1)      Involución: ~(~p) �p

2)      Complemento: p � ~p � F
� p ú ~p � V

3)      Identidad:
p � F � F ; p � V � p
p ú F� p ; p úV � V

4)      Idempotencia: p � p � p;p ú p � p

5)      Ley de Morgan : ~(p � q) � ~p ú ~q
� ~(p ú q) � ~p �~q

6)      Conmutativa: p � q � q � p
� p ú q � q ú p

7)      Distributiva
p � (q ú r) � (p � q) ú (q � r)
p ú (q � r) � (p ú q) � (q ú r)

8)      Implicación Material
� p � q � ~p ú q

contrarias

Reciprocas

Reciprocas

Implicaciones Asociadas

p � q q � p

~p � ~q ~q � ~p

Observaciones

•         Las implicancias contrareciprocas son equivalentes (iguales)

•         Si son verdaderas un condicional y su reciproco o contrario, entonces son verdaderos los 4.

Reglas de Inferencia

1)      Modus Ponens p� q; p �\q

2)      Modus Tolens p� q; ~q �\~p

3)      Silogismo Hipotético p� q; q� r �\ p� r

4)      Silogismo Disyuntivo púq; ~p �\q
� púq; ~q �\p

5)      Dilema Constructivo p� q; r� s; pú r �\qús

6)      Dilema Destructivo p� q; r� s; ~qú~s �\~pú~r

7)      Simplificación pú q �\p

8)      Conjunción p, q �\p�q

9)      Disyunción /adición p �\púq (si p es verdadero)

Razonamiento Deductivo Válido

Definición: "Un razonamiento es una secuencia ligada de tal modo que una de ellas se llama conclusión y deriva de las demás premisas".[2]

Un razonamiento puede considerarse como un par ordenado {p_i, q}, donde la primera componente forma el conjunto finito de premisas (proposiciones) y la segunda componente es la conclusión que deriva de dichas premisas.

Razonamiento Válido: "Un Razonamiento es válido cuando no se da el caso que a premisas verdaderas le corresponda conclusiones falsas".

Razonamiento No Válido: "Un Razonamiento es considerado no válido cuando se da el caso que a premisas verdaderas le corresponda conclusiones falsas".

Métodos para Saber si un Razonamiento es Válido o No

Tabla de Verdad

El metodo consiste en crear una tabla con todos los valores de verdad para las variables.

Absurdo:

Este método consiste en considerar a la conclusión como falsa y a las premisas verdaderas. En caso de llegar a una contradicción se considera el razonamiento como válido, sino se llegase a encontrar una contradicción el razonamiento no es válido.

Ej: p � q ; p �\q

V F

V V F Contradicción, por lo que el razonamiento no es válido.

Arbol:

Este método se basa en negar la conclusión y a partir de esta anexar las ramas que serán las premisas. Las ramas se presentarán bifurcadas en caso de encontrarnos con una disyunción y las ramas serán lineales en caso de encontrarnos con una conjunción.

El razonamiento se considera válido cuando llegan a cerrarse todas las ramas, en caso de existir al menos una de ellas abiertas, el razonamiento no es válido.

Ej:

p � q ; q � r �\p � r

por implicación material sabemos que:

� p � r � ~p ú r ; negando la conclusión ~(~pú r) � p � ~r

� p � q � ~p ú q

� q � r � ~q ú r

Entonces armo el árbol

p

~r

q ~p

~q r

Se anulan (cierran )las ramas �\ el razonamiento es válido.

Prueba formal de validez:

Este método se basa en el uso de las reglas de inferencia; el método consiste en separar las premisas y a partir de reglas y leyes deducir nuevas premisas[3] hasta llegar a la conclusión.

Paso 1) 1� Premisa

Paso 2) 2� Premisa

...

Paso n) n� Premisa �\ conclusión.

Ej: p � ~q; r ú q, r �\~p

1)      p � ~q

2)      r ú q

3)      r �\~p

4)      r � q por implicación material en 2

5)      ~q � ~r contrareciproca de 4

6)      [p � ~q; ~q � ~r]� p � ~r silogismo hipotético de 1 y 5

7)      p � ~r; r �\~p Modus Tolens

Por lo tanto el razonamiento es válido.

Función Proposicional

Definición: "Es una expresión que se denota P(x) con la propiedad de convertirse en una proposición para todos los elementos de conjunto x"

Cuantificadores

Cuando se desea generalizar las funciones proposicionales se hace uso de los cuantificadores.

