Publicado por Henry Mendiburu Diaz hamd@post.com

DISEÑO DE OBSERVADORES DE ESTADO

 

CONCEPTO

TIPOS

 

1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO

DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN COMPLETO

1.1. METODO DE DISEÑO ABREVIADO

1.2. METODO DE DISEÑO POR LA FORMULA DE ACKERMAN

1.3. METODO DE DISEÑO COMPLETO

1.4. DISEÑO MEDIANTE EL SOFTWARE MATLAB

 

2. OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO

2.1. DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO

2.2. METODOLOGÍA DE DISEÑO

 

3. OBSERVADOR  PARA SISTEMAS MIMO

 

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

REFERENCIAS DE INTERNET

 

 

 

CONCEPTO:

 

Los observadores de estado, son herramientas virtuales, que permiten estimar las variables o estados de un sistema en base a mediciones de las señales de salida y señales de control. Estos observadores permiten enviar información estimada acerca del valor que toman dichos estados, permitiendo conocer un aproximado del valor real, además cuentan con muy poco margen de diferencia o error.

 

Se le considera una herramienta virtual, puesto que se desarrolla como software o programa dentro de una computadora.

 

TIPOS:

 

Existen 2 tipos de observadores: observadores de orden completo, y observadores de orden reducido u orden mínimo.

 

­         Los observadores de orden Completo, son aquellos utilizados para observar o estimar todos los estados de un sistema.

 

­         Los observadores de orden Reducido, son aquellos utilizados para observar o estimar solo algunos estados de un sistema.

 

 

 

1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO

 

Dado el sistema:

 

 

donde:

x          Vector de estado (n x 1)

u          Señal de control (escalar)

y          Señal de salida (escalar)

A         Matriz (n x n)

B          Matriz (n x 1)

C         Matriz (1 x n)

D         Matriz (escalar)

 

Se puede estimar sus estados mediante la siguiente expresión:

 

 

donde:

 

L         Vector de ganancias que permiten la observación de estados (1 x n)

        Vector de estados estimados

        Salida estimada

 

 

 

Debe notarse que las matrices A, B, C, D son las mismas tanto para un sistema real como para el sistema estimado. Para los cálculos siguientes se asume que el valor de D es cero.

 

La diferencia existente entre x y  se denomina error de observación, y el término  se denomina factor de corrección.

 

Para determinar el error de observación restamos , así tenemos:

 

 

Si se sabe que el error esta definido como la diferencia entre el estado real y el estado estimado, entonces se tendrá:

 

 

A partir de esta expresión se puede conocer el comportamiento dinámico y la estabilidad del sistema, si la matriz |A-LC| es estable, entonces el observador hará bien su trabajo, y dada cualquier condición inicial, el sistema tenderá a un error cero.

 

La elección de correctos valores para el vector de observabilidad L, permitirá que el comportamiento dinámico del vector de error sea asintóticamente estable y lo suficientemente rápido para tender a un valor de cero.

 

La estabilidad asintótica y la velocidad de respuesta de la dinámica del error se determina mediante los autovalores de la matriz |A-LC|, dados por el polinomio característico |sI-A+LC|.

 

Existe una condición necesaria, la cual consiste en que el sistema obtenido sea estable y completamente controlable y observable.

 

Ejemplo:

 

Determinar la ecuación característica del sistema siguiente, si se le agrega un observador de estados L.

 

 

Solución.

 

Si el sistema es de orden 2, es de suponer que el observador también será de orden 2, y lo podemos definir como

 

 

Luego el polinomio característico estará dado por:

 

 

 

DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN COMPLETO

 

1.1. METODO DE DISEÑO ABREVIADO

 

Analizando la respuesta del ejemplo anterior nos podemos dar cuenta que los valores que toman L₁ y L₂ están condicionadas por las raíces del polinomio, las cuales a su vez están condicionadas por las características con que queremos que cuente el sistema, por tanto se puede elegir raíces de tal modo de poder controlar la respuesta del sistema en lazo cerrado.

