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Autor: José David Alemán Pérez (jmatematico03@yahoo.com.mx)

Introducción

 

Existen diversos textos de Análisis matemático de distintos autores. Algunos tratan los temas de análisis a nivel de “cálculo superior”, que no es más que una transición del cálculo elemental a cursos más avanzados de la teoría de las funciones real y compleja, introduciendo al lector en el pensamiento abstracto que ocupa el análisis moderno.

 

No obstante, es importante señalar, sin necesidad de especificar el nivel, que el análisis matemático estudia conceptos relacionados de alguna manera con los números reales, pero principalmente se interesa en las propiedades de éstos.

 

De igual forma, hay que advertir que, también es necesario estar familiarizados con la notación y la terminología de la teoría de conjuntos.

 

Dado que el presente trabajo trata de tópicos de análisis matemáticos, es necesario tener “buen dominio” acerca de las propiedades de los números reales y de algunos conceptos de la teoría de conjuntos, para una mejor comprensión del mismo.

 

A partir de este momento se supone que el lector está familiarizado con lo que se señaló anteriormente, además el lector debe manejar algunas ideas del cálculo elemental (sucesiones monótonas, funciones, límites, convergencia, integrales, entre otros), espacios métricos (conjuntos medibles, medida, etc). Algunas de estas ideas se exponen en este documento de manera pertinente, ya que son indispensables para tener bien claro la temática que nos interesa y que se emplearán en la demostración de los lemas y teoremas que nos ocupa.

 

 

Antecedentes

 

El propósito de esta sección es presentar los conceptos y / o resultados (definiciones, teoremas, lemas, etc.) e ideas necesarias para cumplir con nuestro fin principal.

 

Es fácil observar que los contenidos a analizar en este trabajo forman parte de la teoría de la medida e integral de Lebesgue, la cual a su vez es una generalización (más flexible y mejor adaptada para tratar procesos de límites) de la integral de Riemann.

 

La idea principal de dicha generalización consiste en que: “la integral de Riemann de una función  sobre un intervalo  puede aproximarse por sumas de la forma , donde son intervalos disjuntos cuya unión es  y denota la longitud de y .

 

Lebesgue descubrió que se obtenía una teoría de la integración completamente satisfactoria si se permitía que los conjuntos de la suma anterior pertenecieran a una clase más amplia de subconjuntos de la recta, los llamados “conjuntos medibles”, y si la clase de funciones que se consideran se amplían a lo que él llamó “funciones medibles”.

 

Con esta idea en mente, a continuación procedo a formular algunas definiciones y teoremas pertenecientes a esta teoría.

Definición 1: (Espacios Medida)  Un espacio medida es una terna , donde  es una σ-álgebra de subconjuntos de  y  es una medida en .

Debemos tener en cuenta que si  es un conjunto, un álgebra de subconjuntos de es una familia  de subconjuntos de  tal que:

a)

b) Si A entonces    A .

c) Si A,B , entonces A B, A B .

(b) hace que (c) para uniones implique la intersección y viceversa. Al cumplirse dicha propiedad para familias numerables entonces  es una σ-álgebra.

Además, una función  definida en el espacio medida , con valores en el sistema ampliado de los números reales, se llamará medible si el conjunto  es medible para todo número real

Un espacio medible , es un espacio medida que cumple .

 

Definición 2: Para cualquier función medible no negativa , la integral de , , donde es tomado sobre toda función simple medible .

 

Definición 3: (Función Simple Medible) Una función simple es una función  definida sobre un espacio medida  y cuyo recorrido consta sólo de un número finito de puntos de .

Si son los valores que toma   y si , podemos escribir

donde es la función característica del conjunto .

La función simple  es medible, si y sólo si, cada uno de los conjuntos es medible.

(a) Sea   un espacio medible. Si  es un conjunto medible de  y si   entonces  es una función medible.

 

(b) Característica de un conjunto.

De esta definición tenemos que  es medible, si y sólo si,  es medible.

Definición (Integral de Lebesgue): Si  es medible y no negativa, definiremos  * donde se ha tomado el extremo superior sobre todas las funciones simples  tales que . Al primer miembro de * se le llama la integral de Lebesgue de  respecto a la medida . En donde:

Definición 4: (La integral de ) Sea  una función simple medible. , donde  son los distintos valores tomados por  y . Se llama la integral de ,

Definición 5: (Definición alterna de función medible) Diremos que  es - medible ( o medible respecto a la - álgebra ) si  se tiene .

 

Definición 6: (Sucesión Monótona) Sea  una sucesión de números reales. Diremos que la sucesión es creciente  si  para n=1,2,3,… Si  para toda n, diremos que la sucesión es decreciente . Una sucesión se llama monótona si es creciente o decreciente.

