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Probabilidad

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Agregado: 12 de ABRIL de 2000 (Por ) | Palabras: 2234 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografas > Matemticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Probabilidad
  • Probabilidad y Ecuaciones.:
  • Funcion de probabilidad 10-6-98 / 53:
  • Probabilidad:

  • Enlaces externos relacionados con Probabilidadnalga

    PROBABILIDAD

    Experimentos aleatorios

    Se llama experimento aleatorio a aquel que cada vez que se realiza, hay un conjunto determinado de resultados posibles, pero en ningn caso es posible predecir el resultado del experimento. Ej. :

             Se arroja un dado y se anota el resultado

             En un grupo de 10 alumnos, se cuenta cuntos de ellos tienen ojos azules

             Se arroja un dardo sobre una superficie plana y se observa la marca dejada

    Experimento no aleatorio

    En estos experimentos es posible predecir el resultado. Ej. :

             Se invierte un recipiente sin tapa, que contiene lquido

             Se deja caer un objeto desde cierta altura y se calcula el tiempo que tarda en tocar el piso (esto puede calcularse con la frmula correspondiente y predecir el resultado)

    Trabajaremos slo con experimentos aleatorios.

    Espacio muestral

    Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio, al conjunto E formado por todos los resultados posibles de dicho experimento. Ej. :

             Al arrojar un dado: E= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (conjunto finito)

             En el grupo de 10 alumnos: E={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (conjunto finito)

             El dardo puede clavarse en uno de los infinitos puntos de la superficie, entonces el conjunto E es un conjunto infinito

    Trabajaremos slo con experimentos aleatorios cuyo espacio muestral sea finito.

    Sucesos, eventos o acontecimientos

    Dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E, un suceso o evento A es un subconjunto de E.

    Ej. : el espacio muestral E corresponde al experimento que consiste en arrojar un dado y observar el resultado obtenido, es:

    E

     

    1 2 3

    4 5 6

     
    E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

    Puede suceder que al arrojar un dado se obtenga un nmero impar, es decir, que el resultado sea un elemento de I={1, 3, 5} o que sea un nmero par, es decir, que pertenezca al conjunto P={2, 4, 6}


    Los conjuntos I y P son sucesos correspondientes al experimento de arrojar el dado.

    Se dice que el suceso A ocurre, si, al realizarse el experimento, el resultado es un elemento de A.

    Existen tantos sucesos distintos como subconjuntos del espacio muestral. Entre estos sucesos estn, en particular, el conjunto vaco y el mismo E, pues:

    E, EE

    Al suceso , se lo llama suceso imposible, pues nunca ocurre.

    Al suceso E, se lo llama suceso seguro, pues ocurre en cada realizacin del experimento.

    Al suceso formado por un nico elemento del espacio muestral se lo llama suceso elemental.

    Ej. : A: sale un nmero mayor que 5

    A ocurre si sale 6

    Si dos sucesos no pueden ocurrir simultneamente se los llama sucesos excluyentes.

    Ej. : sucesos I y A


    Suceso unin: dados B: sale un mltiplo de 3

    C

     

    E

     

    1 2 3

    4 5 6

     
    C: sale un nmero menor que 4

    B

     


    BC ocurre, si ocurre al menos uno de los sucesos B o C.

    Entonces, BC: sale un divisor de 6

    Suceso interseccin

    BC ocurre si ocurren B y C.

    Entonces, BC: sale un mltiplo de 3 menor que 4

    Ej. : Resolver, considerando que se tira un dado blanco y otro rojo y se anotan los resultados obtenidos.

    a)      Determinar el espacio muestral:

    Para determinar los elementos del espacio muestral, armamos un cuadro donde cada par ordenado es un elemento posible:

    rojo

    blanco

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1

    (1;1)

    (1;2)

    (1;3)

    (1;4)

    (1;5)

    (1;6)

    2

    (2;1)

    (2;2)

    (2;3)

    (2;4)

    (2;5)

    (2;6)

    3

    (3;1)

    (3;2)

    4

    5

    6

    b)      Expresar por extensin los conjuntos que representan los siguientes sucesos

    A: la suma de los nmeros es 5

    B: los dos nmeros son iguales

    C: la suma de los nmeros es mayor que 10

    c)      Expresar por comprensin los sucesos AB, BC, AB

    AC:

    BC:

    AB:

    d)      Determinar sucesos excluyentes.