�"x : P(x) Cuatificador universal (para todo)

$x / P(x) Cuantificador Existencial (existe un)

Equivalencias

~["x : P(x)] � $x / ~P(x)

~[$x : P(x)] � "x : ~P(x)

Circuitos Lógicos

La verdad de una proposición puede asociarse al paso de corriente de un circuito con un interruptor

En caso que la proposición sea verdadera

En caso que la proposición sea verdadera

Unidad II - Lógica de Relaciones

Definición:" Dados 2 conjuntos A y B, se llama producto cartesiano AxB al conjunto formado por todos los pares ordenados (x, y) /x� A y b� B".

A x B= {(x,y) / x�A � y �B}

Relación entre 2 conjuntos A y B es todo subconjunto del producto cartesiano AxB, es decir R� AxB

R es una relación entre AxB � R � AxB

Representación de Relaciones

1)      Mediante Diagramas de Venn

2)      Utilizando Gráfico Cartesiano, donde las abscisas son los elementos del primer conjunto y las ordenadas los elementos del segundo conjunto.

3)      A traves de una matriz.

Relación Inversa

Relación Inversa es el subconjunto de BxA por

Sea R una relación entre A y B, donde B=A. En este caso la relación esta definida en Ay se identifica con un subconjunto

�Definición: "R es una relación definida � R� A²"

1)      Reflexiva: "x�A:(x,x,)�R

2)      No - reflexiva : $x�A/(x,x)�R

3)      Areflexiva: "x�A:(x,x,)�R

4)      Simetrica " x,y�A:(x,y)�R�(y,x)�R

5)      No - simetrica $ x,y�A/(x,y)�R� (y,x)�R

6)      Asimetrica "x,y�A:(x,y)�R�(y,x)�R

7)      Antisimetrica "x,y�A:(x,y)�R� (y,x)�R � x = y

8)      Transitiva "x,y,z�A:(x,y)�R� (y,z)�R �(x,z)�R

9)      No - Transitiva $ x,y,z�A:(x,y)�R� (y,z)�R� (x,z)�R

10)   Atransitiva "x,y,z�A:(x,y)�R� (y,z)�R �(x,z)�R

Definición:" La relación R�A², es de equivalencia� es reflexiva, transitiva y simetrica".

Notación: a~b se lee "a es equivalente a b"

1)      Reflexiva: "x�A: x ~ x

2)      Simetrica " x,y�A:x ~ y � y ~x

3)      Transitiva "x,y,z�A: x ~ y � y ~ z � x ~ z

Definición: "Clase de Equivalencia de elemento a�A, es el conjunto de todos los elementos de A equivalentes con a"

Nota: esto particiona al conjunto A en varios subconjuntos los que son equivalentes a un elemento

El "conjunto cociente" es el conjunto formado por las clases de equivalencias

Las clases de equivalencias constituyen una partición de A � No vacías, disyuntas de a pares y su unión es A

Definición:" Dos números son congruentes modulo n � n es divisor de su diferencia"

a y b son congruentes modulo n � n|a-b

Por definición, el numero natural n es divisor de x sii x es igual al producto de n por un numero entero.

Propiedades de la Relación de Divisor

1)      Si un numero divide a un entero � divide también a al producto de este por otro entero

demostración: n|x�x=n.k �x.y=n.k.y

�x.y=n.(k.y)

�n|x.y

2)      Si un numero divide a otros dos � divide a la suma o diferencia

Demostración: n|x � n|y � x = n.k � y= n.k'

� � x � y= n.k+n.k'

� x � y= n.(k+k')

� n| x � y

3)      Si un numero divide a un entero � divide a su opuesto

Demostración: n|x�n|(-1)x (primera propiedad)� n| -x

Relación de Orden

Relación de Orden Amplio Relación de Orden Estricto

R es una relación de orden amplio R es una relación de orden estricto

Sii es: Reflexiva, antisimétrica, transitiva Sii es: Arreflexiva, Asimétrica, transitiva

Relación de Orden parcial Relación de Orden Total

$a,b/(a,b)�R�(b,a)�R a�b/(a,b)�R�(b,a)�R

Unidad III - Análisis Combinatorio

El cálculo combinatorio, estudia la agrupación de los objetos independientemente de la naturaleza, pero no del orden.

