - 300°, 780°,... 

    FORMAS DE EXPRESAR UN COMPLEJO

      Un número complejo se puede expresar de distintos modos:

    Forma binómica

    Forma cartesiana

    Forma polar

    Forma trigonométrica

    FORMA BINOMICA Y CARTESIANA

    Se denomina forma binómica a la manera usual de escribir un complejo:

    a + b i

    Cuando un complejo a + b i lo representamos mediante su afijo ( a , b ), decimos que está expresado en forma cartesiana.

    FORMA POLAR

    Se denomina forma polar de un número complejo aquélla que expresa el complejo mediante su módulo y su argumento.

    Se representa ra donde r es el módulo y a el argumento

    El número 1 + i en forma polar se escribe 


     

    Dos números en forma polar son el mismo si: tienen el mismo módulo y sus argumentos difieren en un múltiplo entero de 360°




    Observa la igualdad de los siguientes complejos:


    ya que los tres tienen el mismo módulo y los argumentos difieren en 2kp 

    Observa la igualdad de los siguientes complejos:



    ya que los tres tienen el mismo módulo y los argumentos difieren en k · 360 

    Observa que un número real a se expresa en forma:

    si es positivo   y    si es negativo 

    EXPRESION TRIGONOMETRICA

    Si conocemos el módulo r y argumento a de un complejo z = a + bi,  podemos  deducir  que a = r cos (a)  y  b = r sen (a).

    Luego podemos escribir:



    A la expresión

            


    se la llama expresión o forma trigonométrica del número complejo z = a + bi.

    El módulo del número complejo Ö3 - i es 2

    Y su argumento, 330º

    Luego su expresión trigonométrica es:



    RESUMEN

      A modo de resumen, un número complejo se puede expresar en las formas:

    Forma binómica   a + b i

    Forma cartesiana  ( a , b )

    Forma polar   r a

    Forma trigonométrica   r ( cos a  + i·sen a )

    Forma exponencia  r · eia

    Donde a, b, r, a están relacionados por el teorema de Pitágoras y por razones trigonométricas

    Observa que, conocida una expresión, se pueden obtener las demás:  

    El complejo z = - 1 + Ö3 i , en forma trigonométrica es 2 (cos 120º  + i sen 120º)

    El complejo z = - 2 , en forma trigonométrica es 2 (cos p  + i sen p)

    OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

    No es conveniente hacer la suma y la resta de números complejos si están éstos expresados en forma polar, pues ni el módulo, ni el argumento del vector suma tienen una expresión sencilla en función de los módulos y los argumentos de los sumandos. Es preferible efectuar estas operaciones utilizando la expresión binómica de los números complejos.

    Por el contrario, el producto, cociente, la potenciación y radicación de números complejos expresados en forma polar es mucho más simple que en forma binómica.

    FORMA POLAR: SUMA Y RESTA

    No es conveniente hacer la suma y la resta de números complejos si están éstos expresados en forma polar, pues ni el módulo, ni el argumento del vector suma tienen una expresión sencilla en función de los módulos y los argumentos de los sumandos. Es preferible efectuar estas operaciones utilizando la expresión binómica de los números complejos.

    FORMA POLAR: PRODUCTO

    El producto de dos números complejos es otro número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos, y cuyo argumento es la suma de los argumentos:

     
    Observa los siguientes ejemplos:



    FORMA POLAR: DIVISION

    Como consecuencia inmediata del producto, podemos deducir que para dividir dos números complejos, se dividen los módulos y se restan los argumentos:


    Ya que si multiplicamos el divisor por el cociente, obtenemos el dividendo


    Observa los siguientes ejemplos:



    FORMA POLAR:POTENCIA

    Para calcular una potencia de un complejo en forma polar , elevamos el módulo a la potencia n y multiplicamos el argumento por n.



    Observa los siguientes ejemplos:



    Vamos a hallar  utilizando formas polares.

