Sábado 20 de Diciembre de 2014 | Hay 43 usuarios online en este momento!
 

Estudio de las progresiones

Imprimir
Recomendar a un amigo
Recordarme el recurso
Descargar como pdf

Seguinos en en Facebook


Agregado: 12 de ABRIL de 2000 (Por ) | Palabras: 4948 | Votar! |
1 voto | Promedio: 10
| Sin comentarios | Agregar Comentario
Categoría: Apuntes y Monografas > Matemticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Estudio las progresiones
  • TUBO DE RAYOS CATDICOS.: ...
  • Educacion Fisica-Droga y deporte: Apunte teorico de estudio de Educacion Fisica de la EEMN 2 Berisso-Bs.As.-Argentina
  • Conceptos de psicologa cientfica, sociognesis, positivismo y socioconstructivismo: ...

  • Enlaces externos relacionados con Estudio las progresionesnalga

    INTRO. EST. DE LAS PROGRESIONES

    Las progresiones constituyen el ejemplo ms sencillo del concepto de sucesin. Desde los albores de la historia de las matemticas se han estudiado sus propiedades, y stas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmtica comercial.

    El estudio de las progresiones aritmticas es paralelo al de las geomtricas por cuanto las propiedades de estas ltimas emanan de las primeras sin ms que convertir las sumas en productos, diferencias en cocientes, y el producto por un nmero natural en una potencia de exponente natural.

    Name=1; HotwordStyle=BookDefault; El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningn matemtico concreto.

    Es conocido el problema de calcular en cunto tiempo se doblara una cantidad de dinero a un determinado inters compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocan de alguna manera la frmula del inters compuesto y, por tanto, las progresiones geomtricas.

    En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una frmula, semejante a la actual, de la suma de n trminos consecutivos de una progresin geomtrica. Bhaskara, matemtico hind del siglo XII, plantea en su ms conocida obra, el Lilavati , diversos problemas sobre progresiones aritmticas y geomtricas.

    SUCESIONES

    Se entender por sucesin una coleccin de nmeros dispuestos uno a continuacin de otro.

    Sirvan de ejemplo:

    b) -1, 3, 7, 11, 15...

    c) 3, 6, 12, 24, 48...

    En el primero no es posible averiguar qu nmero seguira a 13 (no se encuentra una regla que indique la relacin entre los trminos). En el segundo, a 15 le seguiran 19, 23, 27... (cada trmino es cuatro unidades mayor que el anterior). En el tercero, al trmino quinto, que es 48, le seguira 96 (cada trmino es el doble del anterior).

    Cuando se habla de una sucesin cualquiera, la forma ms usual de referirse a ella es escribir a1, a2, a3, a4, ..., an - 2 , an - 1 , an , ... donde los subndices determinan el lugar que cada trmino ocupa dentro de la sucesin, y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los nmeros.

    Es tambin frecuente encontrar una sucesin simbolizada por (an)nN, o simplemente (an).

    Trmino general de una sucesin

    El trmino general de una sucesin es una frmula que permite conocer el valor de un determinado trmino si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al trmino general de una sucesin se le denota por an y se hablar de trmino n-simo.

    De entre los muchos ejemplos que se podran citar, valgan los siguientes:

    Ejercicio: determinacin de trminos de una sucesin

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Resolucin:

    Escribir los seis primeros trminos de la sucesin an = 3 2n - 1

    Resolucin:

    a1 = 3 21 - 1 = 3 1 = 3 a4 = 3 23 = 24

    a2 = 3 2 = 6 a5 = 3 24 = 48

    a3 = 3 22 = 12 a6 = 3 25 = 96

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    La obtencin del trmino general de una sucesin puede entraar una notable dificultad. No obstante, se estudiarn a continuacin dos clases de sucesiones en las que el hallazgo del trmino general es bastante sencillo.

    PROGRESIONES ARITMTICAS

    Una progresin aritmtica es una sucesin en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un nmero fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d .

    As, si (an) es una progresin aritmtica, se verifica que:

    an = an - 1 + d

    Ejercicio: cmo reconocer una progresin aritmtica

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Para asegurarse de que una sucesin es una progresin aritmtica se ha de comprobar que la diferencia entre cada trmino y su anterior es siempre la misma. Adems, esta comprobacin elemental determina el valor de la diferencia de la progresin.

    Es la sucesin 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5 ... una progresin aritmtica? Si lo es, cul es la diferencia?