Propiedades de la Sumatoria

1)     

2)     

3)      � siendo h � m � n

4)     

Si dado el conjunto de � a cada numero � le hacemos corresponder con un número � perfectamente determinado, obtenemos un conjunto de números al que llamamos sucesión.

Formas de Definición

•         Indicando los primeros términos Ej: 1,3,5,7,9,11,...

•         Indicando la expresión de sus términos General o Enésimo an=2n-1

Se emplea para demostrar proposiciones que se obtienen a partir de los números naturales, se puede resumir en tres pasos

•         Se verifica para el primer numero n=1 P(1) es Verdadero

•         Consideramos que se verifica para cualquier otro numero[4] n = h "h:P(h) es verdadero

•         Probar que se verifica para el siguiente[5] n=h+1 �P(h+1)es verdadero?

Este principio se sustenta en el tercer axioma.

La función factorial

Es una aplicación o correspondencia que se establece entre el conjunto de los números � más el 0, y los � tal que a todo elemento de los números � mas el 0 le hace corresponder un algún número �

f: �N{0}��

Para indicar f(n) escribimos n!, el "!" es el símbolo que caracteriza a la función y se lee "factorial de n". No es inyectiva pues 0@1 œ 0!=1!, tampoco es sobreyectiva pues existen números como el 5 que carecen de imagen en N+{0}

Ley de correspondencia.

f(o)=1

f(1)=1

f(n)=n.f(n-1) o lo que es lo mismo n!=n.(n-1)!

Variaciones (arreglos) Simples.

Se llama variación de n elementos de cualquier naturaleza tomados de a r, a las distintos agrupaciones que se pueden realizar con esos r elementos de los n dados.

Otra definición: "Dado un conjunto finito de n elementos, llamamos variación simple de orden r de esos n elementos, a todo sub-conjunto ordenado formado por r objetos cualesquiera (rRn), elegidos entre ellos conviniendo en considerar como distintas dos variaciones, cuando difieren en algún elemento, y si constan de los mismos, cuando difieren en el orden se sucesión de estos".

Para obtener el número de variaciones debemos multiplicar entre sí los valores de las elecciones posibles.

Si a la fórmula la multiplicamos y dividimos por (n-r)! Nos queda

�si rRn

Observaciones:

•         Un grupo es distinto de otro si difieren en el orden de los elementos o en algún elemento.

•         En cada Grupo intervienen exactamente r elementos.

Variaciones con repetición

Llamamos variaciones con repetición de orden r de n elementos a los conjuntos de r elementos cualesquiera, tomados de los n objetos dados, permitiéndose repetirlos. Se considera diferentes las variaciones cuando constan de por lo menos un objeto distinto o cuando tiendo los mismos elementos difieren en el orden de colocación de sus elementos no repetidos

Permutaciones Simples

"Se llama permutación de n elementos a las variaciones de los n elementos tomados de a n".

A todos los grupos ordenados que puedan formarse de modo que en cada grupo intervienen los n elementos y dos son distintos entre sí, si difieren en el orden de los elementos.

Permutaciones Cíclicas

Se llaman permutaciones cíclicas de n elementos a los posibles grupos que pueden formarse tomando en cuenta la posición relativa entre ellos (Posición de comensales en la mesa).

Permutaciones con Repetición

Dado un grupo de n elementos, entre los cuales hay Ñ elementos iguales,� elementos iguales,...,�elementos iguales; de modo que la suma Ñ+�+...+�, se llama permutación con repeticiones a los conjuntos ordenados que se pueden formar con todos ellos.

Combinaciones Simples

Sea a, b, c,...z un conjunto de n elementos donde no hay elementos repetidos y sea r un número menor que n. Se llama combinaciones de n elementos tomados de a r a los posibles grupos que pueden formarse con esos elementos de modo que dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.

Otra definición: "Dado un conjunto finito de n elementos, llamamos combinación simple de orden r de estos n elementos; a todo sub-conjunto de r elementos, que pueda formarse con los n totales del conjunto dado, considerando que dos combinaciones son distintas cuando difieren en el elemento"

�o lo que es lo mismo

Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.

En cada grupo intervienen exactamente n elementos diferentes.

Combinaciones con Repetición

Dado un conjunto finito de elementos y un numero natural r se llama combinación con repetición a las distintas selecciones de los r elementos no necesariamente distintos, de modo que dos grupos difieren entre si en al menos un elemento.

