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Series de potencias.

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Funcin, Radio de convergencia, Intervalo de convergencia, Clculo del radio e intervalo de convergiencia, Series de McLaurin y Taylor.

Agregado: 29 de AGOSTO de 2000 (Por ) | Palabras: 556 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografas > Matemticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Series potencias
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    Definicin: Llamamos serie de potencias a toda expresin del tipo

    , en donde

    Es decir

    Por ejemplo

    en donde todos los valen 1, o

    y todos sus .

    Es interesante saber cules son los valores de x R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.

    Pero para x = 1/2 es

    que es una serie geomtrica de razn y su suma con lo que la serie es convergente. Ms an, es una serie geometrica de razn x y ser convergente si , es decir si ,

    siendo .

    Si se cumple esta condicin:

    Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe exactamentea a una funcin. En este caso a , pero slo en el intervalo (-1;1).

    Grficamente

    1

    slo definida en la parte marcada gruesa por la serie

    Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en

    Intervalo de convergencia: Se llama intervalo de convergencia I al conjunto de valores reales de x que convierte a la serie de potencias en una serie numrica convergente.

    Radio de convergencia: Lamamos as a la menor de las cotas superiores del conjunto I.

    En el caso de se observa que el intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el radio de convergencia es R = 1.

    Se observa que el intervalo I est centrado en el origen. Siempre es asi para el I de .

    Clculo del radio e intervalo de convergiencia:

    Sea la serie de potencias . Formemos la serie de valores absolutos, es decir

    que es una serie de trminos positivos que si converge arrastrar la convergencia de que no necesariamente es de trminos positivos.

    La convergencia de la estudiaremos con el criterio de D'Alembert, o sea si ser convergente.

    Desarrollando

    y entonces la serie converge para

    Llamamos R al y adems .

    Para todos los valores de an=1, , en cambio para es y el I = R

    Series de McLaurin y Taylor:

    Sea la frmula de McLaurin

    siendo con 0 < z < x.

    Es decir .

    Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una funcin f(x) a la expresin

    Esta serie describe exactamente a la funcin f(x) cuando coincida con la frmula de McLaurin y para ello deber cumplirse que:

    1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y

    2).

    Ejemplo: Sea f(x) = ex

    Veremos si.

    que .

    Ejercicio:

    Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias.

    f(x) = senx ; f(0)=0

    f'(x) = cosx ; f '(0)=1

    f"(x)= -senx; f"(0)=0

    f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1

    fIV(x)= senx ; fIV(0)=0

    fV(x)= cosx ; fV(0) =1 y generalizando

    pero en todo caso siempre son en valor absoluto menores que 1, y finalmente

    con lo que y finalmente

    Estudiemos el intervalo de convergencia

    y por lo tanto I = R

     
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