 

Por lo tanto podemos asumir valores para dichas raíces, a los que llamaremos m₁ y  m₂  de modo tal que el polinomio tenga una respuesta estable. Luego por simple equivalencia de términos podemos hallar el valor de las incógnitas.

 

Ejemplo:

 

Dado el polinomio característico del ejemplo anterior: s²+(4+L₂)s+(2+L₁), encontrar el valor de L₁ y L₂ si se quiere que los polos deseados del sistema se ubiquen en -4 y -3.

 

Solución.

 

Las raíces del polinomio son  m₁ = -4   y  m₂  = -3

 

Luego por equivalencia  |sI – A + LC|  =  s² + 7s + 12

 

Es decir,  s² + (4 + L₂)s + (2 + L₁)  =   s² + 7s + 12

 

                 s²  =   s²

donde        (4 + L₂)s  =   7s   à  L₂ =  3

                  (2 + L₁)   =   12   à  L₁ = 10

 

 

Podemos generalizar la metodología seguida anteriormente, de la siguiente manera:

 

Si tenemos que [m₁  m₂  m₃  …  m_n]  son los autovalores deseados para la matriz del observador |A-LC|, estos conforman el polinomio característico:

    (s-m₁) (s-m₂) (s-m₃) … (s-m_n)

 

Este polinomio se iguala al polinomio característico original |sI-A+LC|, creándose una equivalencia entre términos:

 

|sI-A+LC|   =   (s-m₁) (s-m₂) (s-m₃) … (s-m_n)

 

Resolviendo la equivalencia se podrá encontrar el valor del vector L.

 

NOTA: Este método esta restringido a sistemas de hasta 3^er orden, además el sistema debe estar en la forma canónica observable.

 

Es aconsejable que los polos del observador sean de 3 a 5 veces mayores (más negativos) que los polos del controlador por realimentación de estados, pero sin salirse de la región de estabilidad dada por el lugar geométrico de las raíces. La elección de los polos deseados van a determinar las características de la respuesta obtenida, por lo que puede existir un conjunto infinito de vectores L como solución, de las cuales solo un limitado número de soluciones cumplen con las necesidades requeridas para el sistema (como por ejemplo: sobreimpulso, velocidad de respuesta, etc. del sistema estimado), por lo que se aconseja probar, mediante simulación, la respuesta del sistema a diferentes valores de polos escogidos.

 

 

1.2. METODO DE DISEÑO POR LA FORMULA DE ACKERMAN

 

La formula de Ackerman aplicada al diseño de observadores de estado, esta dada por:

 

 

En donde  es equivalente a , que es el polinomio característico deseado, pero en vez de la “s” se coloca la matriz “A”.

 

Ejemplo:

 

Para el siguiente sistema, determinar el vector de  observadores de estados L, si se quiere que los polos deseados se ubiquen en -3+j  y -3-j

 

 

Solución.

 

Si  f(s)  =  (s-m₁) (s-m₂)  =  (s+3-j) (s+3+j)  =  s² + 6s + 10

 

por lo tanto f(A)  =  A² + 6A + 10I

 

 

 

1.3. METODO DE DISEÑO COMPLETO

 

1°) Determinar la controlabilidad del sistema y la observabilidad

 

Controlabilidad:          

 

Observabilidad:          

 

2°) Calcular el polinomio característico original |sI-A|, el cual será :

|sI-A|  =   sⁿ + a₁s^n-1 + a₂s^n-2 + … + a_n-1s + a_n   =   0

 

3°) Es conveniente trabajar con las ecuaciones de estado en su forma canónica observable, si no se encuentra en esta forma, se debe determinar una matriz de transformación para llevarla a esta forma, la cual se define como:

Q = (W x Wo)^-1

 

En donde Wo es la matriz de observabilidad, y W se define como:

 

 

En donde a₁, a₂, … a_n-2, a_n-3, son los coeficientes del polinomio característico original |sI-A|.

