Distribución Binomial
modelo para el estudio de matematica aplicada y algerbra tema: Distribución Binomial
Agregado: 29 de MAYO de 2005 (Por
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Autor: anonimo (info@alipso.com)
Apuntes de Matemática Aplicada y Álgebra
Distribución Binomial: (*)
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
• En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso).
• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
• La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q.
• El experimento consta de un número n de pruebas.
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.
Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose: 0 £ p £ 1
Probabilidad de obtener k-éxitos
Problemas:
1. Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).
2. La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B (15, 0'72)
Observación:
Debemos recordar el concepto de número combinatorio:
*Son combinaciones simples de “m” elementos de orden “n”
Ejercitación complementaria:
a. Calcula:
12 tomados de a 3
*4 tomados de a 2
*8 tomados de a 5
*9 tomados de a 7
*18 tomados de a 6
Ejercitación general:
A. (Con solución)
En un cargamento de medicamentos recogidos durante una campaña de ayuda al tercer mundo, se sabe que el 6% están caducados. Tomada una muestra de tamaño n = 250, se quiere saber qué probabilidad hay de encontrar más de 10 medicamentos pasados de fecha.
Suponemos que el porcentaje de caducados se mantiene constante durante todo el proceso muestral, lo cual se justifica por el hecho de que el tamaño poblacional es grande. Así las cosas, se puede aplicar el modelo binomial B(250, 0.06) para calcular la probabilidad de que el número de caducados exceda de 10:
Pr{S > 10} = 1 - Pr{S <= 10} = 1 F(10) = 0.89.
B. El problema “de los dados” o el de “pegar al blanco”:
*Por qué se resuelven así? Veamos:
La probabilidad de que un hombre pegue en el blanco es ¼. A. Si dispara 7 veces, ¿cuál es la probabilidad “p” de que dos veces por lo menos pegue en el blanco?. B. ¿Cuántas veces tiene que disparar para que la probabilidad de pegar por lo menos una vez sea MAYOR QUE 3/8?.
En A buscamos la suma de probabilidades para k = 2,3,4,5,6 y 7.
Es MÁS SIMPLE EN ESTE CASO HALLAR LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES PARA k = 0 y 1, o sea, ningún acierto o 1 acierto y luego RESTAR ESTO DE 1.
P (ningún acierto): [8 4] 7 = 2187/16384
P (1 acierto) : [7 1]1 . ¼. (3/4)6 = 5103/16384
Entonces:
P = 1 – (2187/16384) – (5103/16384) = 4547/8192
En la parte B del problema, la probabilidad de no pegar en el blanco es qn. Entonces buscamos el menor “n” para el cual qn es menor que ¾.
Por lo tanto calculamos potencias sucesivas de “q” hasta obtener qn menor que 1/3. Hasta obtener (3/4)4 = 81/256 menor que 1/3.
*En resumen se tiene que disparar 4 VECES.
*OJITO!: Corroboren Todas las cuentas!!!!
C. La probabilidad de que un hombre lave la ropa en su casa es del 8%. Si lo hace 7 veces, calcular la probabilidad de que: a) no lave nunca; b) lave alguna vez; c) lave 5 veces.
D. Un jugador de rugby tiene 2/5 de probabilidad de hacer gol cuando juega. Si juega 5 partidos, hallar la probabilidad de que haga: a) 2 goles; b) un gol por lo menos.
E. La probabilidad de que un arquero ataje un penal es del 80%. Si el hombre lo intenta en 4 oportunidades, calcular la probabilidad de que: a) No ataje la pelota; b) ataje algún penal; c) ataje 3 penales.
F. Una caja contiene 10 esferas, de las cuales 4 son blancas. Se toman al azar 9 esferas reponiéndose cada una luego de la respectiva extracción. Hallar: a) La probabilidad de encontrar 2 blancas; b) la probabilidad de encontrar 3 no blancas; c) la probabilidad de encontrar a lo sumo 3 blancas. Resp: 0,612, 0,743 y 0,4826.
G. Una máquina produce caramelos de miel y da un exceso de dulce de 5 por cada 700 caramelos. Calcular la probabilidad de que al examinar 40 caramelos, sólo se halle uno excesivamente endulzado.
H. La probabilidad de éxito de cierto medicamento para tratar el cáncer es 0,65%. Calcular la probabilidad de que una vez administrado a 12 pacientes: a) ninguno sufra cáncer; b) todos continúen enfermos; c) tres de ellos contraigan la enfermedad.
Monografías
