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PROBABILIDAD

Experimentos aleatorios

Se llama experimento aleatorio a aquel que cada vez que se realiza, hay un conjunto determinado de resultados posibles, pero en ningún caso es posible predecir el resultado del experimento. Ej. :

§         Se arroja un dado y se anota el resultado

§         En un grupo de 10 alumnos, se cuenta cuántos de ellos tienen ojos azules

§         Se arroja un dardo sobre una superficie plana y se observa la marca dejada

Experimento no aleatorio

En estos experimentos es posible predecir el resultado. Ej. :

§         Se invierte un recipiente sin tapa, que contiene líquido

§         Se deja caer un objeto desde cierta altura y se calcula el tiempo que tarda en tocar el piso (esto puede calcularse con la fórmula correspondiente y predecir el resultado)

Trabajaremos sólo con experimentos aleatorios.

Espacio muestral

Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio, al conjunto E formado por todos los resultados posibles de dicho experimento. Ej. :

§         Al arrojar un dado: E= {1, 2, 3, 4, 5, 6}               (conjunto finito)

§         En el grupo de 10 alumnos: E={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}      (conjunto finito)

§         El dardo puede clavarse en uno de los infinitos puntos de la superficie, entonces el conjunto E es un conjunto infinito

Trabajaremos sólo con experimentos aleatorios cuyo espacio muestral sea finito.

Sucesos, eventos o acontecimientos

Dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E, un suceso o evento A es un subconjunto de E.

Ej. : el espacio muestral E corresponde al experimento que consiste en arrojar un dado y observar el resultado obtenido, es:

E

 

1              2              3

    4             5              6

 
            E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Puede suceder que al arrojar un dado se obtenga un número impar, es decir, que el resultado sea un elemento de I={1, 3, 5}  o que sea un número par, es decir, que pertenezca al conjunto P={2, 4, 6}


Los conjuntos I y P son sucesos correspondientes al experimento de arrojar el dado.

Se dice que el suceso A ocurre, si, al realizarse el experimento, el resultado es un elemento de A.

Existen tantos sucesos distintos como subconjuntos del espacio muestral. Entre estos sucesos están, en particular, el conjunto vacío y el mismo E, pues:

                                   ÆÍE,   EÍE

Al suceso Æ, se lo llama suceso imposible, pues nunca ocurre.

Al suceso E, se lo llama suceso seguro, pues ocurre en cada realización del experimento.

Al suceso formado por un único elemento del espacio muestral se lo llama suceso elemental.

Ej. :   A: sale un número mayor que 5

                        A ocurre si sale 6

Si dos sucesos no pueden ocurrir simultáneamente se los llama sucesos excluyentes.

Ej. :  sucesos I y A


Suceso unión: dados B: sale un múltiplo de 3

C

 

E

 

1              2              3

4              5              6

 
                                   C: sale un número menor que 4

B

 


BÈC ocurre, si ocurre al menos uno de los sucesos B o C.

Entonces,                     BÈC: sale un divisor de 6

Suceso intersección

BÇC ocurre si ocurren B y C.

Entonces,    BÇC: sale un múltiplo de 3 menor que 4

Ej. : Resolver, considerando que se tira un dado blanco y otro rojo y se anotan los resultados obtenidos.

a)      Determinar el espacio muestral:

Para determinar los elementos del espacio muestral, armamos un cuadro donde cada par ordenado es un elemento posible:

         rojo

blanco

1

2

3

4

5

6

1

(1;1)

(1;2)

(1;3)

(1;4)

(1;5)

(1;6)

2

(2;1)

(2;2)

(2;3)

(2;4)

(2;5)

(2;6)

3

(3;1)

(3;2)

4

5

6

b)      Expresar por extensión los conjuntos que representan los siguientes sucesos

A: la suma de los números es 5

B: los dos números son iguales

C: la suma de los números es mayor que 10

c)      Expresar por comprensión los sucesos AÈB, BÇC, AÇB

AÈC:

BÇC:

AÇB:

d)      Determinar sucesos excluyentes.

