Teoria de la medida e integral de Lebesgue Demostracion de algunos teoremas:Teorema de Beppo Levi,lema de Fatuo,lineadlidad de la integridad de Lebesgue,extencion de la integridad de Lebesgue etc.

Agregado: 19 de DICIEMBRE de 2006 (Por José David Alemán Pérez) | Palabras: 4289 | Votar! | 1 voto | Promedio: (10 / 10) | Sin comentarios | Agregar Comentario
Categoría: Apuntes y Monografías > Portugués >

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Autor: José David Alemán Pérez (jmatematico03@yahoo.com.mx)

Introducción

 

Existen diversos textos de Análisis matemático de distintos autores. Algunos tratan los temas de análisis a nivel de “cálculo superior”, que no es más que una transición del cálculo elemental a cursos más avanzados de la teoría de las funciones real y compleja, introduciendo al lector en el pensamiento abstracto que ocupa el análisis moderno.

 

No obstante, es importante señalar, sin necesidad de especificar el nivel, que el análisis matemático estudia conceptos relacionados de alguna manera con los números reales, pero principalmente se interesa en las propiedades de éstos.

 

De igual forma, hay que advertir que, también es necesario estar familiarizados con la notación y la terminología de la teoría de conjuntos.

 

Dado que el presente trabajo trata de tópicos de análisis matemáticos, es necesario tener “buen dominio” acerca de las propiedades de los números reales y de algunos conceptos de la teoría de conjuntos, para una mejor comprensión del mismo.

 

A partir de este momento se supone que el lector está familiarizado con lo que se señaló anteriormente, además el lector debe manejar algunas ideas del cálculo elemental (sucesiones monótonas, funciones, límites, convergencia, integrales, entre otros), espacios métricos (conjuntos medibles, medida, etc). Algunas de estas ideas se exponen en este documento de manera pertinente, ya que son indispensables para tener bien claro la temática que nos interesa y que se emplearán en la demostración de los lemas y teoremas que nos ocupa.

 

 

Antecedentes

 

El propósito de esta sección es presentar los conceptos y / o resultados (definiciones, teoremas, lemas, etc.) e ideas necesarias para cumplir con nuestro fin principal.

 

Es fácil observar que los contenidos a analizar en este trabajo forman parte de la teoría de la medida e integral de Lebesgue, la cual a su vez es una generalización (más flexible y mejor adaptada para tratar procesos de límites) de la integral de Riemann.

 

La idea principal de dicha generalización consiste en que: “la integral de Riemann de una función  sobre un intervalo  puede aproximarse por sumas de la forma , donde son intervalos disjuntos cuya unión es  y denota la longitud de y .

 

Lebesgue descubrió que se obtenía una teoría de la integración completamente satisfactoria si se permitía que los conjuntos de la suma anterior pertenecieran a una clase más amplia de subconjuntos de la recta, los llamados “conjuntos medibles”, y si la clase de funciones que se consideran se amplían a lo que él llamó “funciones medibles”.

 

Con esta idea en mente, a continuación procedo a formular algunas definiciones y teoremas pertenecientes a esta teoría.

Definición 1: (Espacios Medida)  Un espacio medida es una terna , donde  es una σ-álgebra de subconjuntos de  y  es una medida en .

Debemos tener en cuenta que si  es un conjunto, un álgebra de subconjuntos de es una familia  de subconjuntos de  tal que:

a)

b) Si A entonces    A .

c) Si A,B , entonces A B, A B .

(b) hace que (c) para uniones implique la intersección y viceversa. Al cumplirse dicha propiedad para familias numerables entonces  es una σ-álgebra.

Además, una función  definida en el espacio medida , con valores en el sistema ampliado de los números reales, se llamará medible si el conjunto  es medible para todo número real

Un espacio medible , es un espacio medida que cumple .

 

Definición 2: Para cualquier función medible no negativa , la integral de , , donde es tomado sobre toda función simple medible .

 

Definición 3: (Función Simple Medible) Una función simple es una función  definida sobre un espacio medida  y cuyo recorrido consta sólo de un número finito de puntos de .

