Movimiento oscilatorio

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TP de Movimiento Oscilatorio

Agregado: 07 de FEBRERO de 2005 (Por Valeria) | Palabras: 2472 | Votar | Sin Votos | Sin comentarios | Agregar Comentario
Categoría: Apuntes y Monografías > Física >
Material educativo de Alipso relacionado con Movimiento oscilatorio

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Publicado por Valeria vale@jj72.org

TRABAJO PRÁCTICO NúMERO 1:

"Movimientos Oscilatorios"

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PARTE I:

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Objetivo: Estudio de las leyes del péndulo elástico.

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Materiales:

• 2 resortes

• 1 juego de pesas

• 1 cronómetro Smart Timer (ST)

• 1 sensor de barrera o fotogate (FG)

• 1 cinta métrica

• 1 soporte

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Procedimiento experimental:

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Primera parte:

Primero vamos a determinar el valor de la constante elástica de un resorte por un método estático ya que el resorte se encuentra quieto durante toda esta parte del experimento. Para eso, colocamos un recorte en un soporte y medimos su longitud inicial (sin carga) y consideramos su incerteza.

l_o = ( 13,5 � 0,1 ) cm

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Luego suspendimos una pesa de 20 g del extremo inferior. Medimos la nueva amplitud y calculamos su estiramiento (Δl=l-l_o). La fuerza que le ejerce el resorte a la pesa es una fuerza equivalente en módulo al peso de ésta y de misma dirección pero sentido contrario ya que el sistema se encuentra en equilibrio.

Hicimos el mismo procedimiento cuatro veces más, con pesas de 30 g, 40 g, 50 g y 60 g. La incerteza que consideramos para �F� es de 1 g por cada pesa utilizada. A Δl le asignamos una incerteza que es la menor división de la cinta métrica; pero además tuvimos en cuenta los errores del observador, aunque éstos no se puedan medir. (Tabla I).

K físicamente representa la cantidad de fuerza aplicada para que se estire una medida determinada. La ley es una relación que existe entre el estiramiento y la fuerza que ejerce la masa colocada sobre el resorte. Representa la dureza del resorte. Para que dos resortes de diferente k experimente un mismo estiramiento será necesario aplicar una mayor fuerza elástica al de mayor constante.

Esta ley no es válida para cualquier valor de |F|. Si la masa es muy grande se desvirtúa el resorte y no vuelve más a su forma original. Esto se produce porque se vence la constante elástica. Si la masa suspendida es muy chica el estiramiento es menor que la unidad de medida y es imperceptible.

Al graficar la fuerza en función del estiramiento obtuvimos una recta que pasa por el origen, por lo tanto podemos decir que la fuerza elástica y el estiramiento son dos magnitudes directamente proporcionales cuya constante es k (constante elástica).

A partir de éstos datos, calculamos la constante elástica y su debida incerteza absoluta que salen de ésta expresión:

|F| = k

Δl hgh

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k₁ = ( 2,95 � 0,21 ) N/m

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Segunda Parte:

Ahora vamos a determinar el período de oscilación del resorte y su dependencia con distintas magnitudes.

A) Para determinar si existe dependencia del período de oscilación del resorte con la amplitud vamos a medir T (el período) para distintas amplitudes (A). A partir de los datos obtenidos, obtendremos las conclusiones.

Para medir el período de oscilación del resorte vamos a utilizar el smart timer (SM) y un solo foto gate (FG) conectado al canal 1. El SM lo colocamos en el modo pendulum para medir tiempos. En el resorte hay un interruptor para FG que interrumpe el haz infrarrojo.

Colocamos una pesa de 40 g y medimos el estiramiento del resorte, a éste lo tomamos como medida inicial (l) y a partir de ésta vamos aumentando la amplitud del resorte 2 cm durante cinco veces (A = l - l_eq ). En cada medición tomamos el período usando el SM 3 veces para reducir las incertezas. (Tabla II)

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l_eq = ( 26,5 � 0,1 ) cm

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m = ( 40 � 2 ) g

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Luego determinamos el período de oscilación promedio y calculamos la desviación de cada medición como l diferencia entre cada valor de T_p y T. (Tabla II)

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Al observar los datos de la Tabla II podemos concluir que el período del resorte no depende de la amplitud de la oscilación porque al observar el Gráfico II se puede ver claramente cómo todas las mediciones de T coinciden en un rango de valores.