    Resolucin:

    Se determina si la diferencia entre cada dos trminos consecutivos es la misma:

    5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2; 1 - 3 = -2; -1 - 1 = -2; ...

    Es una progresin aritmtica de diferencia d = -2.

    Resolucin:

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Trmino general de una progresin aritmtica

    La frmula del trmino general de una progresin aritmtica (an) se encuentra sin ms que observar que:

    a2 = a1 + d

    a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2 d

    a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d

    a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d

    Ntese que en todos los casos el trmino correspondiente es la suma de dos cantidades:

    - La primera es siempre a1

    - La segunda es el producto (n - 1) d .

    an = a1 + (n - 1) d

    Si la diferencia de una progresin aritmtica es positiva, la progresin es creciente; es decir cada trmino es mayor que el anterior.

    Si la diferencia de una progresin aritmtica es cero, la progresin es constante, es decir, tiene todos sus trminos iguales.

    Si la diferencia de una progresin aritmtica es negativa, la progresin es decreciente, es decir, cada trmino es menor que el anterior.

    Ejercicio: clculo del trmino general de una progresin aritmtica

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Sea la sucesin 1, 3, 5, 7, 9, ... Cul es su trmino general?

    Resolucin:

    Se trata de una progresin aritmtica de diferencia d = 2 y primer trmino a1 = 1. El trmino general es, por tanto:

    an = 1 + (n - 1) 2 = 2n-1

    Calcular a qu altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un 6.o piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2,8 m.

    Resolucin:

    Es claro que si se considera la sucesin de las alturas de los pisos, la diferencia entre cada vivienda y la anterior es constante e igual a 2,8 m.

    As pues, se est en el caso de una progresin aritmtica en la que el primer trmino es 4 (altura a la que se encuentra el primer piso) y la diferencia es 2,8.

    El problema se resuelve calculando el trmino 6.o:

    an = 4 + (n - 1) 2,8

    a6 = 4 + (6 - 1) 2,8 = 18

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Trminos equidistantes de una progresin aritmtica

    El inters de las progresiones aritmticas no acaba en el clculo del trmino general. Estudiando ms detalladamente algunos modelos de progresiones aritmticas, se pueden deducir propiedades de enorme inters:

    Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

    En cada uno de estos tres modelos se han elegido al azar dos parejas distintas de trminos, de forma que la suma de los subndices es igual en ambos casos. Sumando el valor de los trminos en cada una de las dos parejas, se observa que los resultados coinciden.

    Esto conduce a la pregunta de si, elegidas cualesquiera dos parejas de trminos cuyas sumas de subndices coincidan, tambin coincidirn las sumas de sus trminos correspondientes.

    Dicho en lenguaje matemtico, cabe preguntarse si ser cierto que el hecho de

    ser r + s = u + v, se desprende la igualdad ar + as = au + av.

    La respuesta es afirmativa, y este resultado se conoce con el nombre de propiedad de los trminos equidistantes de una progresin aritmtica.

    Propiedad: Si an es una progresin aritmtica de diferencia d y r + s = u + v, entonces ar + as = au + av.

    Demostracin:

    Estos dos resultados son iguales por ser r + s = u + v.

    Ejercicio: clculo de trminos equidistantes en una progresin aritmtica

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    En una progresin artimtica se sabe que a1 = -2, a32 = 91, a16 = 43. Encontrar a17.

    Resolucin:

    Puesto que 1 + 32 = 16 + 17 = 33, por la propiedad de los trminos equidistantes,

    a1 + a32 = a16 + a17

    -2 + 91 = 43 + a17 a17 = 46

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Interpolacin de medios aritmticos

    Interpolar (de inter , entre y polos, ejes) n nmeros entre otros dos conocidos a y b; consiste en construir una progresin aritmtica a, a1, a2, ... , an, b.

    Para resolver este problema basta con conocer la diferencia que ha de tener la progresin, la cual se deduce sin ms que tener en cuenta dos cosas:

    1) La sucesin tiene n + 2 trminos

    2) El primer trmino es a y el trmino an + 2 es b.

    Aplicando la frmula del trmino general de una progresin aritmtica, se tiene que:

    b = a + [(n + 2) - 1] d ,

    Una vez conocido el valor de la diferencia, a1 se obtiene como la suma de a y d ; a2 es la suma de a1 y d , y as sucesivamente.