Si son los valores que toma   y si , podemos escribir

donde es la función característica del conjunto .

La función simple  es medible, si y sólo si, cada uno de los conjuntos es medible.

(a) Sea   un espacio medible. Si  es un conjunto medible de  y si   entonces  es una función medible.

 

(b) Característica de un conjunto.

De esta definición tenemos que  es medible, si y sólo si,  es medible.

Definición (Integral de Lebesgue): Si  es medible y no negativa, definiremos  * donde se ha tomado el extremo superior sobre todas las funciones simples  tales que . Al primer miembro de * se le llama la integral de Lebesgue de  respecto a la medida . En donde:

Definición 4: (La integral de ) Sea  una función simple medible. , donde  son los distintos valores tomados por  y . Se llama la integral de ,

Definición 5: (Definición alterna de función medible) Diremos que  es - medible ( o medible respecto a la - álgebra ) si  se tiene .

 

Definición 6: (Sucesión Monótona) Sea  una sucesión de números reales. Diremos que la sucesión es creciente  si  para n=1,2,3,… Si  para toda n, diremos que la sucesión es decreciente . Una sucesión se llama monótona si es creciente o decreciente.

 

Definición 7: (Sucesión de Funciones) Una sucesión de funciones es una sucesión cuyos términos son funciones reales (o complejas) que tienen dominio sobre la recta real R (o sobre el plano complejo C).

 

Nota: La función  definida por si (donde  es el conjunto de las x para los que la sucesión  converge) se llama función límite de la sucesión , y se dice que  converge puntualmente hacia en el conjunto .

Sucesión de Funciones Medibles no Negativas: De manera deductiva (de las definiciones 5, 6, y 7) podemos decir que una sucesión de funciones medibles no negativas es una sucesión de funciones tal que  es medible para toda .

Monotonía de Conjuntos: Sea  una medida sobre la - álgebra . Tenemos lo siguiente:

(i) Si A,B , con A B, entonces A B). Además si B se tiene que A   B)= B) - A).

(ii) Si entonces .

(iii) Si  entonces .

Definición: Sea  una sucesión en , y pongamos (*) y  es el límite superior de y se escribe . Si  es el límite inferior de y lo escribimos .

Notación:

*

**
Teorema 1: Sea  una sucesión de conjuntos medibles. Entonces:

(i)                 Si

(ii)               Si 

Ver la demostración en anexos.

 

Teorema 2: Sea  una función simple medible, entonces en la notación  tenemos:

(i)  para cualquier conjunto  medible.

(ii)  para cualesquiera conjuntos disjuntos . Medibles.

(iii) si

 

Teorema 3: (teorema de Lebesgue)

Si una sucesión  converge en A hacia , y para toda n  donde  es integrable en A, la función límite es también integrable en A, y .

Usaremos este resultado (pero omitimos su demostración) para demostrar el teorema de Beppo -  Levi. Para este mismo fin será necesario la siguiente:

Desigualdad de Chébishev: Si  en A entonces

.

Teorema 4: (Teorema de la Convergencia Monótona) es una sucesión monótona creciente de funciones medibles positivas  y sea . Entonces se tiene que:

.

Ver demostración en anexos.

Justificación

 

En todo curso de álgebra, cálculo, geometría e incluso de análisis matemático, se hace uso de resultados previos para fundamentar y / o justificar la teoría presentada en cada uno de ellos.

 

De la misma manera los nuevos resultados sirven para explicar y asentar nuevos conocimientos; esta es una de las formas por las cuales la matemática se ha desarrollado.

 

La importancia de este trabajo radica en dicho asunto: los resultados que se abordan servirán para estudiar, analizar y explicar otros conceptos e ideas del análisis matemático específicamente lo relacionado con la teoría de la medida e integral de Lebesgue.

 

Es importante, también, porque nos instruye y propicia el hábito de investigación.

 

Objetivos

 

 

General

 

Analizar algunos resultados relacionados con la teoría de la medida y la integral de Lebesgue.