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B) Ahora pasamos a determinar si el período de oscilación de un péndulo elástico depende de la masa suspendida del mismo. Para esto, vamos a medir tres veces con el ST (para reducir las incertezas) para cada valor de masa, su período. Como ya dijimos, la amplitud no es importante ya que ésta no modifica al período. (Tabla III)

Observando el gráfico III de T² = f(m) obtuvimos una recta (en realidad dos) ya que sacamos la pendiente máxima y mínima) que pasa por el origen, a partir de esto podemos concluir que entre T² y m hay una relación de proporcionalidad directa. Afirmamos que existe dependencia entre el período de oscilación con la masa que suspendemos del mismo.

Experimentalmente comprobamos ésta ya que para una misma amplitud (que no varía en esta parte del trabajo práctico) obtenemos diferentes valores de T². Como lo que varía aquí es la masa aplicada, deducimos que ésta influye en el período.

Además, lo vemos claramente en la ecuación:

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T = 2π. m

k

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C₁ = ( 14,290 � 0,615 ) s²/kg

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C₁ lo determinamos a partir de la pendiente máxima y la mínima del gráfico III. Luego, calculamos 4π²/C₁ que es la constante elástica del resorte (k):

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4π²/C₁ = ( 2,650 � 0,114 ) kg/s²

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Los valores de k₁ dinámico y k₁ estático resultan similares; los comparamos realizando un gráfico de los intervalos de incerteza y obtenemos puntos en común. Esto nos lleva a pensar que los métodos dinámico y estático (por los cuales obtenemos dichas constantes) son correctos y precisos.

En el TP obtuvimos k expresada en N/m y kg/s². Esta segunda unidad se obtiene anulando las masas ya que N = kg. (m/s²), por lo tanto:

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N = kg.m = kg

m s² s²

m

De esta forma, hemos encontrado una nueva forma de obtener la constante elástica del resorte (k) que denominamos método dinámico ya que el resorte se encuentra en movimiento durante esta parte del experimento. Ambos métodos, éste y el estático, son completamente independientes.

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C) Ahora vamos a trabajar con el segundo resorte y vamos a intentar establecer la dependencia del período del resorte con la constante elástica. Para ésto utilizamos los mismos valores de masa que en el primero resorte. Es importante conservar los valores de masa en este segundo resorte para que luego podamos comparar ya que si las cargas no son las mismas, no estaríamos trabajando con los mismos valores experimentales y no nos darían resultados comparables. (Tabla IV)

Graficamos T² = f(m) con sus respectivas incertezas. A partir del método de la pendiente máxima y mínima calculamos el valor de C₂:

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C₂ = ( 5,14 � 0,42 ) s²/kg

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Y nuevamente calculamos la constante k (k₂ = 4π²/C₂):

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4π²/C₂ = ( 7,96 � 0,64 ) kg/s²

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Podemos decir que el resorte 1 es más blando que el resorte 2 ya que para estirarlos lo mismo, al resorte 2 hay que aplicarle una fuerza mayor. Para un mismo valor de masa suspendida, el período de oscilación es menor para el resorte 2. Podemos decir entonces que el período de oscilación depende de la constante elástica, cuanto mayor es la constante elástica, menor va a ser el período.

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Para determinar la forma funcional de la dependencia entre ambas magnitudes, tomando los valores de los períodos de oscilación medidos para una misma masa suspendida de ambos resortes, vamos a verificar la validez de la expresión con los datos obtenidos en las tablas III y IV (Tabla V):

T₂ ²= k₁

T₁ k₂

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Cuando graficamos los intervalos de indeterminación y los comparamos podemos decir que la mayoría coinciden en muchos puntos. Obviamente pudimos observar que no todos coinciden exactamente, pero esto se debe a las incertezas y las formas de medición que pueden llevar a errores del observador o impresión en los instrumentos.