    Resuelve el siguiente ejercicio:

    Se tira una moneda y un dado y se observa el resultado.

    a)      determina E

    b)      expresa por extensin los conjuntos que representan a cada uno de los siguientes sucesos

    A: sale cara y un nmero par A={

    B: sale un mltiplo de 3 B={

    C: sale ceca o un nmero impar C={

    D: sale ceca y un nmero mayor que 4 D={

    c)      Expresar por comprensin y por extensin AB, CD

    PROBABILIDAD SIMPLE

    Analiza la probabilidad de que ocurra un suceso A en un espacio muestral E. Si la naturaleza del experimento permite considerar a cada uno de los resultados como igualmente probables diremos que: La probabilidad simple de un suceso es el cociente del nmero de casos favorables por el nmero de casos posibles.


    Esta frmula slo es aplicable si el espacio muestral es finito y si todos los sucesos elementales son igualmente probables.

    Un indicador de que todos los sucesos elementales del espacio muestral considerado son igualmente probables es la frase al azar.


    1)      Calcula la probabilidad de obtener un nmero mayor que 3 al arrojar un dado equilibrado.

    2)      Se arrojan dos monedas, calcula la probabilidad de que salga una cara y una ceca.

    3)      De una urna que contiene 6 bolillas blancas y 4 bolillas negras se extrae una bolilla al azar. Calcula la probabilidad de que la bolilla extrada sea blanca.

    4)      De una caja que contiene 20 lpices negros y 8 rojos, se extraen 2 lpices al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos

    a)      A: ambos sean negros

    b)      B: sean de distinto color

    5)      Cul es la probabilidad, en un grupo de 5 personas, de que no haya dos que cumplan aos el mismo da?

    PROBABILIDAD DE DOS SUCESOS A Y B

    Hasta ahora analizamos la probabilidad de un suceso A en un espacio E. Ahora consideraremos dos sucesos A y B en un espacio E de eventos.

    Ej. : sean E el conjunto de 12 cartas

    E={1 esp, 3 esp, 4 esp, 5 esp, 6 esp, 7 esp, 1 oro, 3 oro, 4 oro, 3 copa, 4 copa, 3 basto}

    A: que sea un 3 A={3 esp, 3 oro, 3 copa, 3 basto}

    B: que sea de espada B={1 esp, 3 esp, 4 esp, 5 esp, 6 esp, 7 esp}

    E

     



    Cul es la probabilidad de extraer un 3 de espada? o bien

    Cul es la probabilidad de extraer una carta que sea 3 y que sea de espada?

     


    Cuando se consideran dos sucesos y se quiere calcular la probabilidad de que ocurran los dos a la vez, se trata de una probabilidad compuesta y para ello se calcula P(AB)

    Cul es la probabilidad de extraer una carta que sea 3 o que sea espada?


     


    Cuando se consideran dos sucesos y se quiere calcular la probabilidad de que ocurra uno o el otro o los dos a la vez, se trata de una probabilidad total y para ello se calcula P(AB)

    Observa que:



    Resuelve:

    1)      Se toma un mazo de cartas espaolas y se extrae una carta al azar.

    a)      Cul es la probabilidad de que sea oro y as?

    b)      Cul es la probabilidad de que sea oro o as?

    c)      Cul es la posibilidad de que sea figura y copa?

    d)      Cul es la posibilidad de que sea figura o copa?

    (figura es sota, caballo o rey)

    2)      En un cajn de cubiertos hay 12 tenedores, 12 cucharas, 12 cuchillos, 12 cucharitas de t y 6 cucharitas de caf. Se saca un cubierto al azar.

    a)      Cul es la probabilidad de que sea una cucharita de t?

    b)      Cul es la probabilidad de que sea una cucharita de caf?

    c)      Cul es la probabilidad de que sea una cucharita de t o de caf?

    3)      Una comisin est integrada por 12 mujeres y 14 hombres de los cuales la mitad de las mujeres y la mitad de los hombres son profesionales. Si se elige una persona al azar cul es la probabilidad de que la persona elegida sea una mujer o sea profesional?

    Sucesos complementarios

    En muchas ocasiones en que se debe calcular la probabilidad de un suceso A, resulta ms fcil hacerlo calculando la probabilidad del suceso complementario A. Veamos el siguiente ejemplo:

    Se arroja una moneda equilibrada 3 veces, cul es la probabilidad de que salga al menos una cara?