Resuelve el siguiente ejercicio:

Se tira una moneda y un dado y se observa el resultado.

a)      determina E

b)      expresa por extensión los conjuntos que representan a cada uno de los siguientes sucesos

A: sale cara y un número par                           A={

B: sale un múltiplo de 3                                    B={

C: sale ceca o un número impar                       C={

D: sale ceca y un número mayor que 4 D={

c)      Expresar por comprensión y por extensión AÈB, CÇD

PROBABILIDAD SIMPLE

Analiza la probabilidad de que ocurra un suceso A en un espacio muestral E. Si la naturaleza del experimento permite considerar a cada uno de los resultados como “igualmente probables” diremos que: La probabilidad simple de un suceso es el cociente del número de casos favorables por el número de casos posibles.


Esta fórmula sólo es aplicable si el espacio muestral es finito y si todos los sucesos elementales son igualmente probables.

Un indicador de que todos los sucesos elementales del espacio muestral considerado son igualmente probables es la frase “al azar”.


1)      Calcula la probabilidad de obtener un número mayor que 3 al arrojar un dado equilibrado.

2)      Se arrojan dos monedas, calcula la probabilidad de que salga una cara y una ceca.

3)      De una urna que contiene 6 bolillas blancas y 4 bolillas negras se extrae una bolilla al azar. Calcula la probabilidad de que la bolilla extraída sea blanca.

4)      De una caja que contiene 20 lápices negros y 8 rojos, se extraen 2 lápices al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos

a)      A: ambos sean negros

b)      B: sean de distinto color

5)      ¿Cuál es la probabilidad, en un grupo de 5 personas, de que no haya dos que cumplan años el mismo día?

PROBABILIDAD DE DOS SUCESOS A Y B

Hasta ahora analizamos la probabilidad de un suceso A en un espacio E. Ahora consideraremos dos sucesos A y B en un espacio E de eventos.

Ej. : sean E el conjunto de 12 cartas

            E={1 esp, 3 esp, 4 esp, 5 esp, 6 esp, 7 esp, 1 oro, 3 oro, 4 oro, 3 copa, 4 copa, 3 basto}

       A: que sea un 3                 A={3 esp, 3 oro, 3 copa, 3 basto}

       B: que sea de espada        B={1 esp, 3 esp, 4 esp, 5 esp, 6 esp, 7 esp}

E

 



¿Cuál es la probabilidad de extraer un “3 de espada”? o bien

¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta que sea 3 y que sea de espada?

 


Cuando se consideran dos sucesos y se quiere calcular la probabilidad de que ocurran los dos a la vez, se trata de una probabilidad compuesta y para ello se calcula P(AÇB)

¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta que sea “3” o que sea “espada”?


 


Cuando se consideran dos sucesos y se quiere calcular la probabilidad de que ocurra uno o el otro o los dos a  la vez, se trata de una probabilidad total y para ello se calcula P(AÈB)

Observa que:



Resuelve:

1)      Se toma un mazo de cartas españolas y se extrae una carta al azar.

a)      ¿Cuál es la probabilidad de que sea “oro” y “as”?

b)      ¿Cuál es la probabilidad de que sea “oro” o “as”?

c)      ¿Cuál es la posibilidad de que sea “figura” y “copa”?

d)      ¿Cuál es la posibilidad de que sea “figura” o “copa”?

(figura es sota, caballo o rey)

2)      En un cajón de cubiertos hay 12 tenedores, 12 cucharas, 12 cuchillos, 12 cucharitas de té y 6 cucharitas de café. Se saca un cubierto al azar.

a)      ¿Cuál es la probabilidad de que sea una cucharita de té?

b)      ¿Cuál es la probabilidad de que sea una cucharita de café?

c)      ¿Cuál es la probabilidad de que sea una cucharita de té o de café?

3)      Una comisión está integrada por 12 mujeres y 14 hombres de los cuales la mitad de las mujeres y la mitad de los hombres son profesionales. Si se elige una persona al azar ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea una mujer o sea profesional?

Sucesos complementarios

En muchas ocasiones en que se debe calcular la probabilidad de un suceso A, resulta más fácil hacerlo calculando la probabilidad del suceso complementario A’. Veamos el siguiente ejemplo:

Se arroja una moneda equilibrada 3 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga al menos una cara?