 

Definición 7: (Sucesión de Funciones) Una sucesión de funciones es una sucesión cuyos términos son funciones reales (o complejas) que tienen dominio sobre la recta real R (o sobre el plano complejo C).

 

Nota: La función  definida por si (donde  es el conjunto de las x para los que la sucesión  converge) se llama función límite de la sucesión , y se dice que  converge puntualmente hacia en el conjunto .

Sucesión de Funciones Medibles no Negativas: De manera deductiva (de las definiciones 5, 6, y 7) podemos decir que una sucesión de funciones medibles no negativas es una sucesión de funciones tal que  es medible para toda .

Monotonía de Conjuntos: Sea  una medida sobre la - álgebra . Tenemos lo siguiente:

(i) Si A,B , con A B, entonces A B). Además si B se tiene que A   B)= B) - A).

(ii) Si entonces .

(iii) Si  entonces .

Definición: Sea  una sucesión en , y pongamos (*) y  es el límite superior de y se escribe . Si  es el límite inferior de y lo escribimos .

Notación:

*

**
Teorema 1: Sea  una sucesión de conjuntos medibles. Entonces:

(i)                 Si

(ii)               Si 

Ver la demostración en anexos.

 

Teorema 2: Sea  una función simple medible, entonces en la notación  tenemos:

(i)  para cualquier conjunto  medible.

(ii)  para cualesquiera conjuntos disjuntos . Medibles.

(iii) si

 

Teorema 3: (teorema de Lebesgue)

Si una sucesión  converge en A hacia , y para toda n  donde  es integrable en A, la función límite es también integrable en A, y .

Usaremos este resultado (pero omitimos su demostración) para demostrar el teorema de Beppo -  Levi. Para este mismo fin será necesario la siguiente:

Desigualdad de Chébishev: Si  en A entonces

.

Teorema 4: (Teorema de la Convergencia Monótona) es una sucesión monótona creciente de funciones medibles positivas  y sea . Entonces se tiene que:

.

Ver demostración en anexos.

Justificación

 

En todo curso de álgebra, cálculo, geometría e incluso de análisis matemático, se hace uso de resultados previos para fundamentar y / o justificar la teoría presentada en cada uno de ellos.

 

De la misma manera los nuevos resultados sirven para explicar y asentar nuevos conocimientos; esta es una de las formas por las cuales la matemática se ha desarrollado.

 

La importancia de este trabajo radica en dicho asunto: los resultados que se abordan servirán para estudiar, analizar y explicar otros conceptos e ideas del análisis matemático específicamente lo relacionado con la teoría de la medida e integral de Lebesgue.

 

Es importante, también, porque nos instruye y propicia el hábito de investigación.

 

Objetivos

 

 

General

 

Analizar algunos resultados relacionados con la teoría de la medida y la integral de Lebesgue.

 

 

Específicos

 

• Enunciar y demostrar la linealidad de la integral de Lebesgue.

 

• Enunciar y demostrar el teorema de Beppo – Levi y el lema de Fatuo.

 

• Definir la extensión de la integral de Lebesgue.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Marco Teórico

(Desarrollo)

Lema de linealidad de la integral de Lebesgue.

 

Antes de mostrar la linealidad de la integral de Lebesgue es importante enunciar el siguiente:

 

Lema 1: (Le llamaremos lema técnico) Sea una función medible y positiva, entonces existe una sucesión monótona creciente de funciones simples positivas tal que , además, como una consecuencia del TCM tenemos que:

Ver demostración en anexos.

 

Tomando en cuenta el lema anterior vamos a enunciar el lema de linealidad de la integral de Lebesgue.

 

La integral de lebesgue es una aplicación lineal, esto es:

(i) Si  y  son funciones integrables y medibles entonces  + es integrable y medible. Además:

 

(ii)  es una función integrable y medible y entonces es integrable y .

Demostración:

(i) Sean  y  son funciones integrables y medibles.

Si ó  no tendríamos nada que demostrar. Pero si ocurre lo contrario, por el lema técnico, existen sucesiones de funciones simples:

 

Como

entonces  medible, de donde  concluimos

(ii) Sea medible e integrable y .

Siempre aplicando el lema técnico sabemos que existe una sucesión de funciones simples  , luego,

de donde deducimos que  y se concluye que  

q.e.d

Teorema de Beppo Levi

Supongamos que  en un conjunto A, en el que las funciones  son integrables, y que sus integrales son acotadas en su conjunto , entonces, existe en casi todo el conjunto A el límite (finito)  (*) la función  es integrable en A y , además, en el conjunto, en el que no existe el límite (*), la función