A partir de esto, podemos afirmar que la constante elástica (k) y el período al cuadrado (T²) son magnitudes inversamente proporcionales. Que entre T² y m existe una proporcionalidad directa y que entre el período al cuadrado y la amplitud no existe ninguna clase de proporcionalidad ya que son magnitudes completamente independientes.

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Conclusiones:

Podemos decir que entre la fuerza elástica y el estiramiento del resorte existe una relación de proporcionalidad directa. La constante que se obtiene es k (constante elástica). Éste valor se puede obtener mediante dos métodos diferentes; el método estático, mediante el cual graficamos los valores de las fuerzas aplicadas en función de los estiramientos correspondientes y las incertezas de estos valores. A partir de éstos trazamos las pendientes máxima y mínima, obtenemos dos valores de k y sus incertezas y de ellas el valor promedio de la constante y su respectiva incerteza. Para esto, utilizamos la fórmula:

k = |F|

Δl

Para verificar experimental la Ley de Hooke aplicamos diferentes fuerzas al resorte observando que a mayor fuerza hay mayor estiramiento (Δl) del resorre. Graficando los valores obtenemos una recta, por lo cual podemos concluir que ambas magnitudes son directamente proporcionales y que su cociente nos da una constante (k) que determinará la dureza del resorte.

Estos valores se calculan cuando el resorte no está en movimiento.

El otro método es el dinámico, llamado así porque los valores se obtienen con el resorte oscilando. Este método consiste en calcular los diferentes períodos para las diferentes masas aplicadas y elevar el primero al cuadrado. Luego, graficamos T²=f(m) y obtenemos una constante (C₁ y C₂). Realizando la división entre 4π² y cada C obtenemos dos k.

Si graficamos (T₂/T₁)² comparándolo con k₁/k₂ y sus respectivas incertezas obtenemos valores con puntos en común, lo que nos lleva a decir que éstos valores son semejantes. Por lo tanto, la relación entre T² y k da una proporcionalidad inversa.

La ley de Hooke no tiene validez universal, ya que si aplicamos una fuerza muy grande el resorte se deforma y no regresa a su forma original, si la fuerza es muy pequeña produce un estiramiento tan pequeño que no se puede determinar.

Podemos concluir que al variar la amplitud y tomar las medidas del período vemos que éste no varía, por lo tanto decimos que la amplitud no condiciona el período. Llegamos a esta conclusión a partir de los datos experimentales.

En el punto A de la segunda parte del trabajo, colocamos en el resorte una determinada masa (y no la variamos a lo largo de la experiencia), lo que sí modificamos fue la amplitud. El período del resorte siempre es el mismo para los distintos valores de esta última, por lo que deducimos que el período no depende de la amplitud tomada.

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PARTE II

Objetivo: comprobar la validez de la expresión que rige el período de oscilación de un péndulo simple a partir de la obtención del valor de la aceleración de la gravedad �g�.

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Materiales:

• 1 bolita

• hilo de naylon

• 1 soporte

• 1 cronómetro Smart Timer (ST)

• 1 sensor de barrera o fotogate (FG)

• cinta métrica

• calibre

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Procedimiento:

Atamos una bolita a un extremo del hilo y lo colgamos del otro extremo a un soporte formando un péndulo. Para esta parte, utilizaremos un solo fotogate conectado al canal 1 del Smart Timer que estará ajustado en modo pendulum para medir tiempos. Apartamos el péndulo hasta que forme un ángulo menor a 15� con la vertical. Recordemos que la expresión conocida para el período de oscilación del péndulo simple:

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T = 2π �L

|g|

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es válida bajo las siguientes aproximaciones:

• ángulo de oscilación menor a 15�

• masa puntual (diámetro de la masa mucho menor que la longitud del hilo)