 

 

Específicos

 

• Enunciar y demostrar la linealidad de la integral de Lebesgue.

 

• Enunciar y demostrar el teorema de Beppo – Levi y el lema de Fatuo.

 

• Definir la extensión de la integral de Lebesgue.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Marco Teórico

(Desarrollo)

Lema de linealidad de la integral de Lebesgue.

 

Antes de mostrar la linealidad de la integral de Lebesgue es importante enunciar el siguiente:

 

Lema 1: (Le llamaremos lema técnico) Sea una función medible y positiva, entonces existe una sucesión monótona creciente de funciones simples positivas tal que , además, como una consecuencia del TCM tenemos que:

Ver demostración en anexos.

 

Tomando en cuenta el lema anterior vamos a enunciar el lema de linealidad de la integral de Lebesgue.

 

La integral de lebesgue es una aplicación lineal, esto es:

(i) Si  y  son funciones integrables y medibles entonces  + es integrable y medible. Además:

 

(ii)  es una función integrable y medible y entonces es integrable y .

Demostración:

(i) Sean  y  son funciones integrables y medibles.

Si ó  no tendríamos nada que demostrar. Pero si ocurre lo contrario, por el lema técnico, existen sucesiones de funciones simples:

 

Como

entonces  medible, de donde  concluimos

(ii) Sea medible e integrable y .

Siempre aplicando el lema técnico sabemos que existe una sucesión de funciones simples  , luego,

de donde deducimos que  y se concluye que  

q.e.d

Teorema de Beppo Levi

Supongamos que  en un conjunto A, en el que las funciones  son integrables, y que sus integrales son acotadas en su conjunto , entonces, existe en casi todo el conjunto A el límite (finito)  (*) la función  es integrable en A y , además, en el conjunto, en el que no existe el límite (*), la función  puede estar definida arbitrariamente, tomándose, por ejemplo, en este conjunto.

 

Demostración:

Supongamos que . (El caso general se reduce a éste pasando a las funciones .

Consideremos el conjunto

Si , fácilmente vemos que .

En virtud de la desigualdad de Chébishev, .

Como , tenemos , y como para cualquier   , encontramos de aquí que  por las propiedades de medida. Por ser arbitrario, .

Hasta el momento hemos demostrado que la sucesión monótona  tiene en casi todo el conjunto A, un límite finito .

Sea ahora  para aquellos en los cuales

Demostraremos la integrabilidad de en A, lo cual nos permitirá afirmar lo que resta de nuestro teorema, a saber, que la función  es integrable en A y , deduciéndolo inmediatamente de teorema (3).

Denotemos por , el conjunto de aquellos puntos , para los cuales , es decir .

Pongamos , esto es

.

Luego para todo  escribimos  como sigue:

.Como las funciones  y  son acotadas en y siempre , tenemos . Pero .

La acotación de estas sumas implica la convergencia de la serie:

.

Con esto hemos demostrado que  es integrable en A, y del teorema tres deducimos que la función  es integrable en A y  que es lo que nos interesa para completar la demostración del teorema. 

Corolario (del teorema de Beppo Levi)

Si  y , entonces la serie converge en casi todo el A y .

Lema de Fatuo

Sea  un espacio medida y sea una sucesión de funciones medibles no negativas en . Entonces   (a).

Demostración:

Sea

Entonces es una función medible no negativa. De la definición (2) el resultado se sigue si para cada función simple medible (por definición (3)), , tenemos

 (*)

Analizaremos dos casos.

Caso 1:

De la definición (3) para algunos conjuntos medibles A, tenemos,  (la medida del conjunto A es ) y  en A.

Escribamos  y  un conjunto medible. Entonces , para cada n. Pero para cada  es monótona creciente y . (Nota: Cada  es medible y )

De esta manera

De aquí , pero , para cada n.

Así,  y asegura (*).

Caso 2: .

Escribamos . Entonces . Sea M un valor grande o cualquiera de , y si  escribimos . Entonces los conjuntos  son medibles,  para cada n y . Así,  es una sucesión decreciente de conjuntos, .