    Los nmeros a1, a2, ... , an reciben el nombre de medios aritmticos.

    Ejercicio: interpolacin de medios aritmticos

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Interpolar cinco medios aritmticos entre -18 y 25.

    Resolucin:

    La progresin es: -18, a1, a2, a3, a4, a5, 25.

    Aplicando la frmula obtenida con a = -18 y b = 25.

    La progresin aritmtica que se buscaba es:

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Suma de trminos consecutivos de una progresin aritmtica

    Se denotar por Sn a la suma a1 + a2 + ... + an

    Se tiene entonces:

    Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 2 + an - 1 + an

    Invirtiendo el orden,

    Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... + a3 + a2 + a1

    y sumando,

    2Sn = (a1 + a2) + (a2 + an - 1) + ... + (an - 1 + a2) + (an + a1)

    Ahora bien, por la propiedad de los trminos equidistantes se sabe que:

    a1 + an = a2 + an - 1 = a3 + an - 2 = ... = an + a1

    Por tanto, 2 Sn = n(a1 + an), y despejando:

    Esta frmula no slo sirve para sumar los primeros trminos de una progresin aritmtica sino para sumar cualesquiera n trminos consecutivos.

    Para sumar, por ejemplo, a5 + a6 ... + a83, es necesario constatar que hay

    (83 - 4 = 79) 79 trminos (faltan los cuatro primeros).

    La suma es:

    Es muy conocida la ancdota segn la cual a Carl Frederich Gauss (1777-1855), cuando contaba con diez aos de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros nmeros naturales. Ante el asombro del profesor, apenas ste haba acabado de dictar el problema, Gauss dio la solucin: 5 050.

    Lo que este insigne matemtico observ fue que la suma 1 + 100 era igual a

    2 + 99, igual a 3 + 98, ... etc. es decir, slo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de nmeros, cada una de las cuales sumaba 101. As, se limit a multiplicar: 50 101 = 5 050.

    Name=4; HotwordStyle=BookDefault;

    Ejercicio: suma de trminos de una progresin aritmtica

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Sumar los veinte primeros trminos de la progresin:

    -5, 4, 13, 22, 31, 40

    Resolucin:

    La diferencia es d = 9

    a20 = -5 + (20 - 1) 9

    a20 = -5 + 199 = 166

    Dada la progresin aritmtica 8, 3, -2, -7, -12, ..., sumar los trminos comprendidos entre a24 y a36.

    Resolucin:

    La diferencia es d = -5.

    a24 = 8 + 23 (-5) = -107

    a36 = 8 + 35 (-5) = -167

    Entre ambos hay 36 - 23 = 13 trminos.

    ƒ Cuntos trminos de la progresin -11, -4, 3, 10, ... hay que tomar para que su suma sea 570?

    Resolucin:

    Se sabe que:

    a1 = -11, d = 7, an = -11 + (n - 1) 7 = 7n - 18 y Sn = 570.

    Se ha de calcular n:

    1140 = 7n2 - 29n

    7n2 - 29n - 1140 = 0

    Se resuelve la ecuacin de 2. grado:

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    PROGRESIONES GEOMTRICAS ( I )

    Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Una progresin geomtrica es una sucesin en la que cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por un nmero fijo llamado razn, y que se representar por la letra r .

    As, si (an) es una progresin geomtrica, se verifica

    an = an - 1 r

    Ejercicio: cmo reconocer una progresin geomtrica

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Para asegurarse de que una sucesin es una progresin geomtrica se ha de comprobar que el cociente entre cada trmino y su anterior es siempre el mismo. Adems esta comprobacin elemental determina el valor de esta razn de la progresin.

    Es 5, 15, 45, 135, 405 ... una progresin geomtrica?

    Resolucin:

    Resolucin:

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Trmino general de una progresin geomtrica

    La frmula del trmino general de una progresin geomtrica (an) se encuentra sin ms que observar que:

    a2 = a1 r

    a3 = a2 r = (a1 r) r = a1 r2

    a4 = a3 r = (a1 r2) r = a1 r3

    a5 = a4 r = (a1 r3) r = a1 r4

    .......................................................

    Ntese que, en todos los casos, el trmino correspondiente es el producto de dos cantidades:

    - La primera es siempre a1

    - La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto nmero, que se obtiene restando una unidad al subndice.

    En definitiva, la expresin del trmino general es:

    an = a1 rn - 1

    Si la razn de una progresin geomtrica es mayor que uno, la progresin es creciente, es decir, cada trmino es mayor que el anterior.

    Si la razn de una progresin geomtrica est comprendida entre cero y uno, la progresin es decreciente, es decir, cada trmino es menor que el anterior.

    Si la razn de una progresin geomtrica es igual a uno, la progresin es constante, es decir, tiene todos los trminos iguales.

    Si la razn de una progresin geomtrica es menor que cero, la progresin es alterna, es decir, sus trminos son alternativamente positivos y negativos.

    Ejercicio: clculo del trmino general de una progresin geomtrica

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Resolucin:

    Se trata de una progresin geomtrica de razn r = 3 y primer trmino

    El trmino general es, por tanto:

    an = 3n - 2

    Cul es el trmino general de la progresin -1, 2, -4, 8, -16, ...?

    Resolucin:

    Es una progresin geomtrica en la que el primer trmino a1 vale -1, y la razn es:

    Su trmino general es, pues:

    an = -1 (-2)n - 1

    Este tipo de progresiones geomtricas recibe el nombre de progresin geomtrica alternada.

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Ntese la similitud que hasta el momento se da entre las progresiones aritmticas y las geomtricas. Se seguirn comprobando todas las propiedades, sin ms que cambiar sumas por productos.

    Trminos equidistantes de una progresin geomtrica

    La analoga observada hasta ahora conduce a la pregunta de si, elegidas cualesquiera dos parejas de trminos cuyas sumas de subndices coincidan, tambin coincidirn los productos de sus trminos correspondientes.

    Dicho en lenguaje matemtico, cabe preguntarse si ser cierto que del hecho de

    ser t + s = u + v, se desprende la igualdad at as = au av.

    La respuesta es afirmativa, y este resultado se conoce con el nombre de propiedad de los trminos equidistantes de una progresin geomtrica.

    Propiedad: Si en una progresin geomtrica t + s = u + v, entonces at as = au av

    Demostracin:

    Al ser t + s = u + v, estas dos expresiones coinciden.

    Ejercicio: clculo de trminos de una progresin geomtrica

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Encontrar el trmino a1 de una progresin geomtrica de la que se sabe que:

    Resolucin:

    Puesto que 3 + 9 = 1 + 11 = 12,

    a3 a9 = a1 a11

    a1 = 81

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Interpolacin de medios geomtricos

    Interpolar n medios geomtricos entre otros dos conocidos a y b, consiste en construir una progresin geomtrica a, a1, a2, ..., an, b.

    Para resolver este problema basta con conocer la razn que ha de tener la progresin, la cual se deduce sin ms que tener en cuenta dos cosas:

    1) La sucesin tiene n + 2 trminos.

    2) El primer trmino es a y el n + 2 es b.

    Aplicando la frmula del trmino general de una progresin geomtrica se tiene que:

    b = a rn + 2 - 1, de donde

    Una vez conocido el valor de la razn, a1 se obtiene como el producto de r por a; a2 es el producto de a1 por r , y as sucesivamente.

    Ejercicio: interpolacin de medios geomtricos

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Interpolar cuatro medios geomtricos entre 128 y 4.

    Resolucin:

    La progresin es 128, a1, a2, a3, a4, 4.

    Aplicando la frmula obtenida con a = 128 y b = 4:

    La progresin geomtrica que se buscaba es:

    128, 64, 32, 16, 8, 4, ...

    Interpolar tres medios geomtricos entre 3 y 48.

    Resolucin:

    Aplicando la frmula:

    Recurdese que una raz de ndice par tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. As pues, en este caso, hay dos posibilidades.

    Si r = 2, la progresin es 3, 6, 12, 24, 48, ...

    Si r = -2, la progresin es: 3, -6, 12, -24, 48, ...

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Producto de trminos consecutivos de una progresin geomtrica

    Continuando con la analoga observada, se encuentra la frmula del producto de trminos de una progresin geomtrica.

    Se denotar por Pn al producto a1 a2 ... an.

    Se tiene entonces:

    Pn = a1 a2 a3 ... an - 2 an - 1 an

    Invirtiendo el orden Pn = an an - 1 an - 2 ... a3 a2 a1

    ______________________________

    y multiplicando Pn 2 = (a1 an )(a2 an - 1) ... (an - 1 a2)(an a1 )

    Ahora bien, por la propiedad de los trminos equidistantes se sabe que:

    a1 an = a2 an - 1 = a3 an - 2 = ... = an a1

    Por tanto Pn 2 = (a1 an )n y despejando:

    Para determinar el signo, ha de estudiarse cada caso concreto.