• oscilaciones contenidas en un plano

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Dejamos en libertad el péndulo y tomamos nota del período registrado por el Smart Timer. Registramos dos mediciones más para reducir las incertezas y calculamos el valor más probable. (Tabla VII). Y luego calculamos su incerteza como la mayor desviación a partir de ésta fórmula:

εT_p = max|T_p - T|

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Luego, descolgamos el péndulo del soporte y medimos la longitud del hilo con una cinta métrica. Para la bolita, vamos a utilizar el calibre. A partir de estas dos mediciones calculamos la longitud total del péndulo, es necesario obtener L de esta forma porque estamos tomando a la bolita como cuerpo puntual que forma parte dl péndulo en su totalidad:

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L = L_hilo + R_bolita

�

Finalmente, recurrimos a la expresión del período del péndulo simple y obtenemos el valor de �g� y su incerteza experimental:

|g| = ( 9,7950 � 0,246 ) m/s²

El gráfico que realizamos es uno que compara los distintos valores de g (el obtenido experimentalmente y el aceptado).

Al observar el gráfico vemos que los valores son similares y que el valor aceptado queda dentro del intervalo de indeterminación del valor obtenido experimentalmente y de este modo se verifica la expresión que rige el período de oscilación de un péndulo simple:

T = 2π �L

|g|

Cálculos:

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Incerteza de T_p²:

eT _p² = 2. eT _p ε T _p² = 2. ε T _p εT _p² = 2. ε T _{p .} T _p²

T _p² T _p T _p

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Cálculos de C₁, C₂, k₁ y k₂:

Gráfico III:

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P_min = 0,638 s² = 13,67 s² P_max = 0,633 s² = 14,9 s²

0,05 kg kg 0,0425 kg kg

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C₁ = 14,9 s²/kg + 13,67 s²/kg = 14,8 s²/kg εC₁ = 14,9 s²/kg - 13,67 s²/kg = 0,615 s²/kg

2 2

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k₁ = 4π² = 4π² = 2,65 kg/s² εk₁ = εC_{1 .} k₁ = �0,615 . 2,65 = 0,114

C₁ 14,9 C₁ 14,29

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Cálculo de k₁ estático:

P_min = 30 g = 2,73 N P_max = 53 g = 3,31 N

11cm m 16cm m

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k₁ = 2,73 N/m + 3,31 N/m = 14,8 N/m εk₁ = 3,31 N/m - 2,73 N/m = 0,29 N/m

2 2

�

k₁ = ( 3,02 � 0,29 ) N/m

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Gráfico IV:

P_min = 0,17 s² = 4,72 s² P_max = 0,2 s² = 5,55 s²

0,036 kg kg 0,0036 kg kg

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C₂ = 5,55 s²/kg + 4,72 s²/kg = 5,140 s²/kg εC₂ = 5,55 s²/kg - 4,72 s²/kg = 0,415 s²/kg

2 2

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k₂ = 4π² = 4π² = 7,96 kg/s² εk₂ = εC_{2 .} k₂ = �0,415 . 7,96 = 0,64

C₂ 5,14 C₂ 5,14

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Incertezas de (T₂/T₁)²:

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e(T₂/T₁)² = 2. (eT₂ + eT₁)

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Incertezas de (k₁/k₂):

k₁ = 2,65 = 0,333

k₂ 7,96

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e(k₂/k₁) = ek₂ + ek₁ = 0,64 + 0,114 = 0,123

7,96 2,65

ε(k₂/k₁) = e(k₂/k₁) . k₁ = 0,132 . 2,65 = 0,04

_� k₂ 7,96

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Cálculos de la incerteza de g:

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eg = εT eT = 0,0187 �= 0,0114 el = 0,15 = 2,26 x 10^-3

XT 1,6353 66,35

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eg = el + 2.eT = 2,26 x 10^-3 + 2. 0,0114 = 0,025

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εg = eg. g = 0,025 x 9,7950 = 0,246

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g = ( 9,7950 � 0,246 ) m/s²

Tabla I

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Observaciones	|F| (g)	ε|F| (g)	l (cm)	ε l (cm)	Δl (cm)	εΔl (cm)
1	20	1	20	� � � 0,1	6,5	� � � 0,1
2	30	2	23,5		10
3	40	2	27		13,5
4	50	3	30		16,5
5	60	3	34		20,5