 

4°) Se determina el polinomio característico deseado a partir de (s-m₁) (s-m₂) (s-m₃) … (s-m_n), donde m_i es un polo deseado, obteniéndose:

sⁿ + b₁s^n-1 + b₂s^n-2 + … + b_n-1s + b_n

 

5°) Finalmente el vector L se encuentra a partir de la siguiente expresión: (*)

 

 

 

Ejemplo:

 

Para el siguiente sistema, determinar el vector de  observadores de estados L, si se quiere que los polos deseados se ubiquen en -5, -2+j  y -2-j

 

 

 

Solución.

 

1°)      

 

2°)

 

3°)       Q  =  ( W x Wo )^-1

 

 

 

4°)

(s - m₁) (s - m₂) (s - m₃) 

=  (s + 5) (s + 2 + j) (s + 2 - j) 

=  (s + 5) (s² + 4s + 5) 

=  s³ + 9s² + 25s + 25         º       s³ + b₁s² + b₂s + b₃

5°)

           

 

 

1.4. DISEÑO MEDIANTE EL SOFTWARE MATLAB

 

Se puede hacer uso del software Matlab, para lo cual se emplea el comando acker o el comando place.

 

Dado el sistema , y un vector de polos deseados:

 

Se puede obtener un observador de estados utilizando:

 

L = place (A’,B’,P)’         o también

L = acker (A’,B’,P)’

 

 

Ejemplo:

 

Para el siguiente sistema, determinar el vector de  observadores de estados L, si se quiere que los polos deseados se ubiquen en -2, -1+j  y -1-j

 

 

Solución.

 

>> A =  [0 1 0; 0 0 1; -3 -2 -1];

>> C =  [2 0 0];

>> P  = [-2 -1+j -1-j];

 

>> L  =  acker(A',C',P)'

L =

    1.5000

    0.5000

   -3.0000

 

>> L  =  place(A',C',P)'

L =

    1.5000

    0.5000

   -3.0000

 

 

Ejemplo:

 

Para el siguiente sistema, determinar el vector de  observadores de estados L aplicando los 4 métodos antes descritos, si se quiere que los polos deseados se ubiquen en -2,        -3+0.5j  y  -3-0.5j

 

 

Solución.

 

1°) METODO COMPLETO

 

 

            Polinomio característico original

 

 

Q  =  ( W x Wo )^-1

 

            Polinomio característico deseado

 

 (s - m₁) (s - m₂) (s - m₃) 

=  (s + 2) (s + 3 + 0.5j) (s + 3 – 0.5j) 

=  (s + 2) (s² + 6s + 9.25) 

=  s³ + 8s² + 21.25s + 18.5            º       s³ + b₁s² + b₂s + b₃

 

Vector Observador

 

           

 

 

2°) METODO ABREVIADO

 

 

 

 

 

Polinomio deseado 

 

 

Luego por equivalencia  s³ + (L₃)s2 + (1 + L₂)s + (4 + L₁)  =  s³ + 8s² + 21.25s + 18.5

                

     (2+L₃)s2       =   8s²     à  L₃ =  6

donde        (1 + L₂)s  =   21.25s   à  L₂ =  20.25

                  (4 + L₁)   =   18.5       à  L₁ = 14.5

 

 

3°) METODO POR FORMULA DE ACKERMAN

 

Si  f(s)  =  (s-m₁) (s-m₂) (s - m₃)    =  s³ + 8s² + 21.25s + 18.5

 

por lo tanto f(A)  =  A³ + 8A²  + 21.25A + 18.5I

 

 

 

4°) USANDO MATLAB

 

>> A  =  [0 0 -4; 1 0 -1; 0 1 -2];

>> C  =  [0 0 1];

>> P  =  [-2 -3+0.5j -3-0.5j];

 

>> L  =  acker(A',C',P)'

L =

   14.5000

   20.2500

    6.0000

 

>> L  =  place(A',C',P)'

L =

   14.5000

   20.2500

    6.0000

 

 

 

 

2. OBSERVADOR