    En primer lugar, pasamos los complejos a forma polar:



    Operando obtenemos de resultado 1240

    Pasamos el resultado a forma binómica y obtenemos  



    Observa como simplificamos la expresión:




    FORMA POLAR: CONJUGADO E INVERSO

    El conjugado de un complejo en forma polar tiene el mismo módulo, pero argumento opuesto.



    El inverso de un complejo tiene por módulo el inverso del módulo, y por argumento el opuesto; se designa por ( ra )-1

      


    PRODUCTO: INTERPRETACION GEOMETRICA


    Multiplicar  ra  por  1b  es girar  ra  un ángulo  b



    En particular, para girar un complejo un ángulo de 90°, basta multiplicarlo por la unidad imaginaria i:



    Si multiplicamos dos complejos  ra  y  Sb,  el resultado obtenido es:

    Por un lado: el vector posición de  ra  ha girado un ángulo  b  y el módulo se ha multiplicado por S.

    Por otro lado: el vector posición de  Sb  ha girado un ángulo  a,  y el módulo se ha multiplicado por r:



    Observa el siguiente ejemplo:



    Para hallar el punto transformado de ( - 1, - 1) al aplicarle un giro de 75°, hacemos lo siguiente:

    En primer lugar lo pasamos a polar



    Lo multiplicamos por 



    El punto transformado es



    FORMULA DE MOIVRE


     Sea ra un número complejo en forma polar; si escribimos el resultado obtenido al elevar a una potencia  


    Ésta permite obtener fórmulas para el cálculo de cos ( na)  y  sen ( na ), utilizando solamente senos y cosenos de a.

    Tomemos como ejemplo el caso n = 3:



    Por un lado:

    Y por otro:



    En consecuencia, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos las expresiones de sen 3a y cos 3a




    Por la fórmula de Moivre se obtiene:


    RADICACION DE NUMEROS COMPLEJOS


     Si elevamos a la cuarta cada uno de los complejos                    , obtenemos el mismo resultado:   


    Al igual que en los números reales, se dice que                       

    son raíces cuartas de 


    En general:


    Los complejos                                son las raíces cúbicas de  

    CALCULO DE LAS RAICES N-SIMAS

    Basándose en la definición de potencia, se puede dar un método para hallar las n raíces n-ésimas de un número complejo ra:



    Primero: El módulo de las raíces se obtiene hallando la raíz n-sima de r:




     Segundo: Calculamos el primero de los argumentos dividiendo a entre n:


    Tercero: Dividimos 360° entre n:



    Cuarto: Obtenemos los demás argumentos sumando l al inmediato anterior: 




    Quinto: Las raíces n-simas de  ra  son:


    Observemos que hay exactamente n raíces n-simas.

    Calculemos las raíces cúbicas de - 8.


    La expresión polar de - 8 es 

    Los pasos previos son: 



    Tenemos, pues, que las raíces cúbicas de            son:   



    Calculemos las raíces cuadradas de


    Los pasos previos son:

     

    REPRESENTACION GRAFICA DE LAS RAICES N-SIMAS

     Los afijos de las  n raíces n-simas de un número complejo ra  están sobre una circunferencia de radio  , y cada dos consecutivos forman un ángulo de 360°/n o 2p/n radianes.


    Estas raíces están sobre la circunferencia de radio  ,y el ángulo entre dos raíces consecutivas es 360°/4 = 90°



    Estas raíces están sobre la circunferencia de radio  Ö9 = 3, y el ángulo entre dos raíces consecutivas es 360°/2 = 180°


    Las raíces cuartas de 1 son:


    Estas raíces están sobre la circunferencia de radio  1, y el ángulo entre dos raíces consecutivas es 2p/4 = p/2 radianes 


    Las raíces cúbicas de i son:


    Estas raíces están sobre la circunferencia de radio  1, y el ángulo entre dos raíces consecutivas es 2p/3 radianes 

    FORMA EXPONENCIAL

    Una forma de escribir la forma polar ra es:



    llamada forma exponencial de un complejo.

    Esta manera de expresar un complejo tiene la ventaja que la multiplicación, división, potenciación y radicación de las potencias es compatible con las respectivas operaciones con complejos:


     
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