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Series de potencias.

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Función, Radio de convergencia, Intervalo de convergencia, Cálculo del radio e intervalo de convergiencia, Series de McLaurin y Taylor.

Agregado: 29 de AGOSTO de 2000 (Por ) | Palabras: 556 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografías > Matemáticas >
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    Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión  del tipo

    , en donde

    Es decir

                    

    Por ejemplo

                    

    en donde todos los valen 1, o

                    

    y todos sus .

    Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.

    Pero para x = 1/2 es

                                      

    que es una serie geométrica de razón y su suma con lo que la serie es convergente.   Más aún,   es una serie geometrica de razón x  y será convergente si , es decir  si ,

    siendo .

    Si se cumple esta condición:

                         

    Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe exactamentea a una función. En este caso a , pero sólo en el intervalo (-1;1).

    Gráficamente

                                                                                 

    1

                                                                                                  

    sólo definida en la parte marcada gruesa por la serie  

    Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en

                          

    Intervalo de convergencia: Se llama intervalo de convergencia I al conjunto de valores reales de x que convierte a la serie de potencias en una serie numérica convergente.

    Radio de convergencia: Lamamos así a la menor de las cotas superiores del conjunto I.

    En el caso de   se observa que el intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el radio de convergencia es R = 1.

    Se observa que el intervalo I está centrado en el origen. Siempre es asi para el I de .

    Cálculo del radio e intervalo de convergiencia:

    Sea la serie de potencias . Formemos la serie de valores absolutos, es decir

              

                            que es una serie de términos positivos que si converge arrastrará la convergencia de que no necesariamente es de términos positivos.

    La convergencia de la estudiaremos con el criterio de D'Alembert, o sea si será convergente.

    Desarrollando

                 

    y entonces la serie converge para

                       ó

    Llamamos R al  y  además .

    Para todos los valores de an=1, , en cambio para es   y  el   I  = R

    Series de McLaurin y Taylor:

    Sea la fórmula de McLaurin

          

    siendo   con  0 < z < x.

    Es decir .

    Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión

                        

    Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida  con la fórmula de McLaurin y para ello deberá cumplirse que:

    1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y

    2).

    Ejemplo: Sea f(x) = ex

                   

    Veremos si.

        que .

    Ejercicio:

    Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias.

    f(x) = senx ;  f(0)=0

    f'(x) = cosx ; f '(0)=1

    f"(x)= -senx;  f"(0)=0

    f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1

    fIV(x)= senx  ;  fIV(0)=0

    fV(x)= cosx  ;  fV(0) =1 y  generalizando

       pero  en todo caso siempre son en valor absoluto menores que 1, y finalmente

    con lo que y finalmente

                

    Estudiemos el intervalo de convergencia

      y por lo tanto I = R

     
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