Algebra I  (Resumen plan 96)

Definición: “La lógica estudia los métodos y técnicas p/distinguir un razonamiento correcto de otro  incorrecto”.

Proposición: “Una proposición o enunciado es toda oración de la cual se puede decir que es verdadera o falsa”

Observaciones:

1)      Una proposición puede ser verdadera o falsa, pero no ambas.

2)      La verdad o falsedad de una proposición se llama “Valor de Verdad”

3)      Una proposición es simple cuando consta de una oración.

4)      Una proposición es compuesta cuando consta de mas de una oración, unidas a través de conectivos lógicos[1].

Operaciones Proposicionales

·         Negación: no, es falso q’, no se da el caso q’, no es cierto q’, no es verdad q’, no todo.
(La negación de una proposición es también en otra proposición)

Tabla de Verdad

p	~p
V	F
F	V

·         Conjunción: Y, pero, aunque, sin embargo, sino, no obstante.
(La conjunción solo es verdadera cuando ambos son V)

Tabla de Verdad

·         Disyunción: O, y/o, a menos que.
(La disyunción solo es Falsa cuando ambos son F)

Tabla de Verdad

·         Implicación o Condicional: entonces, implica, si, solo si, es condición para, es condición necesaria para, es condición suficiente para.
(La implicación es falsa cuando a un antecedente verdadero le corresponde un consecuente falso)

Tabla de Verdad

·         Doble Implicación o Bi–condicional:, si solo si, es condición necesaria y suficiente para.
(La doble implicación es verdadera cuando las proposiciones tienen igual valor de verdad )

Tabla de Verdad

·         Conclusión (  ¤\ ): Por consiguiente, luego, sigue q’, por lo tanto, en consecuencia, como, por, pues, puesto q’,  ya q’, entonces q’.
(la conclusión precede a las premisas)

Leyes Lógicas o Tautología

1)      Involución: ~(~p) ºp

2)      Complemento:        p Ù ~p º F
                             p Ú ~p º V

3)      Identidad:              
p Ù F º F ; p Ù V º p
p Ú  Fº p ; p ÚV º V

4)      Idempotencia:         p Ù p º p;p Ú p º p

5)      Ley de  Morgan :    ~(p Ù q) º ~p Ú ~q
                             ~(p Ú q) º ~p  Ù~q

6)      Conmutativa:          p Ù q º q Ù p
                             p Ú q º q Ú p

7)      Distributiva
      p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (q Ù r)
      p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (q Ú r)

8)      Implicación Material          
      p Þ q º ~p Ú q

contrarias

Reciprocas

Reciprocas

Implicaciones Asociadas

 p Þ q                                                 q Þ p

 

 

 

 

 

~p Þ ~q                                              ~q Þ ~p

 

Observaciones

·         Las implicancias contrareciprocas son equivalentes (iguales)

·         Si son verdaderas un condicional y su reciproco o contrario, entonces son verdaderos los 4.

Reglas de Inferencia

1)      Modus Ponens                 pÞ q;  p ¤\q

2)      Modus Tolens                  pÞ q;  ~q ¤\~p

3)      Silogismo Hipotético         pÞ q; qÞ r  ¤\ pÞ r

4)      Silogismo Disyuntivo         pÚq; ~p ¤\q
                                       pÚq; ~q ¤\p

5)      Dilema Constructivo         pÞ q; rÞ s; pÚ r  ¤\qÚs

6)      Dilema Destructivo           pÞ q; rÞ s; ~qÚ~s  ¤\~pÚ~r

7)      Simplificación                   pÚ q  ¤\p

8)      Conjunción                       p, q ¤\pÙq

9)      Disyunción /adición           p ¤\pÚq (si p es verdadero)

Razonamiento Deductivo Válido

Definición: “Un razonamiento es una secuencia ligada  de tal modo que una de ellas se llama conclusión y deriva de las demás premisas”.[2]

 

Un razonamiento puede considerarse como un par ordenado {p_i, q}, donde la primera componente forma el conjunto finito de premisas (proposiciones)  y la segunda componente es la conclusión que deriva de dichas premisas.

Razonamiento Válido: “Un Razonamiento es válido cuando no se da el caso que a premisas verdaderas le corresponda conclusiones falsas”.

Razonamiento No Válido: “Un Razonamiento es considerado no válido cuando se da el caso que a premisas verdaderas le corresponda conclusiones falsas”.

Métodos para Saber si un Razonamiento es Válido o No

Tabla de Verdad

El metodo consiste en crear una tabla con todos los valores de verdad para las variables.

Absurdo:

Este método consiste en considerar a la conclusión como falsa y a las premisas verdaderas. En caso de llegar a una contradicción se considera el razonamiento como válido, sino se llegase a encontrar una contradicción el razonamiento no es válido.

Ej: p Þ q ;  p ¤\q   

     V      F

          V     V       F Contradicción, por lo que el razonamiento no es válido.

Arbol:

Este método se basa en negar la conclusión y a partir de esta anexar las ramas que serán las premisas. Las ramas se presentarán bifurcadas en caso de encontrarnos con una disyunción y las ramas serán lineales en caso de encontrarnos con una conjunción.

El razonamiento se considera válido cuando llegan a cerrarse todas las ramas, en caso de existir al menos una de ellas abiertas, el razonamiento no es válido.

Ej:

                        p Þ q ; q Þ r  ¤\p Þ r

por implicación material sabemos que:

                        p Þ r º ~p Ú r ; negando la conclusión ~(~pÚ r) º p Ù ~r

                        p Þ q º ~p Ú q

                        q Þ r º ~q Ú r

Entonces armo el árbol

                                                           p

 

 

                                                           ~r

 

                                               q                      ~p

 

                                   ~q                    r

Se anulan (cierran )las ramas  ¤\ el razonamiento es válido.

 

Prueba formal de validez:

Este método se basa en el  uso de las reglas de inferencia; el método consiste en separar las premisas y a partir de reglas y leyes deducir nuevas premisas[3] hasta llegar a la conclusión.

Paso 1) 1º Premisa

Paso 2) 2º Premisa

…

Paso n) nº Premisa  ¤\ conclusión.

Ej: p Þ ~q; r Ú q, r ¤\~p

1)      p Þ ~q

2)      r Ú q

3)      r ¤\~p

4)      r Þ q por implicación material en 2

5)      ~q Þ ~r contrareciproca de 4

6)      [p