Se define numero combinatorio va a ser igual a

Casos especiales

Números Combinatorios de Ordenes Complementarios

Formula General de Steifel

Este formula se usa luego en el desarrollo del binomio de Newton, se aplica cuando tienen igual numerador y denominador consecutivo vale la siguiente

�o de otra manera

Tríangulo Aritmetico o de Tartaglia

(a+b)ⁿ= desarrollo para n i �

Demostración por Inducción Completa

1) Cuando n=1

�Esta propiedad vale (se verifica)cuando n=1

2 ) cuando n=h queda

Que es la Hipótesis Inductiva P(h) es verdadera

3 ) n=h+1 ¿es P(h+1) verdadera? Tesis a demostrar

por hipótesis sabemos que, entonces desarrollo la sumatoria (no toda por supuesto)

ahora aparece un producto de un polinomio por un binomio 1 se resuelve el producto y queda...

el truco aparece ahora, dejo el primer y ultimo termino donde están y agrupo los términos semejantes, (los que dos líneas con dos líneas, los de una con los de una, saco factor común con los números combinatorios y queda algo así...

aplico la fórmula de Steifel en los términos agrupados y me sale algo mas o meno sasí!

y por los casos especiales que aplico en el primer y ultimo termino

�le aplico � y da...

�y queda demostrado

Término General (h) del Binomio en el desarrollo de Newton

Unidad IV: Números Complejos

Definición: "es todo par ordenado de números reales".
� El conjunto de números complejos es �=�².

Es decir �={(a,b) / ai� œ bi�}

La notación usual p/numeros � es z=(a,b),donde la parte real es la primera componente, y la parte imaginaria es la segunda componente. Re(z)=a y Im(z)=b

Forma Cartesiana

En un sistema de representación de coordenadas cartesianas ortogonales, los números complejos se corresponden con los puntos del plano. La abscisa es la parte real y la ordenada la parte imaginaria, existe por esto una relación biunívoca entre los complejos y su representación gráfica con los puntos del plano.

Forma Polar o Trigonometrica

Un número complejo esta representado por un segmento cuyos extremos son 0 y z, además la longitud del segmento se denomina Módulo del complejo (una cantidad positiva)|z|, las coordenadas polares son el radio vector á y el argumento � Z=á_�=á(cos �Gisen�).

Equivalencias entre los dos tipos de representación

|z|=á=‰a²+b²

cos � = a/á1 a =ácos�

sen � = b/á1 b =ásen�

tg � = b/a 1 � =arctg (b/a)

Definición: "Sea z=a+bi, llamamos módulo de un complejo a la raíz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria"

Propiedades

1)      El módulo de todo complejo es mayor o igual que sus partes real e imaginaria.

Re(z)R|z|

Im(z)R|z|

2)      El producto de cualquier complejo por su conjugado es igual al cuadrado del módulo.

z.=|z|²

3)      El módulo del producto de dos complejos es igual al producto de sus módulos.

|z .z'| = |z| . |z'|

4)      El modulo de la suma de dos complejos es menor o igual a la suma de los módulos.

|z + z'| R |z| + |z'|

5)      El módulo de una potencia de exponente natural, es igual a la potencia del módulo

|zⁿ|=|z|ⁿ

Definición: "Sea z=a+bi, el conjugado de dicho complejo es z=a-bi".

El símbolo "" se lee " conjugado de z".

Estos números se caracterizan por ser puntos simétricos respecto del eje real.

También podemos decir que: "dos complejos son conjugados si solo si tienen la misma parte real y sus partes imaginarias son números opuestos".

Propiedades

1)      la suma de dos complejos conjugados es igual al duplo de la parte real

2)      El producto de dos complejos conjugados es un número real no negativo.

3)      Un numero complejo es real si y silo si es igual a su conjugado.

zi�3z=

4)      El conjugado del conjugado de un complejo es el complejo

1-      Equivalencia : (a,b) = (a',b') 3 a=a' œb=b'

2-    Addición : (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) la suma de dos números complejos es siempre otro complejo.

3-      Producto : (a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Propiedades de la suma

(1)    Cierre o clausura: La suma de dos complejos (z₁+z₂=z₃) es siempre otro complejo (z₃ i�).