    Esta frmula no slo sirve para multiplicar los primeros trminos de una progresin geomtrica, sino que tambin es vlida para multiplicar cualesquiera n trminos consecutivos, al igual que se hace en las progresiones aritmticas.

    Ejercicio: clculo del producto de trminos consecutivos de una progresin geomtrica

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Resolucin:

    Es una progresin geomtrica de razn r = 2

    Para poder escribir dicho nmero seran necesarias 34 cifras, lo que da idea de la gran velocidad de crecimiento que tienen las progresiones geomtricas.

    Calcular el producto de los siete primeros trminos de la progresin

    1, -2, 4, -8, ...

    Resolucin:

    Es una progresin geomtrica de razn r = -2

    an = 1(-2)n - 1; a7 = 1(-2)6 = 64

    Para determinar el signo, obsrvese que hay tres trminos negativos y al ser este nmero impar, el producto de todos ellos es negativo.

    As pues, P7 = -221

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Suma de varios trminos consecutivos de una progresin geomtrica

    Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Se denotar por Sn a la suma de n trminos consecutivos de una progresin geomtrica:

    Sn = a1 + a2 + ... + an - 1 + an

    Para obtener una frmula que permita hacer este clculo de un modo rpido, se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razn:

    Sn r = (a1 + a2 + ... + an - 1 + an ) r

    Sn r = a1 r + a2 r + ... + an - 1 r + an r,

    y teniendo en cuenta que al multiplicar un trmino por la razn se obtiene el trmino siguiente,

    Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r

    Restando ahora a esta igualdad la primera:

    Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r

    Sn = a1 + a2 + ... + an - 1 + an

    Sn r - Sn = -a1 + an r

    Sn (r - 1) = an r - a1

    Despejando Sn,

    Name=3; HotwordStyle=BookDefault; Esta frmula que da la suma de n trminos consecutivos de una progresin geomtrica tiene otra versin igualmente til si se expresa el trmino general an como a1 rn - 1:

    Ejercicio: suma de trminos de una progresin geomtrica

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Sumar los quince primeros de la progresin geomtrica 3/2, 9/2, 27/2 ...

    Resolucin:

    Sabiendo que 3 es el primer trmino de una progresin geomtrica y 1 875 el quinto, calcular la suma de esos cinco trminos.

    Resolucin:

    a5 = 1875 = 354 = a1r4 r4 = 54 r = 5

    ƒ Sumar los trminos comprendidos entre el tercero y el vigsimo lugar de la

    Resolucin:

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Suma de todos los trminos de una progresin geomtrica ilimitada decreciente

    Una progresin geomtrica es decreciente (cada trmino es menor que el anterior),

    La relevancia de este apartado es que se trata de sumar todos los trminos de la progresin y no una parte de ellos. Obsrvese que en el caso de una progresin creciente (cada trmino mayor que el anterior), la suma de todos los trminos de la misma ser infinito, independientemente del valor de los trminos. No ocurre as para el caso de progresiones decrecientes.

    Partiendo de la frmula

    donde r es un nmero comprendido entre cero y uno y n el nmero de trminos de la progresin (infinito), la potencia rn es una cantidad tan pequea (tiende a cero), que se puede despreciar. Recurdese que el resultado de una potencia cuya base est comprendida entre cero y uno va disminuyendo a medida que aumenta el exponente.

    Se tiene entonces:

    o bien

    PROGRESIONES GEOMTRICAS ( II )

    Cmo se suman los trminos de una progresin geomtrica de razn

    -1 < r < 1

    Si r es un nmero mayor que -1 y menor que 1, rn se aproxima tanto ms a cero cuanto ms grande sea n; matemticamente esto se expresa diciendo que rn tiende a cero.

    Obsrvese cmo, por ejemplo, (1/2)2 = 1/4 = 0,25

    (1/2)3 = 1/8 = 0,125

    (1/2)4 = 1/16 = 0,0625

    ...............................................

    (1/2)20 = 1/1048576 = 0,0000009

    Y de igual modo (-1/2)2 = 1/4 = 0,25

    (-1/2)3 = 1/8 = -0,125

    (-1/2)4 = 1/16 = 0,0625

    ................................................