    A: sale al menos una cara

    A: sale ceca en los tres tiros (este suceso complementa al anterior, A es el suceso complementario de A)

    A ={(ceca; ceca; ceca)} P(A) = 1/8

    Ahora bien, como P(A) = 1 P(A)

    P(A) = 1 1/8 = 7/8

    Resuelve

    1)      Se tiran dos dados equilibrados. Calcula la probabilidad de que el producto de los nmeros obtenidos sea menor que 36.

    2)      De una canasta que contiene 12 manzanas y 8 naranjas, se extraen 3 manzanas y luego se extraen 4 frutas ms. Cul es la posibilidad de que al menos una de estas ltimas frutas sea una manzana?

    PROBABILIDAD CONDICIONAL

    Sea B un suceso de un espacio muestral finito, la probabilidad de que ocurra un suceso A, sabiendo que al realizarse el experimento ocurri B, se llama probabilidad condicional de A dado B y se indica P(A/B).

    Ej. :

    Para armar la siguiente tabla se han tenido en cuenta las calificaciones mal, regular, bien, obtenidas en una evaluacin de matemtica tomada en un curso de 40 alumnos, compuesto por 19 mujeres y 21 varones.

    Sexo

    Calificacin

    Mujer

    Varn

    Total

    Mal

    7

    9

    16

    Reg

    10

    8

    18

    Bien

    2

    4

    6

    Total

    19

    21

    40

    Si entre los 40 alumnos de dicho curso se elige uno al azar, la probabilidad de que haya obtenido regular (llamemos A al suceso obtuvo regular) es P(A) = 18/40

    La probabilidad de que haya obtenido A sabiendo que es varn (llamamos B al suceso es varn) es 8/21.

    Observa que el hecho de tener como dato que el alumno elegido sea varn redujo a 21 los casos posibles, es decir, al nmero de elementos del suceso B, siendo P(B) = 21/40.

    Adems, el nmero de casos favorables es el nmero de elementos del suceso AB, siendo P(AB)= 8/40.


    Si dividimos estas dos cantidades:

    PROBABILIDAD DE SUCESOS INDEPENDIENTES

    La probabilidad de que sucedan dos eventos independientes a la vez, es decir, que el hecho de que ocurra uno de ellos no incide en la probabilidad de que ocurra el otro, se calcula con al siguiente frmula:

    P(AB) = P(A) . P(B)

    Ej.: Se lanzan dos monedas. Cul es la probabilidad de que en ambos lanzamientos se obtengan caras?

    Llamaremos A al suceso de que la primera sea cara, y B al suceso de que la segunda sea cara.

    P(A) =

    P(B) =

    P(AB) = P(A) . P(B) = . =

    Resuelve:

    1)      Cul es la probabilidad de extraer un as de una baraja de 52 cartas?

    2)      Supn que se extraen dos cartas de una baraja de 52. Cul es la probabilidad de que ambas sean espadas?

    3)      Cul es la probabilidad de obtener un total de 8 al lanzar un par de dados?

    4)      Supn que se extraen tres cartas de una baraja de 52. Cul es la probabilidad de que las tres sean diamantes?

    5)      De un grupo de 8 hombres y 7 mujeres se elegirn 4 personas para formar un comit. Cul es la probabilidad de que se elijan dos hombres y dos mujeres?

    6)      Al lanzar un dado, cul es la probabilidad de obtener un nmero primo o un nmero par?

    7)      Al lanzar un dado, cul es la probabilidad de obtener un nmero mayor que 3 o un nmero menor que tres?

    8)      Una bolsa contiene tres canicas rojas y 5 azules. Se extrae una canica y despus se repone. Luego, se extrae otra canica. Cul es la probabilidad de que en ambas ocasiones se extraiga una canica azul?

    9)      Se lanza un dado con las letras A, B, C, D, E y F sobre sus caras.

    a)      Cul es la probabilidad de obtener una letra que aparezca en la palabra LGEBRA o una consonante?

    b)      Cul es la probabilidad de obtener una vocal o una letra escrita slo con trazos rectilneos?

    c)      Cul es la probabilidad de obtener una letra que figure en la palabra PROBABILIDAD o una letra que aparezca en tu nombre?

    10)  Se lanza un dado tres veces.

    a)      Cul es la probabilidad de obtener un nmero par en los tres lanzamientos?

    b)      Cul es la probabilidad de obtener un nmero impar en el primer lanzamiento, un nmero par en el segundo y un nmero primo en el tercero?

    c)      Cul es la probabilidad de obtener un mltiplo de dos en el primer lanzamiento, un nmero impar en el segundo y un divisor de 12 en el tercero?

     
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