Como . Por teorema (1), existe N tal que  para . Así si

= por teorema (2)

Así, , pero  es arbitrario y así se sigue (*). Dado que (*) es verdadero por la definición (2). el lema de Fatuo se cumple, es decir bajo las condiciones dadas tenemos que

.                

 

Extensión de la integral de Lebesgue.

 

Definición (i): Sea  una función medible sobre , entonces  donde  entonces  Si  o  entonces  y .

 

Definición (ii):  es integrable sobre  si su integral existe y   es decir,  es integrable si y sólo si ⁺ y ^- son integrables.

 

Lema 2:  es integrable sobre  si y sólo si es integrable sobre  y en ese caso entonces .

Demostración:

es integrable sobre , entonces ⁺ y ^- son integrables por la definición (ii)

Por la definición (i) tenemos que = de donde podemos deducir que  es integrable.

 

  , por tanto ⁺ y ^- son integrables, entonces es integrable.

por definición (i)

 

 

 

 

Por def. (i).

 

q.e.d.

 

 

Conclusiones

 

 

• La integral de Lebesgue es una aplicación lineal sobre las funciones integrables.

 

• Siempre que se tiene una sucesión de funciones medibles no negativas en un espacio medida, se cumple que la integral del límite inferior de la función  cuando n tiende a infinito es menor o igual al límite inferior de la integral de dicha función cuando n tiende a infinito.

 

• En toda sucesión creciente de funciones integrables, existe en casi todo el conjunto que los contiene (digamos que dicho conjunto sea A) el límite finito  donde la función  es integrable en el conjunto A y ,

 

• La integral de Lebesgue puede, también, definirse en casos en que las funciones a integrar estén definidas en conjuntos de medida infinita, como por ejemplo, con funciones definidas en la recta con su medida Lebesguiana. Dichos conjuntos infinitos pueden encontrarse en el intervalo .

Recomendaciones

 

·       Indagar qué aplicaciones útiles se pueden dar a la teoría presentada en este documento.

·       Buscar otras alternativas de demostración de los resultados presentados en esta investigación.

Referencias

 

Bibliografía

 

(i)                 APOSTOL, TOM. M. (1982). Análisis Matemático, 2^da ed. Editorial Reverté, S.A.

 

(ii)               DE BARRA, G (1974). Introduction to measure Theory. Van Nostrand Reinhold Company Ltd. University of London.

 

(iii)             IVORRA CASTILLO, CARLOS (2004). Análisis Matemático. (libro electrónico, se puede descargar gratis en: http://www.sectormatematica.cl/libros.htm

 

(iv)             KOLMOGOROV, A. N. (1972). Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Editorial Mir Moscú.

 

(v)               RUDIN, WALTER (1979). Análisis Real y Complejo. Editorial Alambra, S. A.

 

 

Webgrafía

 

(i)                 http://www.mat.ucm.es/deptos/am/material-practicas/problemas-teoria-medida/indice.html

 

(ii)               http://www.matematicas.net/paraiso/materia.php?id=ap_medida

 

(iii)             http://www.lawebdefisica.com/apuntsmat/tm.pdf?selact=apuntes

 

(iv)             http://kolmogorov.unex.es/~ricarfr/Tmedida/librotmed.pdf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Anexos

Demostración de algunos resultados aplicados en esta investigación.

Demostración del Teorema 1.

(i)                 Escribir y los conjunto  son medibles y disjuntos. Así,

Como se quería demostrar.

 

(ii)       Tenemos una unión de conjuntos disjuntos medibles, así:

 

Pero por hipótesis es finito y tendremos la igualdad deseada al sustraer  y asi

q.e.d.

 

Demostración del lema técnico

Sea ; para  definimos  y . Estos conjuntos son medibles y de medida finita cuando .

Así que:

es una función simple y positiva para cada n.

Para probar la monotonía, observemos que:

 

 

Porque:

Por tanto:

Y se sigue que:

Finalmente, para probar la convergencia a , supongamos que por ejemplo ; entonces , esto implica que:

.