(2)    Conmutativa: z₁+z₂=z₂+z₁

(3)    Asociatividad: z₁+(z₂+z₃)=(z₁+z₂)+z₃

(4)    Elemento neutro aditivo: z₁+e=e+z₁=z₁1 e=(0,0)

(5)    Existe el inverso aditivo: z₁+z₁'=z₁'+z₁=e1 z₁'=-z₁=(-a,-b)

Propiedades del producto

(1)    Clausura: z₁.z₂=z₃ i �

(2)    Conmutativa: z₁.z₂=z₂.z₁

(3)    Asociatividad:z₁.(z₂.z₃)=(z₁.z₂).z₃

(4)    Existe el Neutro multiplicativo: z₁.e=e.z₁=z₁ 1 e=(1,0)

(6)    Existe el Inverso multiplicativo: z_1.z₁'=z₁'.z₁=e1 z₁'=z₁^-1=(a/(a²-b²),b/(a²-b²))

Otras Propiedades

(1)    (Ñ+�)z₁=Ñz₁+�z₁

(2)    (z₁+z₂)Ñ= Ñz₁+Ñz₂

(3)    (Ñ�)z₁=Ñ(�z₁)

(4)    1.z₁=z₁

Diferencia de dos complejos

Dados dos números complejos A=(a,b)y B=(c,d), la resta estará definida como la suma de uno con el opuesto aditivo del otro. A-B=(a,b)+(-c,-d).

Multiplicación y cociente de 2 complejos en forma polar

z₁.z₂=(á₁á₂)�₁�₂

z₁/z₂=(á₁/á₂)�₁-�₂

Potencia de un complejo

Dado un número complejo z y un numero natural n, se define potencia n-ésima de z al complejo que se obtiene de multiplicar a z n veces. Se utiliza la formula de Moivre.

zⁿ=á_n�

Las potencias sucesivas de i=(0,1) son :

i=i

i²=-1

i³=-i

i⁴=1

...

iⁿ=i^4k+r

Radicación de complejos

Por definición el complejo w es raiz de n-ésima de z 3zⁿ=w.

Teorema: Todo complejo no nulo admite n raíces n-ésimas distintas dadas por:

Observaciones:

1.       Todas las raíces tienen el mismo módulo, pero difieren en en argumento (�+2kà)/n

2.       Las raíces se identifican con los vértices, de un polígono de n lados inscripto en una circunferencia de radio ⁿ‡á.

3.       La radicación no da un resultado único, no es una operación biunívoca.

Unidad V: Vectores

Definición: "Un vector es un segmento orientado, un segmento de recta cuyos extremos están dados en un cierto orden".

El segmento AB, es congruente al segmento BA, sin embargo los vectores AB y BA son diferentes.

Los puntos AB definen :

1.       La dirección de la recta

2.       El sentido (desde A hacia B).

3.       La longitud del segmento AB, (en realidad el Módulo)

La flecha encima de los extremos del vector indica que el primer elemento ubica al origen y el segundo al extremo.

Son aquellas que estan caracterizadas por un número y una unidad de medida.

Son aquellas que que aparte de su medida (número) necesita su dirección sentido, magnitud, etc.

Vector Unitario

Se llama vector unitario a aquel cuyo módulo es igual a uno.

0A es unitario 3|0A|=1

al vector unitario se le suele llamar versor.

Vector Nulo

Es el vector cuyas componentes valen 0 respectivamente.

Vectores Iguales

Dos vectores son iguales sii tienen el mismo modulo, sentido y dirección.

Vectores Opuestos

Dos vectores son opuestos sii tienen el mismo modulo, dirección y sentido opuesto.

Dados dos vectores A=(a₁,b₁) y B=(a₂,b₂), se llama suma de dos vectores a otro vector cuyas componentes son iguales a la suma de los componentes de los vectores A y B respectivamente.

Propiedades

1.       Conmutativa:

2.       Asociativa:

3.       Existe elemento Neutro Aditivo:

4.       Existe elemento opuesto Aditivo.

Se llama diferencia de vectores A y B al vector cuyas componentes son iguales a la diferencia de las componentes respectivas.

Multiplicar un vector (a₁,b₁) por un escalar �, es decir �., es encontrar otro vector cuyas componentes resultan de multiplicar c/u de las componentes de �por �.

