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Teorema de Gauss.

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Teorema de Gauss, Flujo de un campo vectorial, Ley de Gauss para el campo elctrico, Ejemplos de resolucin del teorema de Gauss, Teorema de Gauss en forma diferencial.

Agregado: 29 de AGOSTO de 2000 (Por ) | Palabras: 1234 | Votar! | Sin Votos | Sin comentarios | Agregar Comentario
Categoría: Apuntes y Monografas > Fsica >
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    Teorema de Gauss

    Flujo de un campo vectorial

    El flujo de un campo vectorial a travs de una superficie es un concepto matemtico de gran utilidad en fsica: electromagnetismo, mecnica de fluidos, etc.

    El flujo F de un campo vectorial V a travs de una superficie S se define como la integral de superficie

    F = V cos q dS = V n dS (15)

    S S

    donde n es el vector unitario normal a la superficie S en cada punto. La orientacin de n se adopta por convenio como sigue: si S es una superficie cerrada (en cuyo caso aparece un circulito en el signo integral), n apunta siempre hacia afuera del volumen; si S es abierta, n se orienta en el sentido en que avanza un tornillo de rosca derecha cuando gira en el sentido de la circulacin fijada para el contorno de S. El flujo de campo elctrico puede verse, en definitiva, como el nmero de lneas de fuerza que atraviesa una determinada superficie.

    El flujo total puede ser positivo, negativo o nulo. Si es positivo, se denomina saliente, y si es negativo entrante. Esto proviene de la aplicacin de (15) al campo de velocidades de un fluido, la cual da el flujo de fluido a travs de S.

    Si S es una superficie cerrada, la ec. (15) puede reescribirse de la siguiente forma: tmese un punto arbitrario P en el interior de S; por definicin, el elemento de ngulo slido dW subtendido por la superficie diferencial dS desde el punto P es dW = dS cosq / r2, donde r es la distancia de P a dS, y q es el ngulo que forman la normal a dS y la lnea que une P con dS. Sustituyendo esto en (15) queda

    F = V r2 dW (16)

    4p

    Ley de Gauss para el campo elctrico

    Considrese el flujo del campo elctrico de una carga puntual q, a travs de una superficie cerrada arbitraria S que la contiene. Sustituyendo la ec (4) en (16) y tomado P donde est q, obtenemos

    F = (q / 4p0r2)r2 dW = (q / 4p0)4p = q / 0 (17)

    Supongamos una carga q' exterior a la superficie cerrada S, entonces el flujo elctrico es cero, porque el flujo entrante es igual al saliente. En efecto, consideremos dos elementos de superficie opuestos dS' y dS'', subtendidos por el mismo ngulo slido diferencial desde q'; el flujo a travs de dS' es igual en magnitud, pero de signo opuesto, al flujo elctrico a travs de dS'', por consiguiente su suma es cero.

    Si hay varias cargas en el interior de la superficie arbitraria S, el flujo elctrico total ser la suma de los flujos producidos por cada carga, en virtud del principio de superposicin. Se puede establecer pues la ley de Gauss: el flujo elctrico a travs de una superficie cerrada arbitraria que encierra una carga elctrica neta q en su interior es

    F = E n dS = q/0 (18)

    S

    Esta ley, obtenida analticamente por el insigne matemtico Gauss, es especialmente til para calcular el campo producido por distribuciones de cargas que presentan ciertas simetras.

    Ejemplos de resolucin del teorema de Gauss:

    Carga puntual

    Eligiendo cono superficie una esfera centrada en la carga, el campo elctrico es normal a la superficie, luego

    F = E n dS = E dS = E S = E 4pr2 = q/0

    entonces

    E = q /4p0r2.

    Superficie esfrica

    Se elige la misma superficie esfrica. En un punto del interior, al no haber cargas encerradas, se tiene q/0 =0, es decir, Eint =0. En el exterior, es vlido el resultado anterior.

    Lmina conductora

    Supngase una distribucin uniforme de carga s. Elegimos, por cuestiones de simetra, como superficie un cilindro normal a la lmina. El campo elctrico es normal a la lmina, luego el flujo por la pared del cilindro es nulo y tan slo hay flujo en sus caras planas, con incidencia normal,

    F = E n dS = E dS = E S = E 2 pr2 = q/0

    La carga encerrada es q = s A = s pr2, luego

    E = s /20.

    Lnea cargada

    Suponiendo una distribucin uniforme l de carga, elegimos el cilindro paralelo a la lnea y centrado en ella. El campo elctrico a travs de sus caras planas ser nulo, y normal a su pared, luego

    F = E n dS = E dS = E S = E 2 pr L = q/0

    La carga encerrada es q = l L, luego

    E = l / 2pr 0.

    Teorema de Gauss en forma diferencial

    Por otra parte, el teorema de Gauss del clculo vectorial dice que, para todo campo vectorial V y cualquiera superficie S que encierre un volumen V', se cumple que el flujo de V a travs de S es igual a la integral extendida a todo el volumen V' de la divergencia de V, esto es

    V n dS = .Vdt (19)

    s v

    La aplicacin de este teorema al campo elctrico, junto con (18), nos permite escribir la ley de Gauss en forma diferencial para una distribucin continua de carga de densidad r. En efecto, sea S una superficie cerrada arbitraria y V' el volumen que encierra, entonces

    E n dS = q / 0 = 1 / 0 r (r) dr = Edr (20)

    S V v

    pero como V' es arbitrario, se tiene la igualdad

    E = r / 0 (21)

    El significado fsico de la ley de Gauss en forma diferencial es que establece una relacin local entre el campo elctrico en un punto y la densidad de carga en l. De este modo, se puede concluir que las cargas elctricas son las fuentes del campo elctrico, y que su distribucin y magnitud determinan el campo en cada punto del espacio.

    Por regla general, a las cargas positivas se las denomina fuentes del campo elctrico, pues desde ellas parten las lneas de fuerza, mientras que a las cargas negativas se las llama sumideros del campo, ya que las lneas de fuerza siempre acaban en ellas.

    Sustituyendo la ecuacin (18) en la (21) tenemos la ley de Gauss para el potencial, ms conocida como ecuacin de Poisson

    .V=2V = -( r /0 ) (22)

    En los puntos donde no hay cargas r = 0, y la ecuacin anterior se reduce a la ecuacin de Laplace 2 = 0.

    El problema electrosttico fundamental consiste en calcular el potencial, y por lo tanto el campo elctrico, en cada punto del espacio para una distribucin de cargas dada. Esto equivale a resolver la ecuacin de Poisson.

    Tambin puede resolver la ecuacin de Laplace con las condiciones de contorno en las superficies que delimitan las distribuciones de carga (p. ej. las superficies de los conductores).

     
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