Si por el contrario entonces  que nos da  y eso implica que . q.e.d.

 

Demostración del teorema de convergencia monótona

 

Observemos primero que , así que el límite de las integrales siempre existe.

Además, si , entonces  por lo que se tiene *.

 

Veamos la otra desigualdad, para ello seleccionamos una función simple arbitraria entre las que cumplen .

Dado <1 (podemos imaginar próximo a 1) definimos para cada , de donde podemos ver que:

1.  es medible .

2. .

3. .

Además,

Por monotonía para conjuntos con respecto a la medida  obtenemos .

 

Tomando el supremo sobre las funciones simples  queda  y como además es arbitrario y próximo a 1, se deduce  y luego comparando con * tenemos la igualdad deseada.   q.e.d

Breve reseña histórica acerca de concepto de medida

 

El concepto de medida tiene una larga historia de más de 5000 años, que surge del manejo de longitudes, áreas y volúmenes fundamentalmente y de la necesidad de su cálculo. Estos tres ejemplos particulares de medidas son los que han servido como gu´ıa para sacar a la luz el concepto que detrás de ellos se escondía.

Las primeras demostraciones satisfactorias de teoremas relativos a áreas y volúmenes aparecen en el libro de Euclides (300 a.c.?) “Los Elementos”(ver Van Dalen {Monna, p. 78 y Boyer, p. 129). Sin embargo en este libro no hay definición de longitud, área o volumen; Euclides las considera características que puede medir respectivamente en las figuras que si define:

Línea es una longitud sin anchura. (Libro I, Def.2).

Superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura (Libro I, Def.5).

Sólido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad (Libro XI, Def.1).

Tampoco define que es medir, es una palabra que utiliza no sólo en estas tres “magnitudes”, sino también en los números; por ejemplo en el libro VII, las definiciones 3 y 4 dicen:

3.- Un n´umero es parte de un n´umero, el menor del mayor, cuando mide al mayor.

4.- Pero partes cuando no lo mide. por ejemplo 3 es “parte”de 15 y 6 es “partes”de 15.

Las longitudes las daba en comparación con un segmento unidad, las áreas con un cuadrado unidad y los volúmenes con un cubo unidad, de este modo dio los valores correspondientes a figuras simples como polígonos y poliedros y demostró teoremas como el de Pitágoras. Otros autores griegos más que dar la medida de una figura daban resultados del tipo: A y B tienen igual área o volumen. Por ejemplo Arquímedes (287–212 a.c.) atribuye a Eudoxo (408–355 a.c.) la demostración de que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro de la misma base y altura. Esto sin conocer este volumen, para el que hace falta conocer el área del círculo, que descubrió casi 100 años después el propio Arquímedes demostrando que es el de un triángulo rectángulo con un cateto el radio y el otro la longitud de la circunferencia; suyo también es que el volumen de la esfera es 2=3 el volumen del cilindro o que el área de la esfera es la del cilindro circunscrito (ver Boyer, p.177). Para esta última, que demuestra en Sobre la esfera y el cilindro utiliza los axiomas de Euclides junto con cinco principios de los que destacan:

4.- Dos superficies que tienen los mismos límites en un plano son desiguales cuando ambas son cóncavas en la misma dirección y una de ellas está completamente limitada por la otra y por el plano que tiene los mismos límites que esta otra, o cuando una de ellas sólo está parcialmente limitada por la otra y el resto es común. La superficie limitada es la menor.

5.- Dadas dos líneas, dos superficies o dos sólidos desiguales, si el exceso de una de estas figuras sobre la otra se añade a sí  mismo un cierto número de veces, se puede superar una u otra de las figuras que se comparan entre sí.

Así se mantuvieron mas o menos las cosas durante 2000 años, hasta que en 1883 G. Cantor (1845–1918) dio la primera definición de medida m(A) de un conjunto arbitrario (acotado) . Otros autores como Stolz en 1884 y Harnack en 1885 dan definiciones equivalentes en R.