�(�a₁,�b₁)

Observaciones:

1.       En este caso se obtiene otro vector, con la misma dirección de A

2.       El módulo �A es igual a � por el módulo de del vector |�A|=�|A|

3.       El sentido es el mismo sii �Q0 y distinto sii �<0.

Propiedades

(1)    El producto de un vector por un escalar es asociativo respecto de los escalares: (Ñ�)A=Ñ(�A)

(2)    �El producto de un vector por la suma de escalares es la suma del vector por cada uno de los escalares: (Ñ+�)A=ÑA+�A

(3)    El producto de un escalar por la suma de vectores, es la suma del escalar por cada uno de lo vectores: (A+B)Ñ= ÑA+ÑB

(4)    Existe el elemento unidad 1.A=A

Vectores paralelos

Dos vectores son parelos sii uno de ellos es igual al producto del otro por un escalar.

es paralelo de 3 =�

Definición 1: "Se llama producto escalar de dos vectores no nulos y al numero resulta de multiplicar los módulos de dichos vectores por el conseno del ángulo que forman entre ellos".

.= ||.||.cos�

Definición 2: "El producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de sus componentes respectivas".

.= (a1.b1+a2.b2)

Propiedades

(1)    Es conmutativo: .=.

(2)    En general es no asociativo (.) @.(.)

(3)    Es distributivo respecto de la suma de vectores: (+) =+

(4)    (�)=�()

(5)    El producto escalar por si mismo es igual al cuadrado de su módulo .=||²

Definición: "el producto vectorial entre dos vectores es igual a un tercer vector que tiene como módulo el producto de los módulos por es seno del ángulo que forman entre ellos".

x= ||.||.sen�

La dirección es perpendicular al plano que determinan los vectores.

La solución esta dada por un determinante:

Propiedades

(1)    x= -x

(2)    � (x)=(�.x)=(.x�)

(3)    (x=0

(4)    x=0 3 yson perpendiculares

Vectores Perpendiculares

Como sabemos que dos vectores perpendiculares no nulos forman un ángulo de 90�, el cos90�=0, los vectores serán perpendiculares 3 su producto escalar = 0(x=0).

Proyección de un vector sobre otro

Para proyectar el vector �sobre el vector , llevamos a ambos vectores a un origen común, luego trazamos una recta perpendicular al vectory el segmento MM' determina la proyección buscada.

la proyección de un vector esta dado por le producto escalar de los vectores, divido el módulo del vector sobre el cual se proyecta.

El producto mixto es aquel formado por un producto escalar y uno vectorial.

.(x)

en forma de determinante:

Propiedades

(1)    si se permutan las filas del determinante, este no varía.

(2)    .(x)= -.(x)
.(x)= -.(x)
.(x)= -.(x)

El módulo del producto vectorial de 2 vectores es igual al área del paralelogramo que tiene por lados los vectores dados.

x=||x||sen�

Es numéricamente igual al volumen de un paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados.

(x).=|x|.||cos �

Unidad Matrices

Se llama matriz m x n a un cuadro de números o elementos distribuidos en m filas y n columnas, cada uno de estos elementos se llama Elemento de la matriz y se llama elemento genérico a _ij al elemento de la fila i columna j. Otras formas de denominar a una matriz son las siguientes A_{m x n}.

=A_m,n=[a_ij]_mn.

Dos matrices son iguales entre ellas; si y solo si, tienen el mismo numero de filas y columnas y además son iguales sus respectivos elementos genéricos.

Definición: "Dados dos matrices A^mxn y B^mxn, se llama suma de matrices a otra matriz cuyo elemento genérico es igual a la suma de los elementos genéricos de ambas matrices".

Simbólicamente:

para efectuar las operaciones de suma o resta en dos matrices, estan deben ser del mismo orden.

Propiedades

1)Clausura:

2)Asociativa:

3)Conmutativa

4)Matriz nula: el nulo se llama matriz nula a_ij=0

5)Matriz opuesta

Definición: "Sean A^mxn y B^mxn, dos matrices dadas, se llama producto de A.B a la matriz C, cuyo elemento genérico cij se obtiene de sumar los productos de elementos de la fila i de A por elementos por elementos de la columna j de B"

dos matrices pueden multiplicarse sii el número de columnas de la primera matriz es igual al números de columnas de la segunda matriz.

Propiedades

1)      No-Conmutativa: en general A.B@B.A, y si A.B=-B.A,1son matrices anticonmutativas.

2)      Asociativa: (A.B).C=A.(B.C)

3)      Distributiva respecto de la Suma de Matrices: A.(B+C)=(AB)+(AC) o (B+C)A=(AB)+(AC)

Matriz Diagonal

�es la matriz que tiene todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal nulos.

es decir que a_ij=0Ži@j

Matriz Escalar

es la que tiene iguales todos los elementos de la diagonal.