    (-1/2)20 = 1/1048576 = 0,0000009

    Ejercicio: suma de infinitos trminos de una progresin geomtrica ( |r |< 1)

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Calcular la suma de todos los trminos de la progresin: 0,3; 0,15; 0,075;...

    Resolucin:

    Se trata de una progresin geomtrica decreciente cuyo primer trmino

    Sumar todos los trminos de la progresin geomtrica -7, 7/3, -7/9, 7/27...

    Resolucin:

    ƒ En un tringulo equiltero de 6 metros de lado, se unen los puntos medios de sus lados, obtenindose as otro tringulo inscrito en el primero. Este proceso se repite indefinidamente. Calcular la suma de las reas de todos los tringulos formados.

    Resolucin:

    Name=1; HotwordStyle=BookDefault;

    Se trata aqu de sumar todos los trminos de una progresin geomtrica ilimitada cuya razn es menor que uno, puesto que las reas de los tringulos que se van formando son cada vez menores.

    El primer trmino de la progresin ser el rea del primer tringulo:

    primero.

    Dado un crculo de radio r, se construye un segundo crculo cuyo dimetro sea el radio del anterior, un tercero cuyo dimetro sea el radio del segundo y as sucesivamente. Cul ser la suma de las reas de todos los crculos as formados?

    Resolucin:

    Name=2; HotwordStyle=BookDefault;

    Como en el caso anterior, se trata de sumar todos los trminos de la progresin geomtrica que forman las reas de los crculos.

    Se observa que se trata de una progresin geomtrica decreciente de

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Entre las progresiones aritmticas y las geomtricas se pueden apreciar notables diferencias. Estas ltimas crecen mucho ms deprisa (si la razn es mayor que la unidad) que las progresiones aritmticas; o decrecen de manera tan vertiginosa que incluso es posible sumar una cantidad infinita de nmeros y obtener un resultado tan inesperado como sorprendentemente pequeo, cuando la razn, en valor absoluto, es menor que la unidad, como ya se ha visto.

    Sirva como ilustracin de cuanto se acaba de decir, la siguiente situacin:

    Pinsese en dos personas (de economas solventes) que acuerdan que uno dar al otro dos millones de pesetas el primer da de mes; cuatro millones al da siguiente; seis el tercero, y as, sumando dos millones diarios hasta completar el mes. Simultneamente, el segundo dar al primero una peseta el primer da; dos pesetas, el segundo; cuatro, el tercero, y as sucesivamente, duplicando la cantidad del da anterior, hasta cumplir el plazo asignado de treinta das. Quin obtendr mayores beneficios?

    El primero, la ltima jornada desembolsa

    a30 = 2 + (30 - 1) 2 = 60; 60 millones

    Por su parte, el otro amigo aporta (1 + 2 + 4 + ... + 229) pesetas. Sin ms que hacer uso de la frmula de la suma de los trminos de una progresin geomtrica, se tiene que la cantidad es:

    De otro lado, los nmeros a que dan lugar las progresiones geomtricas seran sencillamente increbles (de hecho, son increbles para muchas personas) a poco que se dudase de la exactitud de las matemticas.

    Pinsese en un folio de 1/20 mm de espesor; es decir, veinte folios bien prensados tendran un grosor de 1 mm. Si se dobla el papel por su mitad; se vuelve a doblar otra vez por la mitad, y se contina este proceso hasta repetirlo 50 veces, qu grosor tendra el trozo de papel resultante?

    Es claro que en la quincuagsima operacin de plegado, se tendra un grosor de

    250 veces el espesor inicial, es decir,

    250/20 mm; o tambin,

    250/200 cm; o bien,

    250/20000 m; o mejor an,

    250/2000000 km.

    Haciendo las oportunas operaciones; resulta que el grosor del tan citado papel es de

    56 295 500 km!!

    Comprese este dato con la distancia media de la Tierra a la Luna, que es de

    385 000 km.

     
    Sobre ALIPSO.COM

    Monografias, Exmenes, Universidades, Terciarios, Carreras, Cursos, Donde Estudiar, Que Estudiar y ms: Desde 1999 brindamos a los estudiantes y docentes un lugar para publicar contenido educativo y nutrirse del conocimiento.

    Contacto »
    Contacto

    Telfono: +54 (011) 3535-7242
    Email:

    Formulario de Contacto Online »
     
    Cerrar Ventana
    ALIPSO.COM
    Cursos Multimedia Online, CD y DVD