A: sale al menos una cara

A’: sale ceca en los tres tiros (este suceso complementa al anterior, A’ es el suceso complementario de A)

A’ ={(ceca; ceca; ceca)} Þ P(A’) = 1/8

Ahora bien, como P(A) = 1 – P(A’)

                              P(A) = 1 – 1/8 = 7/8

Resuelve

1)      Se tiran dos dados equilibrados. Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea menor que 36.

2)      De una canasta que contiene 12 manzanas y 8 naranjas, se extraen 3 manzanas y luego se extraen 4 frutas más. ¿Cuál es la posibilidad de que al menos una de estas últimas frutas sea una manzana?

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea B un suceso de un espacio muestral finito, la probabilidad de que ocurra un suceso A, sabiendo que al realizarse el experimento ocurrió B, se llama probabilidad condicional de A dado B y se indica P(A/B).

Ej. :

Para armar la siguiente tabla se han tenido en cuenta las calificaciones mal, regular, bien, obtenidas en una evaluación de matemática tomada en un curso de 40 alumnos, compuesto por 19 mujeres y 21 varones.

                  Sexo

Calificación

Mujer

Varón

Total

Mal

7

9

16

Reg

10

8

18

Bien

2

4

6

Total

19

21

40

Si entre los 40 alumnos de dicho curso se elige uno al azar, la probabilidad de que haya obtenido regular (llamemos A al suceso “obtuvo regular”) es P(A) = 18/40

La probabilidad de que haya obtenido A sabiendo que es varón (llamamos B al suceso “es varón”) es 8/21.

Observa que el hecho de tener como dato que el alumno elegido sea varón redujo a 21 los casos posibles, es decir, al número de elementos del suceso B, siendo P(B) = 21/40.

Además, el número de casos favorables es el número de elementos del suceso AÇB, siendo P(AÇB)= 8/40.


Si dividimos estas dos cantidades:

PROBABILIDAD DE SUCESOS INDEPENDIENTES

La probabilidad de que sucedan dos eventos independientes a la vez, es decir, que el hecho de que ocurra uno de ellos no incide en la probabilidad de que ocurra el otro, se calcula con al siguiente fórmula:

                        P(AÇB) = P(A) . P(B)

Ej.:  Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos lanzamientos se obtengan caras?

Llamaremos A al suceso de que la primera sea cara, y B al suceso de que la segunda sea cara.

P(A) = ½

P(B) = ½

P(AÇB) = P(A) . P(B) = ½ . ½ = ¼

Resuelve:

1)      ¿Cuál es la probabilidad de extraer un as de una baraja de 52 cartas?

2)      Supón que se extraen dos cartas de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean espadas?

3)      ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 8 al lanzar un par de dados?

4)      Supón que se extraen tres cartas de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean diamantes?

5)      De un grupo de 8 hombres y 7 mujeres se elegirán 4 personas para formar un comité. ¿Cuál es la probabilidad de que se elijan dos hombres y dos mujeres?

6)      Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número primo o un número par?

7)      Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3 o un número menor que tres?

8)      Una bolsa contiene tres canicas  rojas y 5 azules. Se extrae una canica y después se repone. Luego, se extrae otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas ocasiones se extraiga una canica azul?

9)      Se lanza un dado con las letras A, B, C, D, E y F sobre sus caras.

a)      ¿Cuál es la probabilidad de obtener una letra que aparezca en la palabra ÁLGEBRA o una consonante?

b)      ¿Cuál es la probabilidad de obtener una vocal o una letra escrita sólo con trazos rectilíneos?

c)      ¿Cuál es la probabilidad de obtener una letra que figure en la palabra PROBABILIDAD o una letra que aparezca en tu nombre?

10)  Se lanza un dado tres veces.

a)      ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en los tres lanzamientos?

b)      ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar en el primer lanzamiento, un número par en el segundo y un número primo en el tercero?

c)      ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de dos en el primer lanzamiento, un número impar en el segundo y un divisor de 12 en el tercero?

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