�es decir que a_ij=k Ž i=j ^ a_ij=0Ži@j

Matriz Unidad o Identidad

es aquella cuyos elementos de la diagonal principal valen 1 y los restantes son ceros.

�es decir que a_ij=1 Ž i=j ^ a_ij=0Ži@j

Matriz Triangular

(superior o inferior) es aquello que tiene todos los elementos por debajo/arriba de la diagonal principal nulos.

a_ij=0 Ži<j o a_ij=0 Ži>j

Matriz Transpuesta

Es aquella que resulta de intercambiar las filas por las columnas. Se denota como A^t

Propiedades

1)      (A^t )^t =A

2)      (kA)^t =kA^t

3)      (B +A)^t =B ^t +A^t

4)      (BA)^t =B ^tA^t

Matriz Inversa

A.A'=I Ver mas adelante matriz inversa utilizando el método de los adjunto de los determinantes

Matriz Idenpotente

A.A=A

Matriz Involutiva

A.A=I

Traza de una matriz

Es la suma de los elementos de la diagonal de A

Unidad Determinantes

Definición: "El determinante de una matriz cuadrada A es la suma de los elementos de los productos de los n factores de los n² de la matriz, de modo que en cada producto aparece un elemento de una fila y una elemento de una columna, precedido por el signo mas o menos según la permutación de filas y columnas sean par o impar ".

Det(a)=|A|=

1.       El determinante de una matriz A es igual al determinante de su transpuesta.

|A|=|A^t|

2.       Si un determinante tiene 2 filas o columnas iguales =0

3.       Si un determinante tiene una fila o columna =0 da como resultado 0

4.       Si el determinante de una matriz difiere de otra únicamente en que todos los elementos de una fila o columna están multiplicados por el mismo numero h; entonces se verifica que det(B)=h.det(A). (producto de escalar por una fila o columna).
Un factor constante común a todos los elementos de una fila o columna, puede salir fuera del simbolo del determinante.

=h

5.       Si dos determinantes difieren únicamente en que dos filas o columnas están intercambiadas en una respecto de la otra, se cumple que det(B)=-det(A)

6.       Si un determinante es tal que los elementos de una fila o columna son proporcionales a los de otra fila entonces el determinante es 0, (consecuencia de 4 y 2)

7.       Si cadaa elemeno de un linea de un determinante se expresa como un binomio, el determinante puede escribirse como la suma de dos determinantes
�det(A)=det(A₁)+det(A₂)

8.       Un determinante no se altera si a una linea se le suma el multiplo de otra linea paralela

Definición: "Se llama Menor complementario a_ij al determinante de orden n-1 que se obtiene de eliminar la fila i-ésima y la columna j-ésima".

Se llama también menor de a_ij y se denota Ma_ijo M_ij Ejemplo

�a11=;a22=; a13=

Definición: "Dada la matriz cuadrada de orden n>1 y el elemento aij de A, llamaremos cofactor o adjunto de aij, y lo designaremos por cij, al menor complementario de aij, afectado por su signo (-1)^i+j", es decir:

Cij=(-1)^i+j.M_ij

Definición: "el valor de un determinante |A| es igual a la suma de los productos de los elementos de una linea por sus respectivos adjuntos".

Determinante de orden 3 (Regla de Sarrus)

Para calcular estos determinantes, se procede de la siguiente manera, se agregan las dos primeras filas al final del determinante, a continuación se suman los productos obtenidos de multiplicar los elementos de la diagonal principal y los elementos que se encuentran en las paralelas a dicha diagonal. Luego se multiplican los elementos de la diagonal secundaria y los que son paralelas a esta. Por ultimo al primer numero obtenido de la diagonal principal, se le resta los obtenidos en ultimo termino (diagonal secundaria).

Eliminación Gaussiana

Este método nos ahorra cálculos y consiste en elegir un pivote, que sea 1 o reducible a 1 (mediante operaciones básicas en filas o columnas), para dejar en ceros a todos los elementos de esa linea (exceptuando al pivote), luego se calcula (desarrolla) el determinante, ya de un orden menor, utilizando los cofactores.

Definición :"Se llama matriz adjunta a de una matriz A, a la transpuesta de A cuyos elementos son sus adjuntos."

"Se llama Matriz no regular aquella cuyo determinante =0"

"Se llama Matriz regular a aquella cuyo determinante @0, admite inversa"

A^-1=Adj.A/|A|