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Tabla II

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Observaciones	l (cm)	ε l (cm)	A (cm)	ε A (cm)	T (s)	Tp (s)	Tp - T (s)	ε Tp (s)
� 1	� 28,5	� � � � � � 0,1	� 2	� � � � � � 0,2	0,7431	� 0,7563	0,0132	� 0,0132
					0,7637		- 0,0074
					0,7621		- 0,0058
� 2	� 30,5		� 5		0,7560	� 0,7569	0,0009	� 0,0029
					0,7598		0,0029
					0,7550		0,0019
� 3	� 32,5		� 6		0,7473	� 0,7558	0,0085	� 0,0085
					0,7596		- 0,0038
					0,7606		- 0,0048
� 4	� 34,5		� 8		0,7598	� 0,7570	0,0002	� 0,0007
					0,7565		0,0005
					0,7577		- 0,0007
� 5	� 36,5		� 10		0,7523	� 0,7570	0,0047	� 0,00069
					0,7639		- 0,0069
					0,7549		0,0021

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Tabla III

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Observaciones	m (g)	ε m (g)	T (s)	Tp (s)	Tp - T (s)	ε Tp (s)	Tp2 (s)	ε Tp2 (s)
� 1	� 20	� 1	0,5575	� 0,5513	- 0,0059	� 0,0073	� 0,3039	� 0,0080
			0,5527		- 0,0014
			0,5440		0,0073
� 2	� 30	� 2	0,6759	� 0,6686	- 0,0073	� 0,0123	� 0,4470	� 0,0164
			0,6563		0,0123
			0,6737		- 0,0051
� 3	� 40	� 2	0,7588	� 0,7570	- 0,0018	� 0,0018	� 0,5730	� 0,0027
			0,7559		0,0011
			0,7564		0,0006
� 4	� 50	� 3	0,8403	� 0,8352	- 0,0051	� 0,0051	� 0,6976	� 0,0095
			0,8305		0,0002
			0,8304		0,0048
� 5	� 60	� 3	0,9233	� 0,9188	- 0,0045	� 0,0075	� 0,8442	� 0,0138
			0,9217		- 0,0029
			0,9113		0,0075

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Tabla IV

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Observaciones	m (g)	ε m (g)	T (s)	Tp (s)	Tp - T (s)	ε Tp (s)	Tp2 (s)	ε Tp2 (s)
1	20	1	0,3318	0,3241	- 0,0077	0,0081	0,1050	0,0052
			0,3160		0,0081
			0,3245		- 0,0004
2	30	2	0,3743	0,3898	0,0155	0,0155	0,1519	0,0112
			0,3964		- 0,0066
			0,3989		- 0,0099
3	40	2	0,4580	0,4603	0,0023	0,0023	0,2119	0,0021
			0,4522		- 0,0019
			0,4609		- 0,0006
4	50	3	0,5158	0,5083	- 0,0075	0,0075	0,2584	0,0076
			0,5015		0,0068
			0,5075		0,0008
5	60	3	0,5577	0,5578	0,0004	0,0019	0,0311	0,0021
			0,5561		0,0017
			0,5597		- 0,0019

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Tabla V

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m (g)	(T2/T1)2	ε (T2/T1)2	k1/k2	ε k1/k2
20	0,346	0,022	� � 0,333	� � 0,123
30	0,339	0,034
40	0,370	0,004
50	0,370	0,013
60	0,368	0,007

�

Tabla VII

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Lhilo � ε Lhilo (cm)	Rbolita � εRbolita (cm)	L (cm)	ε L (cm)	T (s)	Tp (s)	Tp-T (s)	ε Tp (s)
� 65,0 � 0,1	� 1,35 � 0,05	� 66,35	� 0,15	1,6540	� 1,6353	- 0,0187	� 0,0187
				1,6338		0,0015
				1,6181		0,0172

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