Teoremas de continuidad
CONTINUIDAD
1.-
Estudiar la continuidad
de las siguientes funciones, clasificando sus discontinuidades:
x+4 │ ex si
x>0
a)
f(x) = ───────── f) f(x) = │ 1 ¡Error!Marcador no definido. 1¡Error!Marcador no definido. si x=0
x2+3x-4 │ 1+x+ ─
x2 si x<0
3 1-x ¡Error!Marcador no definido. 2¡Error!Marcador
no definido.
b)
f(x) = ────── g) f(x) = ─────
2+2¡Error!Marcador
no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.x 1-│x│
1
c)
f(x) = ───────── h) f(x) = ¡Error!Marcador no definido.│
2x si xeQ¡Error!Marcador no definido.
1-e¡Error!Marcador
no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.x ¡Error!Marcador
no definido.│ 3x
di xeI¡Error!Marcador no definido.
1 e¡Error!Marcador
no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.x
d)
f(x) = ─────── i) f(x) =
─────────
1-cos x 1+e¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.x
sen x
e)
f(x) = x-E(x) j) f(x) =
───────
│3x│
2.-
Estudiar la continuidad
de las siguientes funciones:
ex
_______ 1+x
a)
f(x) = ────── - ¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.1+sen2x c) f(x) = Ln
─────
1-¡Error!Marcador
no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.x 1-2x
___ _____
b)
f(x) = sen 1/x + ¡Error!Marcador
no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.1-x b) f(x) = ¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.1-│x│
3.-
Estudiar la continuidad
de las funciones
2 - cos x (1+x)n-1
a)
f(x)=
─────────────
en R b) f(x) =
────────── en x=0.
4 + 3 sen x x
4.-
Calcular c
para que la función 
sea continua en todo el eje real.
5.-
Determinar a y b para que la función 
sea continua en todo R.
6.-
La suma de los funciones discontinuas en un
punto, ¿ es siempre discontinua en ese punto ?. Compruébalo con las funciones:
¡Error!Marcador
no definido. f(x)
=¡Error!Marcador no definido.
│ 0 si x>0 ¡Error!Marcador no definido.g(x) =¡Error!Marcador no definido. │
-1 si x>0
│ -1 si x£0 │ 0 si
x£0
7.-
La función 
tiene una discontinuidad evitable en x=2. Hállese m , n , y todas sus discontinuidades.
8.-
Hallar que valores deben tomar los números a
y b,
para que la función 
, tenga en los puntos de abcisas x=-1 y x=3, discontinuidades evitables.
9.-
La función 
no está definida en x = a. ¿ Qué valor ha de tener f(a) para que sea continua ?
10.- Demostrar
que 
es continua en x=0. ¿
Lo es en todo R ?
11.- Dar un ejemplo de función que no sea continua en ningún punto pero que
su valor absoluto si lo sea.
12.- Extensión de f. Demostrar que si
f:[a,b]--->R es continua en [a,b], entonces existe una función g:: R--->R que es continua en R y que verifica
f(x)=g(x) en [a,b]. ¿ Se puede concluir lo mismo si se sustituye [a,b] por
(a,b) ? ¿ Y si suponemos que f es acotada ?
Teoremas
de continuidad ( Bolzano, signos,....)TEOREMAS DE CONTINUIDAD
13.- Demostrar
que la ecuación xn - a = 0
con a>0 y nÎN, posee al menos una
raíz real.
14.- Explicar
apoyándose en el teorema de Bolzano, porque una función polinomica de grado
impar, tiene siempre al menos una raíz real.
15.- Demostrar
que la ecuación x3+x2-7x+1=0, tiene al menos una solución
comprendida entre 0 y 1. Calcular dicha raíz con una cifra decimal exacta.
16.- Demostrar
que la ecuación x3-3x+1=0 posee al menos una raíz real y calcularla
con dos cifras decimales exactas.
17.- Empleando
el teorema de Bolzano, demostrar que la
ecuación 2x4-14x2+14x1=0, tiene cuatro raíces reales.
18.- Demostrar
que la ecuación x + sen x = 1 posee al
menos una raíz real.
19.- Probar que
la función f(x) = 2x2-cos x toma el valor 1.
20.- Hállese la
menor solución positiva de la ecuación tag x = x con dos cifras decimales
exactas.
21.- Probar que
existe xeR tal que cos x + 
= 42×sen x.
22.- Demostrar
que existe xÎR tal que 
.
23.- Probar que
existe xeR tal que 1 + senx + sen2x + sen3x
= sen4x.
24.- ¿ Es
aplicable el teorema de Bolzano a 
en [0,1] ?
25.- Probar que
si f:R--->R, es una función continua que solo toma valores racionales,
entonces es constante.
26.- Demostrar
que si una función es continua en el intervalo [a,b] y f(x)=0 para xeQ,
entonces f(x)=0 para xÎ [a,b].
27.- Sean
f(x) y
g(x) dos funciones continuas en el intervalo [a,b], tales que f(a) <
g(a) y
f(b) > g(b). Probar que en estas condiciones, existe ce[a,b] tal
que f(c) = g(c). Interpretar geométricamente.
28.- Demostrar
que si f : [0,1] ----> [0,1] es
continua y la función g(x), continua en
[0,1], es tal que g(0) = 0 y g(1) = 1, entonces existe ce[0,1] tal
que f(c) = g(c). Interpretar gráficamente.
29.- Sea f : [0,1]---->[0,1] continua, demostrar que existe cÎ[0,1] tal
que f(c)=c. Idem f(c)=1-c.
OTROS PROBLEMAS
30.- Representar
gráficamente la función f(x) definida en el intervalo [-2,2]
f(x) = -x para -2 £ x < 0
f(0) = 0
f(x) = 1 - x para
0 < x £ 2
31.- Hallar el
campo de definición de las siguientes funciones reales de variable real
definidas por las siguientes fórmulas :
a) 
b)
c) 
d) 
e)
f)
Monografías
