SUCESIONES

Diremos que {a_n} es convergente si  lim a_{n = L (finito)}

                                                                                                                                                 ^n®¥

Si {a_n}y {b_n}son convergentes tales que

lim a_{n = L}                      lim b_{n = M ;   Entonces:}

^{n®¥                                         n®¥}

{a_n} (±,*,/){b_n}= L(±,*,/) M

Si lim ­|a_n| _{= 0    Þ}   lim ­a_{n= 0}   

    ^{n®¥                  n®¥}

Dada {a_n} diremos que  C Î R  es una cota superior de {a_n} si C ³ a_n; B Î R es una cota inferior si B £  a_n . Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota.

SERIES NUMÉRICAS

Diremos que  una serie Sa_n es convergente si lim Sa_{n = L (finito)}

                                                                                _¥                                                                                               ^n®¥

Series Geométricas (SKr^n-1; K,r Î R)

                                          ⁿ⁼¹                                                                                                    

La serie geométrica converge si ­|r­|<1  y converge a

                     k

Sn= --------

           1-r

Si  Sa_{n y} Sb_n son convergentes a A y B respectivamente entonces:

Sa_n ± Sb_n= A ± B

Si  SC*a_n ; C=cte. Þ  C*Sa_n = C*A

El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.

Si dos series coinciden a partir de un término “n”, las dos tienen el mismo carácter.

Dada Sa_n convergente  Þ lim a_{n =} 0

                                                                                                              ^n®¥

 _¥                                                                                              

 S1/n^p    es convergente para p>1.

 ⁿ⁼¹

CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea y=¦(x) una función continua, positiva y decreciente en [1, +¥) y tal que ¦(n)= a_n entonces:

_{+¥           +¥}                

ò¦(x)dx   y Sa_n   tienen el mismo carácter.

^{1                          n=1}

CRITERIO DE COMPARACIÓN

Sa_n  y Sb_n  de términos positivos.

Si Sa_n £ Sb_n  Þ   si Sb_n converge se tendrá que Sa_n converge. Y si Sa_n diverge entonces Sb_n diverge.

COMPARACIÓN AL LÍMITE (para series de términos positivos)

Si Þ lim a_n/b_{n =} L (finito, positivo) a_n» L*b_n

                          ^n®¥

Entonces si a_n converge b_n converge y viceversa.

Si lim a_n/b_{n =} 0  si b_n converge a_n converge.

         ^n®¥

Si lim a_n/b_{n = +}¥ si b_n diverge a_n diverge.

    ^n®¥

                         _{¥               ¥}                                                                                              

SERIES ALTERNAS (S(-1)ⁿ⁺¹ a_n ó S(-1)ⁿ a_n )

                                                                                       ^{n=1                n=1}

Criterio Para Series Alternas.

Si lim a_n =0  y { a_n } es decreciente, entonces la serie es convergente.

          ^n®¥

CONVERGENCIA ABSOLUTA

Dada Sa_n de términos de cualquier signo.

S­|a_n­| converge Þ Sa_n es convergente y diremos que Sa_n converge absolutamente.

Si S­|a_n­­| diverge y ­Sa_n converge, diremos que a_n converge condicionalmente.

CRITERIO DE LA RAZÓN

Si lim |a_n+1|/|a_n|₌ L; L<1 la serie converge absolutamente.

    ^n®¥

Si L=1 no se puede concluir.  Si L>1 la serie diverge.

CRITERIO DE LA RAÍZ

Si lim (|a_n|)^1/n=L; L<1 la serie converge absolutamente.

    ^n®¥

Si L=1 no se puede concluir; si L>1 la serie diverge.

ESTIMACIÓN DEL RESTO

Criterio de la Integral.

Resto(Rn)=S-Sn=a_n+1 + a_n+2+ a_n+3+...

_{+¥                +¥}          

ò¦(x)dx £ Rn£ ò¦(x)dx                 

^{n+1                             n}

Para Series Alternas

|Rn|£|a_n+1|<error

                            _{+ ¥}                                                                                              

SERIES DE POTENCIA  (SC_n(x-a)ⁿ; serie de potencia centrada en a)

                                           ⁿ⁼⁰

 _¥                                                                                              

 Sxⁿ =1/(1-x) Þ |x|<1

 ⁿ⁼⁰

 _¥                                                                                              

 Sxⁿ/n!= e^x

 ⁿ⁼⁰

Si una serie de potencia es convergente para x=x₁ Þ converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x|<|x₁|.

Si una serie de potencia es divergente para x=x₂ Þ también es divergente para cualquier valor de x tal que  |x|>|x₂|.

SERIE DE TAYLOR

C_n=¦ⁿ(a)/n! De lo que se obtiene:

      _¥                                                                                              

¦(x)= S¦ⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

         ⁿ⁼⁰