Para ellas la propiedad aditiva de la medida m[A υ B] = m[A] + m[B], para conjuntos disjuntos A y B, se satisfacía si los conjuntos estaban “completamente separados”, pero no en general, pues con sus definiciones un conjunto y su adherencia median lo mismo y por tanto los racionales y los irracionales de [0, 1] median 1, lo mismo que todo [0, 1].

El primero en considerar qué conjuntos A son medibles y dar una definición de su medida fue en 1887 G. Peano (1858–1932), el cual consideró la medida m[A] de sus predecesores (que en el caso del plano definía mediante aproximaciones externas de A con polígonos) y a la que llamó medida exterior y consideró, para ., con R un rectángulo, la medida interior de A como m[R] - m[R A]; definió conjunto medible como aquel cuya medida interna coincide con la externa y demostró que la medida era aditiva. Además explicó la relación existente entre medida e integración, demostrando (ver Pesin, p.38) que una función acotada f : [a; b] ! [0;1), era Riemann integrable si y sólo si el conjunto E de R² limitado por la gráfica de f y las rectas x = a, x = b e y = 0 era medible, en cuyo caso

En 1892 C. Jordan (1838–1922) di´o una definición más simple utilizando una malla de cuadrados de igual lado, en lugar de polígonos, para aproximar el conjunto. Sin embargo estas definiciones eran pobres, pues por ejemplo con ellas los racionales ya no eran medibles.

E.Borel (1871–1956) dio, en su doctorado de 1894, el siguiente paso importante considerando la numerable aditividad para sus medidas. Además dio una definición razonable de conjuntos de medida nula, de hecho mientras que para sus antecesores los racionales de [0; 1] medían 1, Borel concluyó que medían menos que   —y por tanto cero— considerando para cada  un segmento de longitud  con  arbitrariamente pequeño.

Se sabía desde Cantor que todo abierto  era unión, , a lo sumo numerable de intervalos abiertos In disjuntos. Borel define su medida como la serie  y describe la clase de los conjuntos (ahora llamados “borelianos”) que pueden obtenerse a partir de los abiertos, mediante iteraciones en las que se hacen uniones o diferencias  numerables de conjuntos de la clase, e indica que para estos conjuntos puede definirse una medida que es “numerablemente aditiva”(i.e. la medida de una unión numerable y disjunta de conjuntos medibles es la suma de sus medidas).  La numerable aditividad de Borel frente a la finita aditividad de Peano {Jordan fue una propiedad básica que permitió obtener los resultados fundamentales en la teoría de integración abstracta, teoría que desarrolló fundamentalmente H. Lebesgue (1875–1941) a partir de su tesis de 1902. La numerable aditividad y la integración están muy relacionadas, de hecho la originalidad de Lebesgue no reside tanto en haber extendido la integral de Riemann, como en su descubrimiento —obtenido independientemente por W.H.Young para funciones semicontinuas— del teorema fundamental sobre el paso al límite de la integral, que obtiene como consecuencia de ser la medida numerablemente aditiva.

 

En su Tesis de 1902 Lebesgue observa que por esta razón, diferenciación e integración no podían considerarse operaciones inversas en el contexto, relativamente amplio, de las funciones Riemann integrables. Este fue el motivo fundamental que le llevó a tratar de encontrar una noción de integración nueva, bajo la que derivación e integración sí fuesen operaciones inversas para una clase de funciones más amplia que las Riemann integrables.  La idea principal de la integral de Lebesgue consiste en que, a diferencia de lo que ocurre en la integral de Riemann, los puntos se agrupen de acuerdo a la proximidad de los valores de la función a integrar y no de acuerdo a su proximidad en el conjunto de definición de la función, como hacía Riemann. Esto permite la posibilidad de extender, de forma inmediata, el concepto de integral a una clase muy amplia de funciones.

 

 

 

Si tienes alguna sugerencia o recomendación acerca del contenido de este trabajo y que creas que servirá para mejorarlo envíame tus comentarios a mi email:

 

 

Jmatematico03@yahoo.com.mx

 

José David Alemán Pérez

 

 

 

 

 

 

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