LOS NÚMEROS REALES                                                                             TEMA 1

IDEAS SOBRE CONJUNTOS

Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (0 ) o no pertenece  (ó ) a un conjunto.

§                Los conjuntos se pueden definir por:

EXTENSIÓN:

Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto.          A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

COMPRENSIÓN:

Cuando se da una propiedad que caracteriza a todos sus elementos de forma única

A = { x 0 ù /  x < 6 } = { x 0 ù /  x# 5 }

B = { x 0 ù /  x es par }

C = { x 0 Z /  -7 # x # 7 }

§                SÍMBOLO  d  (CONTENIDO):     El conjunto A está contenido en el conjunto B, cuando todos los elementos de A son también de  B  y se escribe   A d B

§                OPERACIONES CON CONJUNTOS:

UNIÓN  (U):  A U B = { x /  x 0 A  y / o  x 0 B }  Es el conjunto formado por todos los elementos que son de  A  y  los que son de  B.

Si  se tienen los conjuntos   A = { x 0 ù /  x < 6 }   y B = { 1, 3, 5, 7, 9 }   entonces

A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }

INTERSECCIÓN  ( 1 ): A 1 B = { x /  x 0 A  y  x 0 B }  Es el conjunto formado por todos los elementos que son de  A  y  de B a la vez.  En el ejemplo anterior A 1 B = { 1, 3, 5 }

COMPLEMENTARIO ( A ):  El complementario de un conjunto  A es el conjunto

A = { x /  x ó A }.   El complementario del conjunto  A  dl ejemplo anterior es A = { x 0 ù /  x > 7 }

DIFERENCIA:   A – B = { x /  x 0 A  y  x ó B }   En el ejemplo anterior  A – B = { 2, 4 }

LOS NÚMEROS NATURALES  ù

Los números naturales son: ù = { 0, 1, 2, 3, ········} es un conjunto infinito y se representan en una semirecta.

LOS NÚMEROS ENTEROS  Z

Los números enteros son: Z= { ·······- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ·······} es un conjunto infinito y se representan en una recta.          ù d Z

LOS NÚMEROS RACIONALES  Q

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse en forma de fracción de dos enteros.

es un conjunto infinito  y   Z d Q  ya que  

Se representan en una recta.

§                Los enteros se representan como enteros.

§                Los positivos y menores que la unidad:   se representan entre el  0  y  el  1  utilizando el teorema de Tales

§                Los positivos y mayores que la unidad   ,       es un numero comprendido entre el  2  y  el  3. Se dibuja:

§                Los negativos mayores que  - 1:     se dibuja:

§                Los negativos menores que  -1:    .          Es un número comprendido entre  - 4  y  -3.  Se dibuja:

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL.

La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de su expresión fraccionaria. y los números que se obtienen son:

§                Enteros:    

§                Decimal exacto: 

§                Decimal infinito periódico.

§                Periódico puro:   

§                Periódico mixto:   = 2,96666666·······

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL

§                Entero:      

§                Decimal exacto:    luego se ha de simplificar.

§                Decimal infinito periódico:

§                Periódico puro:    x =

100 x = 135,353535··········

       x =     1,353535··········

99 x = 135 – 1              99 x = 134                         

§                Periódico mixto:   x =

1000 x = 1318,181818·········

    10 x =     13,181818·········

990 x = 1318 – 13        990 x = 1305                   

LOS NÚMEROS IRRACIONALES  ø

Son aquellos que no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Por ejemplo:

La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica  y por lo tanto los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción  y por tanto son irracionales.

Hay muchos números irracionales, como:        ;  ;  ;.....; A = 3,14159········, e = 2.71828·······

;

REPRESENTACIÓN DE ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES.